趙永良
[摘要]本文探討了行列式的計算方法問題,介紹了計算行列式的幾種行之有效的方法。除比較常用的定義法、化三角形法等方法外,還介紹了換元法、冪級數(shù)變換等技巧性較高的行列式的計算方法。只要靈活地運用這些計算技巧和方法,就可以基本上解決行列式的計算問題。
[關(guān)鍵詞]n級行列式;逆序數(shù);代數(shù)余子式;換元法;冪級數(shù)變換
引言
行列式的計算是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一,也是學(xué)習(xí)中的一個重難點。對于階數(shù)較低的行列式,一般可直接利用行列式的定義和性質(zhì)計算出結(jié)果。但對于一般的n階行列式,特別是當n比較大時,直接用定義計算行列式往往比較困難和煩瑣,因此研究行列式的計算方法則顯得十分必要。只有掌握一定的計算技巧和方法,才能使計算大大簡化,從而得出結(jié)果。將本文介紹的幾種計算方法加以綜合應(yīng)用,就能基本L解決行列式的計算問題。
一、預(yù)備知識
(一)定義n級行列式
其中j1j2…jn為n級排列,τ(j1j2…jn)為它的逆序數(shù)。
(二)性質(zhì)
性質(zhì)1 行列式轉(zhuǎn)置后值不變,D'=D。
性質(zhì)2 行列互換,行列式不變。即
性質(zhì)3 一行的公因子可以提出去,或者說以一數(shù)乘行列式的一行就相當于用這個數(shù)乘此行列式。即
性質(zhì)4 如果某一行是兩組數(shù)的和,那么這個行列式就等于兩個行列式的和,而這兩個行列式除這一行以外與原來行列式的對應(yīng)行一樣。即
性質(zhì)5 如果行列式中有兩行相同,那么行列式為零。
性質(zhì)6 如果行列式中兩行成比例,那么行列式為零。即
性質(zhì)7 把一行的倍數(shù)加到另一行,行列式值不變。即
性質(zhì)8 交換行列式中兩行的位置,行列式反號。即
二、重要結(jié)論及證明
定理(拉普拉斯定理)設(shè)在行列式D中任意取定了K(1≤k≤n-1)個行,由這K行元素組成的一切K級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。
證 設(shè)D中取定K行后得到的子式為M1,Mt它的代數(shù)余子式分別為A1,A2,…,At,定理要求證明
D=M1A1+M2A2+…MtAt.
由于MiAi(i=1,2,…,t)中每一項都蔇D中一項而且符號相同。而且MiAi和MjAj(i≠j)無公共項,因此為了證明定理,只要證明等式兩邊項數(shù)相等就可以了。顯然等式左邊共有n!項,為了計算右邊的項數(shù),首先來求出t。根據(jù)子式的取法知道
t=Cnk=n![k!(n-k)!]
因為Mi中共有K!項,Ai中共有(n*k)!項。所以右邊共有
t.k!.(n-k)!=n!
項。定理得證。
三、求行列式的十種方法
(一)定義法
自接利用行列式的定義進行計算,此方法適用于行列式中有較多零元素的情形。
例1 計算n級行列式
解 此行列式剛好只有n個非零元素a12,a23,…an-1,n,an1,故
D=(-1)τ(23…n1)a12a23…an-1,nan1=(-1)n-1n!
(二)數(shù)學(xué)法歸納法
先通過計算一些初始行列式D1,D2,D3等,找出它們的結(jié)果與級數(shù)之間的關(guān)系,用不完全歸納法對Dn的結(jié)果提出猜想,然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明其猜想成立。
例2 計算n級行列式
解 易得
D1=cosθ
由D1,D2,D3的結(jié)果猜想:
Dn=cosnθ.
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這一猜想。
當時n=1,2,3已驗證猜想成立。
假設(shè)=k-1,n=4猜想成立,將Dk+1的最后一列展開整理得
Dk+1=(-1)2k+2cosθ.Dk+(-1)(k+1)+k.1.1.(-1)k+kDk-1
=2cosθ.Dk-Dk-1,
由歸納假設(shè)有
Dk-1=cos(k-1)θ,Dk=cnskθ,
從而
Dk+1=cosθ.coskθ-cos(k-1)θ
=2cosθ.cos(kθ)-cos(kθ)-cos(kθ).cosθ-son(kθ).sinθ
=cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ
=cos(k+1)θ
故猜想對一切自然數(shù)n均成立,從而有
Dn=cosnθ
(三)滾動相消法
當行列式兩行的值比較接近時,可采取計相鄰行中的某一行減(或加)上另一行的若于倍,這種方法叫滾動相消法。一般利用此方法后,最好在化簡后的行列式的第一行(列)能產(chǎn)生較多的零,以便再用降級法來做己其特點是各行(列)的元素之和都相同。
例3 計算n級行列式
解 考慮到D的每一行之和為定值1+2+3+…n=n(n+1)/2,故將D的第2列,…,第n列依次加到第1列,則
(四)化三角行列式法
利用行列式的性質(zhì),把原行列式化為上(或下)三角形行列式,使其形變值不變,于是原行列式值等于此上(或下)三角形行列式的主對角線的元素之積。
例4計算n級行列式
解 將第一行的-1悟加到其余各行,得
(五)折項法
把一個行列式拆成若干個行列式的和,拆開以后的行列式有規(guī)律可循,并且容易計算。
例5 計算n級行列式
解 將Dn按第列拆成兩行列式之和,其中
λ=c+(λ-c),得
由例3的結(jié)果得
Dn=c[x-b+(n-2)(a-b)](x-b-a+b)n-2+(λ-c)[x+(n-2)a](x-a)n-2
=(x-a)n-2[λx+λ(n-2)a-(n-1)bc]
(六)加邊法
把、階行列式適當?shù)奶砑觤行m列(m≥1),使得到的n+m階行列式與原行列式相等,而且升階后的行列式易于計算,進而求出原n階行列式。這種方法叫作升階法,又叫作加邊法。
例6 計算n級行列
解 把原式提升為n+1階行列式
(七)拉普拉斯展開法
運用公式|D|=M1A1+M2A2+…+MtAt來計算。其中M1,M2,…,Mt為D中取定k行后得到的子式,A1,A2,…,At分別為它的代數(shù)余子式。
例7 計算n級行列式
解 取第1,3,…,2n-1行,第1,3,…,2n-1列展開得
(八)遞推法
該方法是將計算行列式的問題變形為求數(shù)列通項公式的問題。
例8計算n級行列式
解當n≥3時,按第一行展開得
Dn=(1-a)Dn-1+aDn-2,
于是
從而
又容易驗證,此結(jié)果對n=1,2也成立。
(九)換元法
用同一個元素x加到n級行列式D中每一個元素上得到一個新的n級行列式D,那么
其中Aij是D中元aj的代數(shù)余子式。
一般地,用x1,x2,…,xn分別加到n級行列式D中第1,2,…,n列的每一個元素上得到一個新的n級行列式D,那么
其中Aij是D中元素aij的代數(shù)余子式。
換元法就是利用(1)(2)兩式,進行計算行列式的方法。
例9 計算n級行列式
中每個元素加上x所得,因此
(十)冪級數(shù)變換法
把一類行列式轉(zhuǎn)化為差分方程,再利用冪級數(shù)變換求解差分方程,即可求出行列式值。
例10 計算n級行列式
解n≥2時,按第一列展開得
Dn=Dn-1+Dn-2
該行列式序列D1,D2,D3,…,是斐波那契數(shù)列,開始項為1,2,以后各項均為前兩項之和,上式變形為
Dn-Dn-1-Dn-2=0(n=3,4,5,…)
設(shè)F(x)是{Dn}的生成函數(shù)
F(x)=D1x+D2x2+D3x3+…+Dnxn+…(1)
用(-x)剩(1)式得
-xF(x)=-D1x2-D2x3-D3x4-…-Dnxn+1-…
(2)
用(-x2)乘(1)試得
-x2F(x)=-D1x3-D2x4-D3x5-…Dnxn+2-…
將(1)(2)(3)式相加得(3)
F(x)(1-x-x2)=D1x+(D2-D1)x2+(D3--D2-D1)x3+…+(Dn-Dn-1-Dn-2)xn+…
由于Dn-Dn-1-Dn-2=0(n=3,4,5),且D1=1,
方程1-x-x2=0的兩個根為
比較(1)式和(4)式得系數(shù)
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