帶懸臂端簡支受壓柱的臨界荷載理論公式推導(dǎo)及穩(wěn)定性能分析

徐以艷，楊榕 （湖北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院公路與軌道學(xué)院，湖北 武漢 430079）

0 前言

受壓桿件的穩(wěn)定性是決定其承載力的一個特別重要的因素，細長受壓柱的屈曲失穩(wěn)問題也是結(jié)構(gòu)設(shè)計中的突出問題。工程中使用的細長受壓柱非常多，特別是在鋼結(jié)構(gòu)中，這些桿件使用過程中都面臨穩(wěn)定問題，一旦出現(xiàn)受壓失穩(wěn)現(xiàn)象，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞，甚至整體坍塌，將會造成嚴重的經(jīng)濟損失和人員傷亡。

受壓柱的穩(wěn)定性在建設(shè)工程設(shè)計中受到高度重視，現(xiàn)在其理論研究及工程應(yīng)用都越來越成熟。但隨著建設(shè)工程的蓬勃發(fā)展，受壓柱的特殊受力狀態(tài)在工程中也屢見不鮮，帶懸臂端的受壓柱就是一個典型案例。如建筑塔吊在中間與結(jié)構(gòu)連接支撐時，塔吊柱就是上端懸臂的受壓柱，如圖1。

目前尚無學(xué)者對帶懸臂端受壓柱進行詳細的穩(wěn)定理論分析，本文對帶懸臂端的簡支受壓柱進行平衡方程的理論公式推導(dǎo)，用Matlab求解超越方程，再與算例作對比后，通過最小二乘法擬合出帶懸臂端受壓柱臨界荷載的簡易公式。

圖1 工程中連墻塔吊即為帶懸臂端受壓柱

1 理論公式推導(dǎo)與求解

1.1 理論公式推導(dǎo)

圖2所示為一等截面帶懸臂端簡支受壓桿，下端鉸接，中部有一水平支桿，現(xiàn)采用靜力法求其臨界荷載。

設(shè)鉸接端與水平支桿間的壓桿長度為l，壓桿總長為nl，則上端懸臂長度為（n-1）l。壓桿受到的豎向力為p，簡支端受到水平力為Hc，鉸接端與簡支端的壓桿位移為y1，懸臂部分壓桿位移為y2，懸臂頂端b處水平位移為δ。因ac、bc兩段桿的受力不同，故需要分別列出平衡微分方程。

圖2 變形前、后帶懸臂端受壓桿平衡狀態(tài)示意圖

ac段：

其通解分別為：

引入邊界條件，則有

a點：

c點：

將（7）代入式（5），將（8）代入式（6）得

引入邊界條件，則有

c點：

b點：

將（5）、（6）微分，代入邊界條件得

由式（9）得

將式（16）代入式（13），則可得到以 A2、B2和 δ為未知量聯(lián)立方程組

方程（17）要有非零解,則系數(shù)行列式值為零，可得穩(wěn)定方程：

1.2 MATLAB求理論解

為研究不同懸臂長度對臨界荷載的影響，現(xiàn)改變長度系數(shù)n。當(dāng)n取不同的值時，由MATLAB采用二分法迭代求出αl，然后求出Pcr，繼而可以求出Pcr/Pcr’，其計算結(jié)果見表1。臨界荷載比值變化曲線見圖3。

超越方程解和臨界荷載比值匯總表 表1

圖3 隨懸臂長度變化，臨界荷載比值變化曲線

從表1計算結(jié)果及圖3曲線可以看出，隨著n值的變大，懸臂長度的增加，帶懸臂端簡支受壓桿失穩(wěn)臨界荷載急劇降低，當(dāng)n=1.3時，臨界荷載減小約一半；當(dāng)n大于1.3時，臨界荷載減小速率放緩，但臨界荷載值已很?。划?dāng)n=2.2時，臨界荷載約減小為兩端簡支柱的1/10。

2 有限元Ansys實例分析并與解析法理論解對比

Ansys是當(dāng)前使用廣泛，功能強大，集結(jié)構(gòu)、熱、流體、電磁場、聲場和耦合場分析于一體的大型通用有限元分析軟件，通過它可以對結(jié)構(gòu)在各種外荷載條件下的受力、變形、穩(wěn)定性及各種動力特性進行全面分析。為了更深入分析帶懸臂端受壓柱懸臂長度對失穩(wěn)臨界荷載的影響，本文用Ansys軟件對帶懸臂端受壓混凝土柱建立實體模型，求出不同懸臂長度下混凝土柱的屈曲臨界荷載。

在建立有限元模型時，帶懸臂端受壓混凝土柱材料特性如下：彈性模量E=1.0×104N/mm2；泊松比u=0.3；幾何特性為：鉸接端與水平支桿間的柱子長度，柱子的長和寬均為0.2m。懸臂部分長度分別為0 m、0.1m、0.2m、0.4m、0.6m、0.8m、1.0m、1.2m、1.4m、1.6m、1.8m、2.0m、2.2m、2.4m、2.6m、2.8m、3.0m，與上一節(jié)求理論解中的相對應(yīng)。

經(jīng)計算，求出所有有限元模型的屈曲臨界荷載。當(dāng)n=1時，Pcr’=3.208×103kN，其余情況臨界荷載及比Pcr/Pcr’值見表 2。

不同懸臂長度值與匯總表 表2

比較Pcr/Pcr’理論解與有限元解，并計算其偏差，見表3。

不同懸臂長度理論解與有限元解對比 表3

由表3可知，當(dāng)n≤2.5時，不同懸臂長度情況下Pcr/Pcr’理論解與有限元解的偏差小于2.5%，在實際工程中處于可接受范圍5%以內(nèi)，同時也進一步驗證了解析法求得理論解的正確性。故可通過有限元分析確定實際工程中懸臂受壓柱的失穩(wěn)臨界荷載。

3 懸臂受壓柱臨界荷載公式擬合

不同懸臂長度的取值 表4

最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，在工程應(yīng)用中運用最小二乘法進行曲線識別也已得到廣泛認可[15]。故本文采用最小二乘法對F（n）進行擬合，經(jīng)比選，當(dāng)采用與n相關(guān)的二次函數(shù)時，可以較好的擬合F（n），隨n值的變化，F(xiàn)（n）的取值及擬合函數(shù)見圖4，此時：

圖4 的取值及擬合函數(shù)

4 結(jié)論與建議

本文通過對帶懸臂端受壓柱失穩(wěn)臨界荷載進行理論公式推導(dǎo)及求解，與有限元實例模型進行對比，并擬合出懸臂受壓柱失穩(wěn)臨界荷載公式，得出以下結(jié)論與建議。

①隨著n值的變大，懸臂長度的增加，帶懸臂端簡支受壓桿失穩(wěn)臨界荷載急劇降低，當(dāng)n=1.3時，臨界荷載減小約一半；當(dāng)n＞1.3時，臨界荷載減小速率放緩，但臨界荷載值已很小；當(dāng)n=2.2時，臨界荷載約減小為兩端簡支柱的1/10。

②在工程中用到帶懸臂端簡支受壓柱時，要嚴格控制其懸臂端長度，計算其失穩(wěn)臨界荷載，以免發(fā)生結(jié)構(gòu)屈曲失穩(wěn)破壞，帶來生命財產(chǎn)的損失。

④本文的理論公式推導(dǎo)是以理想狀態(tài)為前提，實際工程中的初始位移及偏心等因素引起的二階效應(yīng)對臨界荷載的影響有待進一步研究。