帶有變號(hào)對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的p-Laplacian方程解的多重性

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(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西太原030024)

p-Laplacian方程是研究氣體通過(guò)一維多孔介質(zhì)以及非牛頓流體時(shí)建立的，因此，對(duì)于p-Laplacian方程的研究不僅在非牛頓流體理論等實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用廣泛，而且對(duì)偏微分方程的理論研究也具有很重要的意義[1-5]。文獻(xiàn)[6]中證明了當(dāng)函數(shù)f滿足一定條件時(shí)，p-Laplacian方程

至少有一個(gè)非平凡解，其中Ω為n上的光滑有界開(kāi)區(qū)域，?Ω為Ω的邊界，u為關(guān)于x的函數(shù)，Δp為p-Laplacian算子，p>1。近幾年，p-Laplacian方程

正解的存在性和多重性已用變分法、拓?fù)涠壤碚撘约捌渌椒ㄟM(jìn)行了大量研究[7-11]，其中λ為常數(shù)。文獻(xiàn)[7-8]中研究高維有界區(qū)域的情況，文獻(xiàn)[9-10]中考慮球上的徑向?qū)ΨQ解，文獻(xiàn)[11]中證明了當(dāng)常數(shù)λ非負(fù)，f連續(xù)時(shí)，存在2個(gè)正解。

近年來(lái)，帶有對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的偏微分方程的研究得到了許多學(xué)者的關(guān)注[12-13]。例如，文獻(xiàn)[14]中應(yīng)用Nehari流形方法研究了帶有變號(hào)對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的半線性橢圓型方程的多解性問(wèn)題，找到2個(gè)非平凡解。

本文中利用Nehari流形和對(duì)數(shù)Sobolev不等式對(duì)一類帶有變號(hào)對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的p-Laplacian方程的多解性進(jìn)行研究；介紹對(duì)數(shù)Sobolev不等式及證明該p-Laplacian方程解的多重性用到的一些估計(jì)，并利用Nehari流形的2個(gè)子流形證明該p-Laplacian方程解的多重性。

1 主要結(jié)果

本文中研究一類帶有變號(hào)對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的p-Laplacian方程

(1)

(2)

則方程(1)至少有2個(gè)非平凡解，其中Ωn是Ω在n中的測(cè)度，L由式(3)給出。

2 預(yù)備知識(shí)

其中

(3)

(4)

對(duì)任意的μ> 0成立。

因此，問(wèn)題(1)的解等價(jià)于泛函J的臨界點(diǎn)。

以下設(shè)函數(shù)f、g滿足條件(2)。

J(u)≥

(5)

(6)

其中

直接計(jì)算得

(7)

又由對(duì)數(shù)Sobolev不等式(4)、(7)可得

(8)

結(jié)合式(5)—(8)有

引理2得證。

3 解的多重性

上有下界，因此J的非平凡臨界點(diǎn)全部在N中，并且J的臨界點(diǎn)為N中的局部極小元。顯然，u∈N等價(jià)于

(9)

則

(10)

證明:由式(9)可知，

若u∈N，則

由此把N分成N+、N-、N03個(gè)部分，其中

引理3得證。

引理4 若u是J在N上的一個(gè)局部極小元且u?N0，則J′(u)=0。

證明:若u為J在N上的一個(gè)局部極小元，則存在λ∈使得J′(u)=λφ′(u)，其中

由u∈N知，0=〈J′(u),u〉=λ〈φ′(u),u〉。又由u?N0可得

由此λ=0，進(jìn)而J′(u)=0。

引理4得證。

引理5N+、N-非空。

證明:由式(10)，Φu有唯一駐點(diǎn)

從而t(u1)u1∈N+,t(u2)u2∈N-,因此N+、N-非空。

引理5得證。

引理6N+有界。

因?yàn)閡n∈N+，所以

又由un∈N和式(9)可知，

(11)

直接計(jì)算得

(13)

(14)

J(v0)≥

另一方面，由vn?v0但是vn→ /v0可知，存在{vn}的子列，仍記作{vn}，使得

(15)

(16)

(17)

(18)

成立，結(jié)合式(12)、(14)有

(19)

矛盾。

另一方面，由vn→v0知，存在{vn}的子列，仍記作{vn}，使得式(17)—(19)和

(20)

成立。結(jié)合式(12)、(14)有

(21)

矛盾，因此N+有界。

引理6得證。

引理7 1)J在N+上有下界；2)J在N+上有一個(gè)極小元。

證明:1)若u∈N+，則由式(9)可得

由引理6，N+有界，因此J在N+上有下界。

2)設(shè){un}是J在N+上的一個(gè)極小化序列，即

由un∈N+，可得式(11)和

因此

則存在t(u0)>1使得t(u0)u0∈N+，并且Φu0(t)在t(u0)處取得極小值，從而有

即u0是J在N+上的一個(gè)極小元。

引理7得證。

引理8J在N-上的每一個(gè)極小化序列有界。

證明: 設(shè){un}是J在N-上的一個(gè)極小化序列， 即

與引理6中不同的是，在式(19)、(21)中

引理8得證。

引理9得證。

成立。又Φun(t)在t= 1處達(dá)到極大值，則

從而有

引理10得證。

定理1得證。

4 結(jié)論

本文中研究了一類帶有變號(hào)對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的p-Laplacian型方程解的多重性問(wèn)題。 給出了對(duì)數(shù)Sobolev不等式以及證明該p-Laplacian型方程解的多重性需要的估計(jì)； 將Nehari流形進(jìn)行分解， 利用變分方法在子流形N+、N-上各找到一個(gè)非零極小元。