一類分數階基爾霍夫方程的無窮多解*

張申貴

(西北民族大學數學與計算機科學學院, 甘肅 蘭州 730030)

在研究彈性弦自由振動問題時，德國物理學家Kirchhoff 推廣了經典的達朗貝爾波方程，并建立了如下形式的方程

(1)

(2)

其中a，b為正常數。該方程可以更加精確的描述細菌在特定區(qū)域內的傳播過程,u表示種群密度, 參見文獻[1]，其對應的穩(wěn)態(tài)方程為

(3)

近年來, 學者們開始利用變分方法和臨界點理論研究問題(3)的可解性[2-8]。另外, 在文獻[9]中, Fiscella 和 Valdinoci 研究了一類分數階基爾霍夫模型, 并且詳細地討論了分數階基爾霍夫型方程的物理意義。本文中, 利用臨界點理論研究分數階基爾霍夫方程 Dirichlet 邊值問題

(4)

設0

本文中，在不同于(AR)的超線性條件下, 我們將利用臨界點理論中的噴泉定理[19]得到問題(4)無窮多高能量解的存在性定理。

1 準備知識

變指數分數階Sobolev 空間的性質, 見文獻[20-21]。

其中S(Ω)為可測的實值函數集合，其范數為

|u|Lq(x)(Ω)=|u|q(x)=

記變指數分數階Sobolev 空間為

[u]s,p(x,y)=

引理2[20]線性有界算子J定義為:

?u,v∈W0

引理4[19](噴泉定理)設X為Banach空間，X=Zk⊕Yk，dimYk<+∞。若泛函I∈C1(X,R),滿足:I(0)=0，I(u)=I(-u)，且

(i)泛函I滿足(C)條件，即

對任何點列{un}?X，由{I(un)}有界，(1+||un||)||I′(un)||→0(n→+∞)，蘊含{un}有收斂子列；

則泛函I有一列趨向于+∞的臨界值。

2 主要結果

稱u∈W0是問題(4)的弱解指：對?v∈W0，有

在W0上定義能量泛函I如下：

其中

則I∈C1(W0,R)，且

[I′(u),v]=(a+bψ(u))·

則u∈W0是問題(4)的(弱)解等價于u是泛函I的臨界點。

假設以下條件成立：

(F3) 設F(x,0)=0，F(x,s)=F(x,-s)，對所有x∈Ω和s∈R成立。

本文的主要結果如下：

定理1 設條件(F0) (F1) (F2)和(F3)成立，則問題(4)有一列解{uk}k∈N滿足：當k→+∞時，有I(uk)→+∞。

證明下面利用噴泉定理(引理 4)證明定理 1。

第1步證明泛函I滿足(C)條件。設{un}?W0為能量泛函I的(C)序列，那么

|I(un)|≤c3，(1+||un||)||I′(un)||≤c3

(5)

首先，證明{un}在空間W0中有界，反設{un}在W0中無界，則當n→+∞時，有

(6)

(7)

利用H?lder不等式和式(7)，有

(8)

(9)

所有x∈Ω和u∈R成立。由條件(F0)，(F2)，式(9)，有

(10)

(11)

結合式(10)，式(11)，有

(12)

由式(6)，式(12)，當n→+∞時，有

(13)

結合式(8)，式(13)，當n→+∞時，有

(14)

當n充分大時，利用條件(F2)，式(11)，有

(15)

(16)

[I′(un),un]=

(17)

由式(5)，式(6)，式(16)，式(17)，當n→+∞時，a≤0，這與a>0矛盾，故{un}在W0中有界。

注意到W0是自反的 Banach 空間，則存在u∈W0，使得{un}在W0中弱收斂于u，且{un}在Lβ(Ω)中強收斂于u，其中p-≤β

(18)

?u,v∈W0

由引理 2，{un}在W0中強收斂于u，故泛函I滿足條件(C)。

記γk= sup{|u|β:u∈Zk,|u|=1}，其中|u|β為Lβ(Ω)的范數，則當k→+∞時，有γk→0[20]。

對于

由式(9)和引理1，有

第3步證明泛函I滿足引理4中條件(iii)。

由條件(F1)和式(9)，對于??>0，存在c7>0，使得

(19)