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      淺談n級行列式的計算方法

      2019-03-25 10:06趙永良
      活力 2019年2期

      趙永良

      [摘要]本文探討了行列式的計算方法問題,介紹了計算行列式的幾種行之有效的方法。除比較常用的定義法、化三角形法等方法外,還介紹了換元法、冪級數(shù)變換等技巧性較高的行列式的計算方法。只要靈活地運用這些計算技巧和方法,就可以基本上解決行列式的計算問題。

      [關(guān)鍵詞]n級行列式;逆序數(shù);代數(shù)余子式;換元法;冪級數(shù)變換

      引言

      行列式的計算是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一,也是學(xué)習(xí)中的一個重難點。對于階數(shù)較低的行列式,一般可直接利用行列式的定義和性質(zhì)計算出結(jié)果。但對于一般的n階行列式,特別是當n比較大時,直接用定義計算行列式往往比較困難和煩瑣,因此研究行列式的計算方法則顯得十分必要。只有掌握一定的計算技巧和方法,才能使計算大大簡化,從而得出結(jié)果。將本文介紹的幾種計算方法加以綜合應(yīng)用,就能基本L解決行列式的計算問題。

      一、預(yù)備知識

      (一)定義n級行列式

      其中j1j2…jn為n級排列,τ(j1j2…jn)為它的逆序數(shù)。

      (二)性質(zhì)

      性質(zhì)1 行列式轉(zhuǎn)置后值不變,D'=D。

      性質(zhì)2 行列互換,行列式不變。即

      性質(zhì)3 一行的公因子可以提出去,或者說以一數(shù)乘行列式的一行就相當于用這個數(shù)乘此行列式。即

      性質(zhì)4 如果某一行是兩組數(shù)的和,那么這個行列式就等于兩個行列式的和,而這兩個行列式除這一行以外與原來行列式的對應(yīng)行一樣。即

      性質(zhì)5 如果行列式中有兩行相同,那么行列式為零。

      性質(zhì)6 如果行列式中兩行成比例,那么行列式為零。即

      性質(zhì)7 把一行的倍數(shù)加到另一行,行列式值不變。即

      性質(zhì)8 交換行列式中兩行的位置,行列式反號。即

      二、重要結(jié)論及證明

      定理(拉普拉斯定理)設(shè)在行列式D中任意取定了K(1≤k≤n-1)個行,由這K行元素組成的一切K級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。

      證 設(shè)D中取定K行后得到的子式為M1,Mt它的代數(shù)余子式分別為A1,A2,…,At,定理要求證明

      D=M1A1+M2A2+…MtAt.

      由于MiAi(i=1,2,…,t)中每一項都蔇D中一項而且符號相同。而且MiAi和MjAj(i≠j)無公共項,因此為了證明定理,只要證明等式兩邊項數(shù)相等就可以了。顯然等式左邊共有n!項,為了計算右邊的項數(shù),首先來求出t。根據(jù)子式的取法知道

      t=Cnk=n![k!(n-k)!]

      因為Mi中共有K!項,Ai中共有(n*k)!項。所以右邊共有

      t.k!.(n-k)!=n!

      項。定理得證。

      三、求行列式的十種方法

      (一)定義法

      自接利用行列式的定義進行計算,此方法適用于行列式中有較多零元素的情形。

      例1 計算n級行列式

      解 此行列式剛好只有n個非零元素a12,a23,…an-1,n,an1,故

      D=(-1)τ(23…n1)a12a23…an-1,nan1=(-1)n-1n!

      (二)數(shù)學(xué)法歸納法

      先通過計算一些初始行列式D1,D2,D3等,找出它們的結(jié)果與級數(shù)之間的關(guān)系,用不完全歸納法對Dn的結(jié)果提出猜想,然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明其猜想成立。

      例2 計算n級行列式

      解 易得

      D1=cosθ

      由D1,D2,D3的結(jié)果猜想:

      Dn=cosnθ.

      以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這一猜想。

      當時n=1,2,3已驗證猜想成立。

      假設(shè)=k-1,n=4猜想成立,將Dk+1的最后一列展開整理得

      Dk+1=(-1)2k+2cosθ.Dk+(-1)(k+1)+k.1.1.(-1)k+kDk-1

      =2cosθ.Dk-Dk-1,

      由歸納假設(shè)有

      Dk-1=cos(k-1)θ,Dk=cnskθ,

      從而

      Dk+1=cosθ.coskθ-cos(k-1)θ

      =2cosθ.cos(kθ)-cos(kθ)-cos(kθ).cosθ-son(kθ).sinθ

      =cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ

      =cos(k+1)θ

      故猜想對一切自然數(shù)n均成立,從而有

      Dn=cosnθ

      (三)滾動相消法

      當行列式兩行的值比較接近時,可采取計相鄰行中的某一行減(或加)上另一行的若于倍,這種方法叫滾動相消法。一般利用此方法后,最好在化簡后的行列式的第一行(列)能產(chǎn)生較多的零,以便再用降級法來做己其特點是各行(列)的元素之和都相同。

      例3 計算n級行列式

      解 考慮到D的每一行之和為定值1+2+3+…n=n(n+1)/2,故將D的第2列,…,第n列依次加到第1列,則

      (四)化三角行列式法

      利用行列式的性質(zhì),把原行列式化為上(或下)三角形行列式,使其形變值不變,于是原行列式值等于此上(或下)三角形行列式的主對角線的元素之積。

      例4計算n級行列式

      解 將第一行的-1悟加到其余各行,得

      (五)折項法

      把一個行列式拆成若干個行列式的和,拆開以后的行列式有規(guī)律可循,并且容易計算。

      例5 計算n級行列式

      解 將Dn按第列拆成兩行列式之和,其中

      λ=c+(λ-c),得

      由例3的結(jié)果得

      Dn=c[x-b+(n-2)(a-b)](x-b-a+b)n-2+(λ-c)[x+(n-2)a](x-a)n-2

      =(x-a)n-2[λx+λ(n-2)a-(n-1)bc]

      (六)加邊法

      把、階行列式適當?shù)奶砑觤行m列(m≥1),使得到的n+m階行列式與原行列式相等,而且升階后的行列式易于計算,進而求出原n階行列式。這種方法叫作升階法,又叫作加邊法。

      例6 計算n級行列

      解 把原式提升為n+1階行列式

      (七)拉普拉斯展開法

      運用公式|D|=M1A1+M2A2+…+MtAt來計算。其中M1,M2,…,Mt為D中取定k行后得到的子式,A1,A2,…,At分別為它的代數(shù)余子式。

      例7 計算n級行列式

      解 取第1,3,…,2n-1行,第1,3,…,2n-1列展開得

      (八)遞推法

      該方法是將計算行列式的問題變形為求數(shù)列通項公式的問題。

      例8計算n級行列式

      解當n≥3時,按第一行展開得

      Dn=(1-a)Dn-1+aDn-2,

      于是

      從而

      又容易驗證,此結(jié)果對n=1,2也成立。

      (九)換元法

      用同一個元素x加到n級行列式D中每一個元素上得到一個新的n級行列式D,那么

      其中Aij是D中元aj的代數(shù)余子式。

      一般地,用x1,x2,…,xn分別加到n級行列式D中第1,2,…,n列的每一個元素上得到一個新的n級行列式D,那么

      其中Aij是D中元素aij的代數(shù)余子式。

      換元法就是利用(1)(2)兩式,進行計算行列式的方法。

      例9 計算n級行列式

      中每個元素加上x所得,因此

      (十)冪級數(shù)變換法

      把一類行列式轉(zhuǎn)化為差分方程,再利用冪級數(shù)變換求解差分方程,即可求出行列式值。

      例10 計算n級行列式

      解n≥2時,按第一列展開得

      Dn=Dn-1+Dn-2

      該行列式序列D1,D2,D3,…,是斐波那契數(shù)列,開始項為1,2,以后各項均為前兩項之和,上式變形為

      Dn-Dn-1-Dn-2=0(n=3,4,5,…)

      設(shè)F(x)是{Dn}的生成函數(shù)

      F(x)=D1x+D2x2+D3x3+…+Dnxn+…(1)

      用(-x)剩(1)式得

      -xF(x)=-D1x2-D2x3-D3x4-…-Dnxn+1-…

      (2)

      用(-x2)乘(1)試得

      -x2F(x)=-D1x3-D2x4-D3x5-…Dnxn+2-…

      將(1)(2)(3)式相加得(3)

      F(x)(1-x-x2)=D1x+(D2-D1)x2+(D3--D2-D1)x3+…+(Dn-Dn-1-Dn-2)xn+…

      由于Dn-Dn-1-Dn-2=0(n=3,4,5),且D1=1,

      方程1-x-x2=0的兩個根為

      比較(1)式和(4)式得系數(shù)

      參考文獻:

      [1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1978.

      [2]李志慧,李永明.高等代數(shù)中的典型問題與方法[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

      [3]王文省,趙建立,于增海,等.高等代數(shù)[M].濟南:山東大學(xué)出版社,2004.

      [4]周金土.高等代數(shù)解題思想與方法[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2008.

      [5]黎伯堂,劉桂真.高等代數(shù)解題技巧與方法[M].濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2002.

      [6]曹重光,張顯,唐孝敏.高等代數(shù)方法選講[M].北京:科學(xué)出版社,2011.

      [7]單靜.高等代數(shù)典型問題學(xué)習(xí)與研究[M].長春:吉林人民出版社,2005.

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