黃菊香

[摘 要] 教師在HPM理論的實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)考慮課堂教學(xué)時(shí)間的有限性、數(shù)學(xué)史與教學(xué)內(nèi)容的吻合程度以及引入的時(shí)機(jī)與方法，在平時(shí)的教學(xué)鉆研與反思中不斷積累數(shù)學(xué)史素材并為其在數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用打下物質(zhì)基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] HPM視角；情感；態(tài)度；價(jià)值觀

高中數(shù)學(xué)在情感目標(biāo)方面的教學(xué)要求

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、態(tài)度、價(jià)值觀等方面所設(shè)置的目標(biāo)與內(nèi)容實(shí)際上正是對(duì)學(xué)生全面和諧發(fā)展所提出的進(jìn)一步要求，事實(shí)上，《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心、鉆研精神、科學(xué)態(tài)度、價(jià)值認(rèn)知、批判思維、理性精神等方面的要求都進(jìn)行了具體的闡述并將其滲透在了知識(shí)與方法的教學(xué)中.

數(shù)學(xué)教育教學(xué)的諸多專家與教師在“情感、態(tài)度、價(jià)值觀”目標(biāo)的達(dá)成上付諸了很多的精力并實(shí)踐了諸多的理論、方法與手段. 章建躍博士所提倡的借助知識(shí)載體并不斷在教學(xué)中滲透情感、態(tài)度、價(jià)值觀的觀點(diǎn)與HPM理論正是不謀而合的.

HPM理論

HPM是History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，數(shù)學(xué)史、多元文化的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史和學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展、數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)在教學(xué)中的應(yīng)用等諸多內(nèi)容隨著HPM研究的發(fā)展都被囊括于HPM理論之中，數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系這一HPM理論研究的主要方向也成為近年來數(shù)學(xué)教育研究關(guān)注的熱點(diǎn)與重點(diǎn). 值得大家關(guān)注的是，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值雖然得到了廣泛的認(rèn)可與高度的評(píng)價(jià)，但其在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用卻仍是比較膚淺或少見的.

HPM視角下的實(shí)踐案例設(shè)計(jì)

1. 重現(xiàn)知識(shí)形成的過程以幫助學(xué)生形成正確認(rèn)知

案例1：《集合》這一高中起始階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容雖然難度不是很大，但很多學(xué)生對(duì)于集合學(xué)習(xí)的重要性卻知之甚少，很多學(xué)生根本難以理解《集合》內(nèi)容置于高中數(shù)學(xué)知識(shí)首章的意義，因此，教師在這一內(nèi)容的教學(xué)之前可以先將數(shù)學(xué)史上的第二次危機(jī)進(jìn)行簡單的介紹以幫助學(xué)生對(duì)集合的知識(shí)增進(jìn)了解.

牛頓與萊布尼茨于公元17世紀(jì)創(chuàng)立了能夠提示與解釋很多自然現(xiàn)象的微積分，人們因其在自然科學(xué)的理論研究與實(shí)際應(yīng)用中所起的重要作用而對(duì)其廣泛關(guān)注. 不過，建立之初的微積分并沒有嚴(yán)密的理論作為基礎(chǔ)與支撐，因此，只在方法上有所建樹的微積分事實(shí)上在很多地方還存在一些漏洞且不能自圓其說. 哲學(xué)家貝克萊針對(duì)微積分所存在的缺陷提出了自己的觀點(diǎn)：用Δx除Δy，說明Δx不為零；再將除后含有Δx的項(xiàng)扔掉，則說明Δx為零，兩者相互矛盾. 數(shù)學(xué)發(fā)展史上的第二次危機(jī)也因?yàn)樨惪巳R所發(fā)現(xiàn)的這一矛盾而形成.

無數(shù)人為了解決這一危機(jī)而投身于研究并因此建立了極限理論、實(shí)數(shù)理論以及集合論，微積分此時(shí)才獲得相對(duì)穩(wěn)固的基礎(chǔ). 極限理論的研究必須建立在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)之上，而實(shí)數(shù)理論的研究又必須建立在集合論的基礎(chǔ)之上，由此可見，集合論是最為基礎(chǔ)的理論.

教師對(duì)于知識(shí)發(fā)生發(fā)展的介紹使得學(xué)生對(duì)集合學(xué)習(xí)的重要意義有了新的理解，學(xué)生在集合論的曲折創(chuàng)立中也激發(fā)出更加高昂的學(xué)習(xí)興致.

2. 穿插史實(shí)性知識(shí)促進(jìn)學(xué)生的重新認(rèn)識(shí)和深入理解

案例2：函數(shù)知識(shí)雖然是學(xué)生在初中階段就已經(jīng)接觸過的內(nèi)容，但高中數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)卻又重新進(jìn)行了定義與研究，其中緣由很多學(xué)生無法理解，教師可以將著名的狄利克雷函數(shù)在高中函數(shù)概念及表示方法的教學(xué)之后穿插進(jìn)來以幫助學(xué)生深刻地理解.

狄利克雷函數(shù)：

D（x）=1，x為有理數(shù).0，x為無理數(shù).

這一描述法與學(xué)生剛學(xué)的常見表示方法是不一樣的. 學(xué)生在這一歷史案例的接觸中很快明白并不是所有的函數(shù)都一定會(huì)有解析式，運(yùn)用“變量說”這一初中階段接觸的函數(shù)定義來進(jìn)行解釋是行不通的，高中階段對(duì)函數(shù)重新定義與學(xué)習(xí)的意義也由此得以展露.

3. 穿插前人數(shù)學(xué)研究中的問題以促進(jìn)學(xué)生求知與探索欲望的萌發(fā)

案例3：教師在用“二分法”求方程近似值這一內(nèi)容的教學(xué)中可以將以下問題作為引入的手段：

問題1：求下述方程的根：（1）2x+1=0；（2）x2+2x-3=0.

問題2：方程lnx+2x-6=0在區(qū)間（2，3）內(nèi)有根嗎？

問題3：如何求方程lnx+2x-6=0的根？

問題1利用求根公式即可得解，問題2利用零點(diǎn)存在定理也能得到合理的判斷，問題3的解決則需要方程求解史的適度介紹才能令學(xué)生切身感受問題的解決.

一次方程、二次方程的一般解法是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米于9世紀(jì)時(shí)給出的，三次方程的一般解法則是意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞于1514年給出的，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾于1945年在《大術(shù)》一書中對(duì)塔爾塔利亞的解法進(jìn)行了發(fā)展性的研究，費(fèi)拉里對(duì)于四次方程提出的一般解法也記載于其中，法國數(shù)學(xué)大師拉格朗日在1778年提出了五次方程式解不存在的觀點(diǎn)，法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦于1828年證明了指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、五次以上的高次代數(shù)方程等方程均不能運(yùn)用代數(shù)方法求解.

學(xué)生在了解這段方程求解的歷史之后對(duì)問題3自然會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望，這對(duì)于后續(xù)“二分法”的學(xué)習(xí)來說自然是相當(dāng)有意義的.

4. 穿插數(shù)學(xué)名題以培養(yǎng)學(xué)生的理性精神

案例4：很多構(gòu)思巧妙并能深刻反映數(shù)學(xué)思想方法的各類數(shù)學(xué)名題是尤為具備數(shù)學(xué)教育與鑒賞價(jià)值的，古為今用的名題的引入大大激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)還能很好地培養(yǎng)學(xué)生的理性精神. 例如，教師在算法的三種結(jié)構(gòu)的教學(xué)之后可以將以下名題供學(xué)生思考：擅長計(jì)算的美索不達(dá)米亞人不僅創(chuàng)造了優(yōu)良的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，他們?cè)谕苿?dòng)程序化算法發(fā)展的同時(shí)還創(chuàng)造出了很多成熟的算法，求正數(shù)平方根近似的算法在諸多成熟算法中是相對(duì)最為突出且具代表性的，具體算法如下：

教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)以上步驟不斷反復(fù)運(yùn)算直至獲得滿足精確度的近似值，再適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)這一算法畫出對(duì)應(yīng)的流程圖并因此幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行及時(shí)的鞏固，學(xué)生在靈活運(yùn)用中不僅能夠真切感受到古人的智慧，還能在體會(huì)開方運(yùn)算思想的過程中培養(yǎng)出崇尚科學(xué)的理性精神.

5. 介紹數(shù)學(xué)家的生平事跡以促進(jìn)學(xué)生鉆研精神與科學(xué)態(tài)度的逐步養(yǎng)成

案例5：教師在函數(shù)知識(shí)的教學(xué)之前可以將華羅庚自學(xué)成才的故事進(jìn)行介紹，幫助學(xué)生做好思想準(zhǔn)備以應(yīng)對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí).

我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚兒時(shí)的家境非常貧困，華羅庚只好輟學(xué)并在父親的小雜貨鋪當(dāng)學(xué)徒，但如此惡劣的條件并沒有令他產(chǎn)生放棄學(xué)習(xí)的念頭，他常常在空閑時(shí)間自學(xué)數(shù)學(xué). 清華大學(xué)數(shù)學(xué)系的熊慶來主任對(duì)于他19歲時(shí)撰寫的論文深表贊賞并因此邀請(qǐng)他至清華大學(xué)工作與進(jìn)修，華羅庚在清華大學(xué)邊工作邊進(jìn)修的過程中更是展現(xiàn)出了刻苦鉆研的學(xué)習(xí)態(tài)度與鉆研精神，自學(xué)數(shù)學(xué)、英文、法文和德文. 自學(xué)成才的華羅庚后來被西南聯(lián)合大學(xué)聘為教授，但他并沒有就此滿足，他常常利用晚上的時(shí)間進(jìn)行數(shù)學(xué)工作的研究，華羅庚一生著作頗豐，但他即使到了晚年仍堅(jiān)持讀寫研究，他一生研究所得的近300篇學(xué)術(shù)論文與10多種科普讀物都是人類寶貴的財(cái)富，僅有初中文憑的華羅庚蜚聲中外，這都是他孜孜不倦、刻苦鉆研、埋頭苦干而應(yīng)得的.

學(xué)生在華羅庚勤奮不息、自學(xué)成才的故事中往往能夠受到極大的感染，這對(duì)于他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度來說往往能夠起到特別積極的作用.

5. HPM理論應(yīng)用的注意事項(xiàng)

（1）教師應(yīng)考慮課堂教學(xué)時(shí)間的有限性，不拘泥于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)史材料，有目的地選擇能夠體現(xiàn)主要數(shù)學(xué)思想方法的觀點(diǎn)或內(nèi)容.

（2）教師在選擇數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)名題等過程中應(yīng)考慮其中思想是否與當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容相吻合.

（3）教師在穿插數(shù)學(xué)史等素材時(shí)應(yīng)注意時(shí)機(jī)與方式，單純地講故事在數(shù)學(xué)教學(xué)中是極不合適的，適當(dāng)?shù)厝谌肱c引領(lǐng)往往能夠在課堂教學(xué)中獲得更好的效果.

（4）教師在平時(shí)的教學(xué)鉆研與反思中應(yīng)不斷注重?cái)?shù)學(xué)史等方面素養(yǎng)的提升并因此為數(shù)學(xué)史素材的靈活應(yīng)用奠定物質(zhì)基礎(chǔ).