林秀秀，卞鴻巍，馬 恒，王榮穎

海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430033

地球的真實(shí)形狀是一個(gè)不規(guī)則的球體[1-2]，所以地球的數(shù)學(xué)模型可分為第一近似模型和第二近似模型。其中第一近似為球體模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，幾何誤差一般不可忽略，在中低緯度地區(qū)多應(yīng)用于復(fù)雜的誤差分析。地球的第二近似為橢球模型，參考旋轉(zhuǎn)橢球體更接近地球的真實(shí)形狀，幾何誤差可以忽略不計(jì)，在中低緯度地區(qū)多應(yīng)用于慣導(dǎo)解算。在極區(qū)，地球球體模型的幾何誤差減小，地球橢球模型的慣導(dǎo)解算復(fù)雜度增加，而且由于基于橢球模型的橫向坐標(biāo)系橫向經(jīng)緯線(xiàn)不正交的問(wèn)題引入了編排原理性誤差[3-5]，球體模型也被應(yīng)用于極區(qū)慣導(dǎo)解算[6]中。在極區(qū)導(dǎo)航算法的進(jìn)一步研究中，球體模型由于表達(dá)式簡(jiǎn)單得到了更廣泛的研究。文獻(xiàn)[7]研究了基于球體模型的極區(qū)組合導(dǎo)航算法；文獻(xiàn)[8—10]分別提出基于球體模型的極區(qū)對(duì)準(zhǔn)方法；文獻(xiàn)[11]研究了基于球體模型的中低緯度對(duì)極區(qū)導(dǎo)航模擬方法。針對(duì)具體極區(qū)導(dǎo)航應(yīng)用中選用的地球近似模型類(lèi)型一直沒(méi)有明確的界定。慣導(dǎo)極區(qū)編排地球近似模型適用性研究對(duì)極區(qū)導(dǎo)航針對(duì)性研究具有重要意義。

為了實(shí)現(xiàn)地球近似模型的適用性分析，首先定義適用于極區(qū)的第一近似模型和第二近似模型，然后通過(guò)誤差分析方法，對(duì)球近似模型的幾何誤差進(jìn)行慣導(dǎo)誤差分析，明確球體模型幾何誤差對(duì)慣導(dǎo)編排的影響形式，最后通過(guò)仿真對(duì)比地球近似模型的慣導(dǎo)誤差。仿真結(jié)果表明，球近似模型幾何誤差會(huì)隨慣導(dǎo)運(yùn)行時(shí)間發(fā)散，而橢球近似模型的編排誤差隨時(shí)間變化不大，當(dāng)慣導(dǎo)運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)則球近似模型不再適用于極區(qū)。

1 地球近似模型定義

1.1 球近似模型半徑的選取

當(dāng)選用球近似模型作為地球模型時(shí)，其原點(diǎn)必定位于地心，故地球模型半徑的選取關(guān)系到模型對(duì)地球的擬合程度，直接影響地球模型的幾何誤差。在不同的應(yīng)用領(lǐng)域中，地球模型半徑選取形式都不同，常用的球體半徑有等面積半徑Ra、等體積半徑Rv、橢球長(zhǎng)半軸半徑Re、橢球短半軸半徑Rp等。在極區(qū)應(yīng)用中，常選取切換位置橢球體曲率半徑Rs[12]或橢球短半軸半徑作為球體模型的半徑[13]。本文通過(guò)取N個(gè)地球橢球模型上的點(diǎn)p0i(xi,yi)使用最小二乘法擬合出與橢球模型半徑誤差最小的地球模型。由于橢球表面上的點(diǎn)到地心的距離與所在位置的經(jīng)度無(wú)關(guān)，所以本文以過(guò)本初子午線(xiàn)的切面為例。

橢球上點(diǎn)到球面距離的平方和M為

(1)

式中，R為由最小二乘法確定的球體模型半徑。

最小二乘法要求橢球點(diǎn)到地心的距離與球半徑的誤差值的平方和為最小值，故存在

(2)

結(jié)合式(1)和式(2)求得

(3)

在極區(qū)范圍的橢球弧線(xiàn)上分別取N=1120、N=11 112、N=111 112，得到最小二乘法擬合半徑均為R=6 356.968 km，設(shè)切換位置為80°N，即取樣范圍為80°～90°的弧線(xiàn)，通過(guò)計(jì)算對(duì)球體模型半徑進(jìn)行對(duì)比，球體模型半徑對(duì)比參數(shù)見(jiàn)表1。

表1球體模型半徑對(duì)比參數(shù)

Tab.1Comparisonparametersoftheradiusoftheearthspheremodel

半徑類(lèi)型半徑/km橢球上點(diǎn)到球面距離的平方和MN=1120N=11112N=111112等表面積半徑Ra6371.010219286.842191386.1721912379.48等體積半徑Rv6371.004219099.512189514.1921893660.90橢球長(zhǎng)半軸半徑Re6378.137498333.624979895.4449795513.57橢球短半軸半徑Rp6356.75293.61932.859325.24切換位置橢球體曲率半徑Rs6357.398246.492464.9024649.00最小二乘法擬合半徑R6356.96841.48413.394132.45

橢球上的點(diǎn)到球面距離的平方和M的大小可以表示為球體模型與橢球體模型在忽略經(jīng)緯度誤差情況下的高度誤差平方和。由于在慣導(dǎo)解算中高度誤差發(fā)散，故選擇的M值應(yīng)盡可能小，橢球上的點(diǎn)到球面距離的平方和M值可以表征球體模型對(duì)橢球體模型的擬合程度，由計(jì)算結(jié)果可知，在極區(qū)范圍內(nèi)，與橢球體模型最相近的球體模型的半徑為最小二乘法擬合半徑R。

1.2 地球模型定義與對(duì)比

tan ΔL≈ΔL≈fsin 2L

(4)

由關(guān)系式可見(jiàn)兩者最大偏差出現(xiàn)在緯度45°處，在極區(qū)緯度誤差減小[15]，故而球體模型在一定的誤差范圍內(nèi)可以使用。

圖1 球體模型與橢球模型定義對(duì)比圖Fig.1 Comparison diagram between the sphere model and ellipsoid model

2 橫向坐標(biāo)系慣導(dǎo)編排及其誤差分析

2.1 橫向坐標(biāo)系慣導(dǎo)編排

橫向坐標(biāo)系能解決極點(diǎn)處計(jì)算存在奇異值的問(wèn)題，在極區(qū)導(dǎo)航實(shí)際應(yīng)用中橫向坐標(biāo)系的研究具有重要意義。本文使用的橫向坐標(biāo)系如圖2所示，載體位置為橫向坐標(biāo)系(t系)的原點(diǎn)，沿參考球體模型的法線(xiàn)指向天為Zt軸，Xt軸沿橫向緯度線(xiàn)指向橫向正東，Yt軸沿當(dāng)?shù)貦M向子午線(xiàn)指向橫向正北，Xt軸與Yt軸均與Zt軸符合右手定則。其橫向經(jīng)緯線(xiàn)如圖所示，φ′為橫向緯度，λ′為橫向經(jīng)度。

圖2 橫向經(jīng)緯度與橫向坐標(biāo)系示意圖Fig.2 A schematic diagram of transverse longitude and latitude and transverse coordinate system

橫向坐標(biāo)系的編排可分別由以下速度、姿態(tài)和位置更新方程確定(具體推導(dǎo)過(guò)程從略)

(5)

通過(guò)計(jì)算值減去真實(shí)值推導(dǎo)橫向坐標(biāo)系誤差方程(具體推導(dǎo)過(guò)程從略)

(6)

(7)

(8)

2.2 橫向坐標(biāo)系誤差分析

結(jié)合1.2節(jié)和2.1節(jié)可知球近似模型的幾何誤差會(huì)引起解算的位置誤差和高度誤差。在慣導(dǎo)解算中高度誤差是發(fā)散的，且姿態(tài)誤差將影響到垂線(xiàn)偏角誤差，即球體模型的選用不僅僅會(huì)帶來(lái)幾何誤差，還會(huì)引起慣導(dǎo)解算誤差。本節(jié)參考文獻(xiàn)[16]中慣導(dǎo)橫向坐標(biāo)系導(dǎo)航性能研究方法，推導(dǎo)球體模型幾何誤差引起慣導(dǎo)解算誤差的具體形式，該誤差分析形式與慣導(dǎo)解算中初始誤差對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差分析基本一致。

為了分析球體模型和橢球模型的幾何誤差對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)的影響，在靜基座條件下進(jìn)行誤差分析，可將誤差方程寫(xiě)成矩陣形式

(9)

進(jìn)行拉普拉斯變換得

X(s)=(sI-F)-1[X(0)+W(s)]

(10)

推導(dǎo)可得其特征

(11)

為簡(jiǎn)化計(jì)算，忽略傅科周期成分及元器件誤差，推導(dǎo)出由幾何誤差引起的橫向坐標(biāo)系的系統(tǒng)誤差

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

結(jié)合上述分析可知，球體模型的橫向緯度幾何誤差以及姿態(tài)幾何誤差引起的常值誤差和振蕩性誤差的疊加，其余項(xiàng)產(chǎn)生振蕩性誤差，幾何誤差影響隨時(shí)間發(fā)散。

3 地球近似模型適用性范圍分析

球體模型存在幾何誤差會(huì)產(chǎn)生慣導(dǎo)誤差，同時(shí)在橢球體模型的編排中，為了解決橫向經(jīng)緯線(xiàn)不正交的問(wèn)題，對(duì)編排作了一定的近似，帶來(lái)了原理性的誤差，故在地球模型和橢球體模型的選用中，要考慮兩者誤差的大小，將兩者誤差進(jìn)行比較。

由于器件誤差會(huì)隨時(shí)間發(fā)散，為了對(duì)球體模型的慣導(dǎo)誤差和橢球體模型的慣導(dǎo)誤差進(jìn)行對(duì)比，本文對(duì)無(wú)器件誤差對(duì)球體模型誤差和橢球體模型誤差進(jìn)行對(duì)比仿真，并通過(guò)不同時(shí)長(zhǎng)的仿真觀察球體模型誤差發(fā)散對(duì)模型對(duì)比的影響。

本文以航海任務(wù)為例，對(duì)極區(qū)地球近似模型無(wú)器件誤差慣導(dǎo)編排誤差進(jìn)行仿真，通過(guò)不同時(shí)長(zhǎng)仿真結(jié)果對(duì)在航海任務(wù)中地球近似模型的使用范圍進(jìn)行給定，為極區(qū)模型研究提供理論依據(jù)。

3.1 無(wú)器件誤差對(duì)比仿真

為了對(duì)不同地球近似模型誤差仿真進(jìn)行分析，假設(shè)載體初始地理位置為(80°N,125°E)，在靜基座條件下，仿真周期分別為24、240、360 h。在軌跡發(fā)生器中忽略元器件帶來(lái)的誤差。仿真結(jié)果如圖3—圖5所示。

表2無(wú)器件誤差不同時(shí)長(zhǎng)地球模型編排誤差對(duì)比數(shù)據(jù)

Tab.2ThecomparisondataofdifferenttimeINSarrangementerrorwithnondeviceerror

統(tǒng)計(jì)量24h240h360hΔδφ′/m0.033711.22.59×106Δδλ′/m0.017638.72.46×106ΔδvtE/(m/s)7.19×10-60.813.23×103ΔδvtN/(m/s)2.12×10-50.923.34×103Δ?tE/(′)1.39×10-50.351.4×103Δ?tN/(′)1.72×10-50.381.27×103Δ?tU/(′)1.19×10-50.0343.48×102

對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析可知，在極區(qū)無(wú)器件誤差條件下：①24 h內(nèi)，地球球體模型幾何誤差和地球橢球模型編排誤差引起的慣導(dǎo)誤差差異不大，故24 h內(nèi)地球模型可以使用，極區(qū)編排選用球近似模型；②240 h后球體模型和橢球體模型引起的編排誤差差異變大，兩種模型差異明顯，故時(shí)長(zhǎng)超過(guò)240 h，地球模型誤差較大，建議極區(qū)編排選用橢球近似模型；③在極區(qū)無(wú)器件誤差條件下，地球球體模型幾何誤差引起的慣導(dǎo)編排隨著時(shí)間積累，靜基座條件下，360 h后球體模型的經(jīng)緯度誤差超過(guò)2.4×106m，速度誤差超過(guò)3.2×103m/s，球體模型編排已經(jīng)發(fā)散，不能使用，極區(qū)編排選用橢球近似模型。

圖3 極區(qū)地球近似模型無(wú)器件誤差慣導(dǎo)24 h編排誤差對(duì)比結(jié)果Fig.3 The comparison result of 24 hours INS arrangement error of non device error with the approximate model in polar region

圖4 極區(qū)地球近似模型無(wú)器件誤差慣導(dǎo)240 h編排誤差對(duì)比結(jié)果Fig.4 The comparison result of 240 hours INS arrangement error of non device error with the approximate model in polar region

圖5 極區(qū)地球近似模型無(wú)器件誤差慣導(dǎo)360 h編排誤差對(duì)比結(jié)果Fig.5 The comparison result of 360 hours INS arrangement error of non device error with the approximate model in polar region

3.2 實(shí)際應(yīng)用地球近似模型選用分析

實(shí)際極區(qū)導(dǎo)航應(yīng)用中，元器件誤差不可忽略，載體形式不同，元器件誤差和慣導(dǎo)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)都不一致，本文以艦艇為例，通過(guò)對(duì)比球體模型和橢球模型橫向坐標(biāo)系編排誤差仿真，進(jìn)一步驗(yàn)證上一節(jié)結(jié)論，并分析極區(qū)導(dǎo)航應(yīng)用中適用的球體模型。

由于元器件誤差會(huì)使極區(qū)慣導(dǎo)編排發(fā)散[17]，故當(dāng)航行時(shí)間達(dá)到240 h時(shí)，基于橢球模型橫向坐標(biāo)系編排和基于球體模型橫向坐標(biāo)系編排均發(fā)散，其仿真結(jié)果已經(jīng)不再有效。由于極區(qū)特殊的地理環(huán)境[18-21]，組合導(dǎo)航[22]以及校準(zhǔn)模式[23-25]實(shí)際應(yīng)用的可行性還需要得到進(jìn)一步的驗(yàn)證。為了驗(yàn)證3.1節(jié)得出的結(jié)論同樣適用于存在元器件誤差的實(shí)際應(yīng)用，對(duì)純慣導(dǎo)模式分別進(jìn)行時(shí)長(zhǎng)24 h和120 h的仿真。假設(shè)載體初始地理位置為(80°N,125°E)，地理速度為0.01 m/s，地理航向角為0°，橫搖角設(shè)置為0.3°sin(πt/4)rad，縱搖角設(shè)置為0.3°sin(πt/4)rad。在軌跡發(fā)生器中將3個(gè)陀螺的常值漂移為0.001(°)/h，隨機(jī)白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.001(°)/h，3個(gè)加速度計(jì)零偏為10-5g，隨機(jī)白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為10-5g。仿真周期分別為24、120 h仿真結(jié)果如圖6—圖7所示。

圖6 極區(qū)地球近似模型航海級(jí)器件誤差24 h編排誤差對(duì)比結(jié)果Fig.6 The comparison result of 24 hours INS arrangement error of seafaring level device error with the approximate model in polar region

圖7 極區(qū)航海級(jí)器件誤差地球近似模型編排誤差120 h對(duì)比結(jié)果Fig.7 The comparison result of 120 hours INS arrangement error of seafaring level device error with the approximate model in polar region

分析以上仿真結(jié)果可知，航海級(jí)器件誤差120 h地球模型差異大于24 h地球模型差異，與3.1節(jié)中結(jié)論一致?？梢宰C實(shí)艦船實(shí)際航行中，運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)超過(guò)240 h時(shí)必須選用橢球近似模型，時(shí)長(zhǎng)少于240 h時(shí)，可選用球近似模型，以減少編排復(fù)雜度。同理，根據(jù)表3數(shù)據(jù)，飛機(jī)和導(dǎo)彈等短時(shí)間導(dǎo)航任務(wù)載體在極區(qū)可以使用球近似模型。在實(shí)際航行中，由于元器件誤差的存在會(huì)使慣導(dǎo)系統(tǒng)隨時(shí)間發(fā)散，一般不會(huì)存在運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)超過(guò)240 h的無(wú)校準(zhǔn)和組合導(dǎo)航的純慣導(dǎo)導(dǎo)航模式，但元器件誤差不會(huì)對(duì)幾何誤差引起的慣導(dǎo)誤差產(chǎn)生影響，故所得結(jié)論不會(huì)因?yàn)閷?dǎo)航模式為組合導(dǎo)航或校準(zhǔn)模式而改變。

表3不同載體類(lèi)型地球模型編排誤差對(duì)比數(shù)據(jù)

Tab.3ThecomparisondataofINSarrangementerrorofdifferentcarriertypes

統(tǒng)計(jì)量導(dǎo)彈飛機(jī)艦船艦船5h24h24h120hΔδφ′/m0.1676.42.47348.8Δδλ′/m1.49153.62.81516.5ΔδvtE/(m/s)0.0010.080.0070.59ΔδvtN/(m/s)0.0020.043.4×10-40.42Δ?tE/(′)9.4×10-50.065.8×10-40.39Δ?tN/(′)8.6×10-40.053.7×10-40.19Δ?tU/(′)8.2×10-40.010.00130.01

4 結(jié) 論

本文首先通過(guò)不同球體模型半徑對(duì)比，給出極區(qū)地球近似模型的定義。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)球近似模型幾何誤差，進(jìn)行橫向坐標(biāo)系慣導(dǎo)編排誤差分析，明確球體模型幾何誤差引起的慣導(dǎo)誤差的形式，最后通過(guò)對(duì)比球體模型幾何誤差引起的慣性誤差仿真和橢球模型編排誤差引起的慣性誤差仿真差異值，對(duì)幾種常見(jiàn)的導(dǎo)航載體適用的模型進(jìn)行判斷。得到以下結(jié)論：①在極區(qū)通過(guò)最小二乘法擬合的半徑R=6 356.968 km確定的球體模型與橢球模型最相近；②球體模型的橫向緯度幾何誤差以及姿態(tài)幾何誤差會(huì)引起常值誤差和振蕩性誤差的疊加，其余幾何誤差項(xiàng)產(chǎn)生振蕩性誤差，幾何誤差影響會(huì)隨時(shí)間發(fā)散；③在無(wú)器件誤差靜基座下判斷出球體模型適用于時(shí)長(zhǎng)小于240 h(10 d)的導(dǎo)航任務(wù)，橢球體模型適用于時(shí)長(zhǎng)大于240 h的導(dǎo)航任務(wù)；④針對(duì)不同載體類(lèi)型，根據(jù)其不同器件誤差和不同任務(wù)時(shí)長(zhǎng)對(duì)艦船、飛機(jī)和導(dǎo)彈進(jìn)行分析，建議在極區(qū)艦船使用橢球模型，而飛機(jī)和導(dǎo)彈使用球體模型。