馬欣

摘要：本文針對一類混沌圖像加密算法的置亂方法復(fù)雜性高等問題，提出了一種基于動態(tài)約瑟夫環(huán)和比特雙重置亂的圖像加密算法。算法對經(jīng)典的約瑟夫環(huán)問題和傳統(tǒng)算法結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，確立采用動態(tài)約瑟夫環(huán)置亂的加密方式。然后將置亂序列擴(kuò)大8倍，利用Logistic混沌序列進(jìn)行比特位的置亂，從單個(gè)像素內(nèi)部改變相鄰像素的關(guān)聯(lián)程度;最后，進(jìn)行單個(gè)像素的像素值替代產(chǎn)生密文圖像。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，該算法可以抵抗選擇明（密）文攻擊，加密算法簡單，密鑰空間大，加密效果較好，具有很好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：圖像加密;混沌序列;動態(tài)約瑟夫環(huán);比特位置亂;雙重置亂

中圖分類號：TP18? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? 文章編號：1009-3044（2019）01-0204-03

Image Encryption Algorithms Based on Chaos through Dual Scrambling of Dynamic Josephus Ring and Bit

MA Xin

（Anhui University of Science and Technology of Computer Science and Engineering， Huainan 232001， China）

Abstract： In this paper， in order to solve the problem that the scrambling method for a class of chaotic image encryption algorithms has high complexity. A new image encryption algorithms was proposed based on chaos through dual scrambling of dynamic Josephus ring and bit. The algorithm analyzes the classical Joseph ring problem and the traditional algorithm structure， and establishes the encryption method using dynamic Joseph ring scrambling. Then the scramble sequence is expanded by 8 times， and the bits are scrambled by Logistic chaotic sequence， and changed the degree of association of adjacent pixels from a single pixel; Finally， the pixel value of a single pixel is replaced diffused to generate a cipher-text image. The experimental results show that the proposed algorithm can resist the selection of explicit （dense） text attacks， the encryption algorithm is simple， the key space is large， the encryption effect is good， and it has a good application prospect.

Key words： image encryption; chaos sequence; dynamic Joseph ring; bit scrambling; dual scrambling

1引言

近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)和多媒體技術(shù)的迅速發(fā)展，確保信息安全已經(jīng)成為人們?nèi)粘９ぷ骱蜕钪胁豢苫蛉钡囊徊糠?。而圖像加密技術(shù)的安全性就成為研究者們熱衷的研究熱點(diǎn)。然而，傳統(tǒng)的加密技術(shù)，如數(shù)據(jù)加密標(biāo)準(zhǔn)（DES）、高級加密標(biāo)準(zhǔn)（AES）等，因?yàn)槠潺嫶蟮臄?shù)據(jù)量以及冗余度高、鄰域像素關(guān)聯(lián)性高等特點(diǎn)，并不適合于圖像。為了提高圖像傳輸?shù)陌踩?，學(xué)者們提出了許多圖像加密算法。

自20世紀(jì)90年代由Matthews提出混沌概念以來[1]，許多基于混沌系統(tǒng)的圖像加密算法迅速發(fā)展了起來[2-6]。針對一些加密算法的加密安全性不高，國內(nèi)外學(xué)者在原有算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)衍生了一系列改進(jìn)算法。在改進(jìn)算法中，有些算法在混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加各種變換的置亂算法，文獻(xiàn)[7]介紹了一種基于二維離散小波變換和混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密算法。有些則在混沌系統(tǒng)上添加多種映射來進(jìn)行改進(jìn)，如：文獻(xiàn)[8]則結(jié)合Logistic映射、正弦映射和DNA編碼設(shè)計(jì)了一種新的圖像加密方案。還有些則是在混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出了一種超混沌系統(tǒng)，如：文獻(xiàn)[9]是采用五維多翼超混沌系統(tǒng)，采用像素級置換和比特置換來加強(qiáng)密碼系統(tǒng)的安全性。

以上算法基本是從密鑰源和加密算法兩部分進(jìn)行改進(jìn)，但是在提升了密鑰源安全性之后，又常常會增加密鑰系統(tǒng)復(fù)雜性，降低密鑰生成效率;改進(jìn)的加密算法常常采用類似的擬映射置亂方法和相似的像素替代方法，置亂方法非線性結(jié)構(gòu)不強(qiáng)，像素替代對相鄰像素關(guān)聯(lián)程度破壞不大?；诖?，本文則提出了一種新型的圖像加密算法，算法對經(jīng)典的約瑟夫環(huán)問題和傳統(tǒng)算法結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，確立采用動態(tài)約瑟夫環(huán)和比特雙重置亂的圖像加密方式。

2 算法原理

2.1約瑟夫（Joseph）環(huán)

約瑟夫環(huán)問題是一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，描述如下 ：已知n個(gè)人（編號分別為1，2，…，n），圍坐一個(gè)大圓桌周圍，從編號為S的人從1開始報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)間隔為g，報(bào)到終點(diǎn)數(shù)的人自動出列;然后他的下一個(gè)又從1開始報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)間隔為g，報(bào)到終點(diǎn)數(shù)的人出列;如此循環(huán)下去，直至圓桌旁的所有人全部出列。為了方便敘述，定義約瑟夫函數(shù)為：

Josephus（a[]，L，S，g，No）? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

其中，a[]表示原始序列，L表示序列的長度，S表示開始報(bào)數(shù)的位置（[1≤S≤L]），g表示報(bào)數(shù)的間隔，No表示遍歷時(shí)出列位置的報(bào)數(shù)值（[1≤No≤L]）。

本文分別針對靜態(tài)和動態(tài)的約瑟夫環(huán)置亂做了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

2.1.1靜態(tài)約瑟夫置亂

置亂方法描述如下：假設(shè)明文圖像為一幅[M×N]大小的圖像，需要產(chǎn)生一個(gè)同樣大小的置亂矩陣來對其進(jìn)行加密。設(shè)置約瑟夫的長度為[M×N]，序列a[]={a1，a2，...，aL}，起始位置S，報(bào)數(shù)間隔g，按照約瑟夫環(huán)原理將讀取出來的No逐行排列成大小為[M×N]的矩陣A，矩陣A即為置亂矩陣，按照A中每個(gè)元素的下標(biāo)索引，將明文圖像矩陣P重新排列就可得到置亂后的圖像P。

圖 1是對大小為256*256的Lena灰度圖像分別進(jìn)行約瑟夫置亂和行列互換置亂后的圖像對比效果。結(jié)果顯示，約瑟夫置亂的效果優(yōu)于普通的行列互換置亂的效果。但是仍然可以看出有一定的線性變換特征，置亂后的序列保留了部分線狀的信息特征。

2.1.2動態(tài)約瑟夫置亂

由2.1.1小節(jié)可知，2.1.1小節(jié)中所采用的方法是設(shè)置了固定的起始位置S和固定報(bào)數(shù)間隔g，本文繼續(xù)對此進(jìn)行了改進(jìn)，采用動態(tài)的約瑟夫環(huán)，每一次重新報(bào)數(shù)都隨機(jī)產(chǎn)生起始位置S和報(bào)數(shù)間隔g，每次報(bào)數(shù)只從起始位置開始，到序列最后一個(gè)位置結(jié)束，得到置亂后的圖像如圖 2所示。

從圖 2可以看出，動態(tài)約瑟夫環(huán)的置亂效果比圖 1中的兩種方式要好，置亂圖像中各像素呈現(xiàn)更為無序的狀態(tài)。

2.2 Logistic混沌系統(tǒng)

本文采用的密鑰生成源是Logistic混沌系統(tǒng)，Logistic混沌映射如式（2）所示。

[xk+1=u?x（k）?[1-x（k）]，（k=0，1，...，n）]? ? ? ? ? （2）

其中，[u]為控制參數(shù)，經(jīng)研究證明，當(dāng)[3.5699456...<u≤4]時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。迭代值<E：＼知網(wǎng)文件＼電腦＼電腦01-02＼電腦01＼5xs201901＼Image＼image10_1.png>，本文系統(tǒng)控制參數(shù)[u]取4。

為使密鑰序列具有更好的均勻性，本文采用式（3）對Logistic混沌系統(tǒng)做均勻化：

[y=2πarcsinx]? ? ? ? ? ? ? ? （3）

設(shè)置初值x（0），生成長為1000的混沌序列，分別對均勻化處理前后的序列做直方圖統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)圖如圖 3所示，從圖中可以看出，均勻化處理后的序列均勻性明顯優(yōu)于處理前的密鑰序列，更適合作為密鑰源。

3加密算法

加密算法由像素位置置亂、比特位置亂、像素替代三個(gè)步驟組成。具體算法描述如下。

3.1 圖像像素位置的置亂

根據(jù)第2節(jié)所描述的約瑟夫環(huán)，可以設(shè)約瑟夫環(huán)的初始序列為[a[]=1，2，...，m×n]，對明文圖像P進(jìn)行置亂。

Step1 設(shè)原始圖像為P，m和n分別表示圖像矩陣的行和列，它的圖像像素矩陣就可以表示為：

[P=p1…pn???pn（m-1）+1…pm×n] 。

Step2 將明文圖像像素矩陣[Pm×n]按行優(yōu)先的順序轉(zhuǎn)為一個(gè)[m×n]長的一個(gè)一維序列[P=p1，p2，...，pm×n]，其取值范圍為[0，255]。

Step3 設(shè)置S和No的值來產(chǎn)生置亂序列[R={r1，r2，...，rm×n}]。利用置亂序列R對原始序列P進(jìn)行置亂。

Step4 將R序列中的每個(gè)元素位置當(dāng)作原始圖像序列的下標(biāo)索引，按照下標(biāo)索引逐個(gè)取出原始圖像元素排列成新的序列P，P即為置亂后的像素矩陣。

3.2 比特位像素置亂

本小節(jié)將實(shí)現(xiàn)置亂圖像像素矩陣P的像素值替代加密，同時(shí)在像素值替代加密過程中加入了文獻(xiàn)[10]中的方法，效果較好。

設(shè)算法原始密鑰集為[{x0，y0，H}]，其中，[x0]、[y0]表示Logistic混沌系統(tǒng)的兩種初始狀態(tài)值，H表示Logistic混沌系統(tǒng)預(yù)迭代次數(shù)。

求出明文圖像P的平均像素值avg。

[avg=summ×n]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

其中sum為所有的像素值相加得到的總和。然后根據(jù)avg的值修改Logistic系統(tǒng)的初值[x0]。使[x0]與圖像內(nèi)容相關(guān)，從而可以抵抗選擇明文攻擊。

混沌系統(tǒng)預(yù)迭代的次數(shù)H由下式可得。

[H=1000+mod（sum，1000）]? ? ? ? ? ?（5）

Step1 設(shè)定系統(tǒng)的控制參數(shù)[μ]，利用Logistic混沌系統(tǒng)迭代舍去前H次，再繼續(xù)迭代[8×m×n]次，產(chǎn)生一個(gè)長度為[8×m×n]的混沌序列[Q=q1，q2，...，q8×m×n]。

Step2 將混沌序列Q按照下式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使混沌序列的各序列值的取值范圍在0至255之間，得到混沌圖像序列[Q'=q'1，q'2，...，q'8×m×n]。

[Q'=mod（qi×108，256），1≤i≤8×m×n]? ? ? ? ? （6）

Step3 對混沌圖像序列Q從小到大進(jìn)行排序，從而產(chǎn)生一個(gè)用于記錄排序后的序列中各元素在原序列Q中的位置序列[K={k1，k2，...，k8×m×n}]。

Step4 將原始序列P中的像素值轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制形式進(jìn)行排列，利用位置序列K對其進(jìn)行位置置亂，得到一個(gè)新的二進(jìn)制序列。

Step5 將Step4中得到的新的二進(jìn)制序列轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制，得到中間密文B。

3.3 像素值替代

設(shè)置初值[y0]，生成長為L的序列，將序列L轉(zhuǎn)換為[0，255]的整數(shù)，再根據(jù)式（8）對中間密文圖像序列B進(jìn)行再加密，得到密文圖像序列C。

[Qi=mod（qi×248，256）]? ? ? ? ? ? ? （7）

[Ci=mod（Qi+Bi，256）⊕Ci-1]? ? ? ? ? ?（8）

其中，i=1，2，…，L， [Qi]為混沌序列的像素值，[Bi]為中間密文序列的像素值，[Ci]為當(dāng)前明文像素經(jīng)比特位替代后的密文圖像的像素值，[Ci-1]為密文像素的前一像素值，當(dāng)i=1時(shí)，需要用到一個(gè)像素值[C0]，[C0]的值在0至255之間任意選取，可作為密鑰。

4 實(shí)驗(yàn)仿真分析

4.1 仿真結(jié)果

本文采用經(jīng)典的大小為256*256的Lena灰度圖像進(jìn)行仿真，加密系統(tǒng)的初始密鑰參數(shù)分別為x0=0.2234567654，y0=0.123456789，C0=20。原始圖像與利用本文算法得出的加密圖像如圖 4所示。

可以看出，從加密圖像中已經(jīng)完全看不出原始圖像的特征。

4.2 密鑰敏感性分析

密鑰敏感性指即使兩個(gè)具有微小差異的加密密鑰產(chǎn)生的密文圖像也完全不同，而兩個(gè)具有微小差異的解密密鑰對同一密文的解密圖像也完全不同。圖 7a）是用本文密鑰解密的Lena原圖，圖 7b）是將Logistic混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列的初始值x0=0.2234567654變?yōu)閤1=x0+0.00000000001后解密的圖像。由圖 5可以看出，即使細(xì)微的更改其中一個(gè)密鑰，也得不出正確的解密圖像，說明本文算法可以抵抗密鑰敏感性分析。

5 結(jié)束語

本文主要介紹基于動態(tài)約瑟夫環(huán)和比特雙重置亂圖像加密算法。首先介紹了經(jīng)典的約瑟夫環(huán)問題。其次，分兩步介紹了該算法的詳細(xì)步驟。第一步對像素利用動態(tài)約瑟夫環(huán)進(jìn)行全局置亂，第二步對全局置亂序列進(jìn)行比特重組，得出中間密文。最后，算法通過matlab仿真進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。本文分析了密鑰空間，明密文敏感度等安全性指標(biāo)的算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果。與普通的混沌圖像加密算法相比，該算法結(jié)合了動態(tài)約瑟夫環(huán)遍歷和比特重組，提高了加密圖像的安全性。

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