吳智丁

(大唐水電科學技術研究院有限公司，廣西 南寧 530025)

1 研究背景

我國水利資源豐富，如何綜合考慮灌溉、發(fā)電、防洪和供水等需求是梯級水庫群優(yōu)化調(diào)度的核心問題，關系著社會、經(jīng)濟和環(huán)境等多方面的綜合利益[1，2]。然而梯級水庫群之間存在著水文、水力、電力、經(jīng)濟之間的強耦合關系，呈現(xiàn)多目標、非線性、變量多和約束強等特性[3-6]。傳統(tǒng)優(yōu)化方法，如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃等，會面臨難以直接求解、無法保證全局最優(yōu)及維數(shù)災等難題[7-11]，智能種群優(yōu)化方法，如遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)、粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)、蛛群算法和布谷鳥算法等，又存在收斂速度慢、收斂早熟和魯棒性差等問題[12-15]。因此，在梯級水庫群優(yōu)化調(diào)度中嘗試引入新的優(yōu)化算法，以實現(xiàn)收斂性能和計算速度的均衡仍然是學術界研究的熱點和難點。

仿水循環(huán)算法(Water Cycle-like Algorithm，WCA)是近些年來出現(xiàn)的一種新的智能種群優(yōu)化算法[16-18]，它模擬大自然水循環(huán)及水流動的過程，利用相對重力機制令水滴粒子在解空間內(nèi)搜尋目標函數(shù)的最優(yōu)解。同時構(gòu)建匯流、分流、滲流、蒸發(fā)降雨4個優(yōu)化策略，其中：①匯流策略使多個鄰近水滴粒子匯聚為單個水滴，匯流后的水滴粒子質(zhì)量變大，能有效提高搜索速度，令水滴迅速逼近最優(yōu)解；②分流策略能防止單個水滴粒子質(zhì)量過大而導致的收斂早熟，當水滴粒子大于限制值時，則分流為多個小水滴繼續(xù)進行搜索；③滲流策略判斷當水滴粒子相對重力較弱時分裂為多個細小水滴在當前位置周圍進行局部搜索，大幅提高算法尋優(yōu)能力；④蒸發(fā)降雨策略令相對重力為零，即迭代停滯的早熟水滴粒子蒸發(fā)并脫離當前位置，之后隨機降雨至解空間內(nèi)，令其重新參與搜索，有效解決水滴粒子早熟及陷入局部最優(yōu)解的難題。基于以上迭代機制和搜索策略，使得WCA能按照當前的搜索情況自主改變水滴種群數(shù)量和水滴粒子質(zhì)量，智能調(diào)配搜索資源，令算法自適應當前的計算需求。因此WCA真正實現(xiàn)了種群的智能化，搜索能力強、魯棒性高，已經(jīng)被廣泛用于多個領域，成為近些年來智能種群算法的一個新亮點，然而目前這一算法尚未引入多目標水庫群優(yōu)化調(diào)度中。

本文對仿水循環(huán)算法進行研究，基于Pareto存檔進化策略(Pareto Archived Evolution Scheme，PAES)，構(gòu)建多目標尋優(yōu)問題下的WCA改進重力迭代機制，提出多目標仿水循環(huán)算法(Multi-objective Water Cycle-like Algorithm，MWCA)，并將其應用于梯級水庫群多目標優(yōu)化調(diào)度中。

2 梯級水庫群多目標優(yōu)化調(diào)度數(shù)學模型

2.1 目標函數(shù)

梯級水庫群兼具發(fā)電任務及民生、航運、農(nóng)業(yè)、工業(yè)等供水用途，因此其調(diào)度策略的制定應兼顧這兩方面的需求。本文構(gòu)建梯級水庫站群發(fā)電量最大及供水量最大的多目標優(yōu)化調(diào)度模型，即在綜合考慮各約束條件及給定調(diào)度期內(nèi)各時段區(qū)間來水的情況下，盡可能最大化發(fā)電量以提高供電效益，同時最大化供水量以提升供水效益。

(1)發(fā)電量最大。在給定有限來水下應最大化出力，多承擔電網(wǎng)負荷，提高調(diào)度時段內(nèi)發(fā)電量，達到減少火電出力和節(jié)能減排的目的。

(1)

(2)供水量最大。供水量由農(nóng)業(yè)灌溉供水量和工業(yè)、市政供水量組成，其中農(nóng)業(yè)供水量主要來自河道區(qū)間引水，工業(yè)及市政供水量取自水庫庫區(qū)。提高流域及水庫群的整體供水量，有利于本調(diào)度期內(nèi)梯級水庫群的供水效益和水能綜合利用。

(2)

2.2 約束條件

(1)水量平衡約束。梯級水庫群間相互聯(lián)系緊密，上游水電站的出庫流量、棄水量，區(qū)間來水量、農(nóng)業(yè)灌溉供水量，本級水電站的發(fā)電流量、市政供水量、棄水量等都對本級水電站的庫容和下游水電站的發(fā)電有較大影響，其關系表達式為

(3)

(2)農(nóng)業(yè)供水流量約束。約束條件為

(4)

(3)工業(yè)及市政供水流量約束。約束條件為

(5)

(4)蓄水量約束。約束條件為

(6)

(5)發(fā)電流量約束。約束條件為

(7)

(6)發(fā)電出力約束。約束條件為

(8)

3 仿水循環(huán)算法

仿水循環(huán)算法(WCA)是從大自然水循環(huán)及水流動的現(xiàn)象中得到啟發(fā)提出一種全新的種群優(yōu)化算法。算法首先隨機生成一組初始水滴，其對應的目標函數(shù)值為這些水滴的相對海拔高度，進而可以計算出其相對重力，水滴粒子在這相對重力的引導下進行迭代，相對重力較大的水滴粒子擁有更快的迭代速度。在迭代的過程中，WCA模擬水循環(huán)中匯流、分流、滲流、蒸發(fā)降水過程并構(gòu)建相應的搜索策略，能根據(jù)當前水滴粒子的位置、質(zhì)量、相對海拔等信息自動調(diào)整種群數(shù)量及水滴質(zhì)量。例如在求解優(yōu)化問題的初始階段，WCA能匯聚多個水滴粒子的力量集中對某個方向進行搜索，使得算法能較快逼近最優(yōu)解附近，而在迭代后期，WCA利用分流滲流策略令水滴粒子進行細致的局部搜索。此外，蒸發(fā)降雨避免水滴粒子早熟而導致的資源浪費和搜索停滯。

3.1 重力尋優(yōu)機制

假設最優(yōu)求解問題為minf(x)，l≤x≤u，其中x為N維向量，上下界分別為l和u。WCA首先計算水滴種群對應的函數(shù)值，令其為水滴相對海拔高度。由物理原理可知，水流在重力的影響下從海拔較高處移動至海拔較低處。一般情況下，在優(yōu)化問題中的最優(yōu)值在計算前是未知的，因此WCA定義海拔高的水滴始終向著海拔低的水滴進行流動，即朝著當前更優(yōu)的位置進行移動。此外，當出現(xiàn)多個低海拔水滴時，定義水滴i同時受到它們相對重力的牽引，構(gòu)建其相對重力的合力為

(9)

式中，B為比水滴i更優(yōu)的水滴集合；mi為水滴i的質(zhì)量，初始質(zhì)量為m0；k為當前迭代次數(shù)；f(xi)為水滴i對應的目標函數(shù)值。

為了提高水滴迭代的多樣性及可行性，在式(11)的基礎上加入隨機步長，WCA根據(jù)以下迭代方程確定水滴的新位置，即

(10)

式中，λg為隨機數(shù)，λg∈(0，1)。

3.2 匯流策略

在迭代過程中，通過計算水滴間的歐幾里得距離及相對海拔差，可對水滴在解空間的相對位置進行判斷，進而對位置接近的水滴群進行匯流操作。水滴i、j的歐氏距離計算公式和相對海拔差為

(11)

fd=|f(xi)-f(xj)|

(12)

式中，dij為水滴i、j間的歐氏距離；D為維數(shù)；fd為相對海拔。

(13)

xm=xi，best?i∈NM

(14)

式中，mi為參與匯流水滴的質(zhì)量；NM為參與匯流的水滴數(shù)；mm為匯流后新水滴質(zhì)量；xi，best為參與匯流的最優(yōu)水滴位置；xm為匯流后新水滴的位置。

通過匯流策略，WCA能將相近的多個水滴匯聚為一個水滴，這樣不僅能增大單個水滴質(zhì)量，集中搜索資源，加快水滴移動速度，并且還能有效減少水滴種群數(shù)量，加快迭代速度。

3.3 分流策略

為避免因匯流策略可能導致的水滴質(zhì)量過大、種群大小銳減進而收斂早熟的問題，設定當水滴質(zhì)量超過水滴初始質(zhì)量的一定倍數(shù)時，分流其一半的質(zhì)量形成一個新的水滴，并賦予新水滴粒子隨機的相對重力，即

ms=0.5mi

(15)

Fs=Fi+σsp

(16)

式中，mi為分流水滴的質(zhì)量；ms為分流后新水滴的質(zhì)量；Fi為分流水滴的相對重力；Fs為分流后新水滴的相對重力；σsp為N維隨機向量。

分流策略是對匯流策略的平衡，起到防止因質(zhì)量過大造成的收斂早熟的作用，同時分流后隨機分布的新水滴也在一定程度上提高了種群多樣性。

3.4 滲流策略

模擬水對地表的滲透，構(gòu)建WCA的滲流策略。在目前搜索到的最優(yōu)解的臨近區(qū)域進行隨機搜索，探尋可能存在的最優(yōu)值。其過程可簡單描述為依次對全局最優(yōu)解各維數(shù)進行一維小范圍隨機擾動為

(17)

通過滲流策略，WCA能在當前全局最優(yōu)解旁隨機探尋更好的解以替換當前解，該操作能有效提高算法的局部精細搜索能力，提高收斂精度。

3.5 蒸發(fā)降雨策略

在WCA迭代過程中，當前最優(yōu)解xg，best是不斷進行更替的，處于xg，best中的水滴由于其相對海拔最低，不再受到其他水滴的相對重力影響，因此會造成搜索資源的浪費。WCA模擬自然界蒸發(fā)降雨過程，構(gòu)建相應搜索策略，將處于相對海拔最低的水滴進行蒸發(fā)，按照初始質(zhì)量m0平均分散為多個水滴并降雨至解空間的隨機位置中，重新展開迭代。即

NRF=mg，best/m0

(18)

xRF，i=l+λRF(u-l) ?i∈NRF

(19)

式中，mg，best為當前最優(yōu)解的水滴質(zhì)量；NRF為降雨后生產(chǎn)的水滴個數(shù)；λRF為隨機數(shù)，λRF∈(0，1)；xRF，i為降雨后各水滴的位置。WCA通過式(18)為得到降雨水滴個數(shù)，利用式(19)分配新水滴在解空間內(nèi)的位置。

由于式(9)(10)的重力尋優(yōu)機制中只需要當前最優(yōu)解的位置而最優(yōu)水滴本身并不參與計算，因此對其進行蒸發(fā)降雨操作并不影響算法正常迭代。蒸發(fā)降雨策略對處于當前最優(yōu)的水滴進行處理，令其跳出當前位置，該操作能有效防止水滴陷入局部最優(yōu)解，避免算法早熟，有效利用搜索資源，更能增加水滴多樣性，提高算法全局搜索性能。

4 多目標仿水循環(huán)算法(MWCA)

假設多目標優(yōu)化問題可表達為

minf(x)=[f1(x)，f2(x)，…，fM(x)]

(20)

式中，f1(x)，…，fM(x)為多個目標函數(shù)；M為目標函數(shù)個數(shù)。對于此類多目標優(yōu)化問題，其并不存在全局最優(yōu)，因此對于WCA不存在唯一的最低海拔點。在此引入Pareto存檔進化策略(Pareto Archived Evolution Scheme，PAES)并進行一些改進，提出多目標仿水循環(huán)算法，將非劣解集(對應目標函數(shù)空間上的Pareto前沿)的點均認為是地形最低點，通過計算非劣解集中水滴的密度信息，令水滴有較大趨勢向著密度值較小的區(qū)域進行移動，改進后的多目標重力尋優(yōu)機制可表示為

(21)

式中，NP表示位于非劣解集A的水滴數(shù)；ρfront，j為非劣解集內(nèi)水滴j的密度信息；xfront，j為非劣解集內(nèi)水滴j的位置；ffront，j為水滴j對應的Pareto前沿點。隨后，同樣利用式(10)進行水滴的移動。

經(jīng)過此改進后，各水滴由原先的受到每一個低海拔水滴的吸引，轉(zhuǎn)變?yōu)槭艿椒橇咏饧兴兴问┘拥南鄬χ亓?。其中非劣解集中密度值低的水滴粒子施加的相對重力較大，密度值高的水滴產(chǎn)生的相對重力較小。改進后的尋優(yōu)機制防止了水滴朝著單一非劣解移動導致水滴過于集中而陷于局部最優(yōu)點，進而導致的收斂早熟問題，也避免了水滴被大量非劣解同時引導而致使的搜索緩慢現(xiàn)象。

針對帶約束的多目標優(yōu)化問題，本文采用罰函數(shù)法進行處理，即對每一個目標函數(shù)加上約束條件的罰函數(shù)，則約束下優(yōu)化問題即可轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束優(yōu)化。MWCA的算法流程如圖1所示。

圖1 MWCA算法流程

具體步驟如下：

(1)初始化MWCA水滴種群，包括初始迭代次k=1、最大迭代次數(shù)Kmax、種群數(shù)量N、水滴群初始位置{x1，x2，…,xN}、初始適應度{f(x1)，f(x2)，…，f(xN)}和初始質(zhì)量m0、根據(jù)PAES生成當前種群的非劣解集A。

(2)根據(jù)水滴質(zhì)量和位置信息，執(zhí)行匯流、分流、滲流、蒸發(fā)降雨策略，利用前文所述流程對水滴質(zhì)量及水滴種群大小進行自適應調(diào)整和優(yōu)化。

(5)更新水滴群的非劣解集解A，若A中所存儲的水滴數(shù)達到A的上限時，根據(jù)密度信息移除A中密度值最高的一個水滴，并將新水滴存入其中。

(6)重復步驟(2)～(5)，直至達到最大迭代次數(shù)，此時存于非劣解集A中的水滴位置就是多目標優(yōu)化問題的最優(yōu)解，其對于的適應度就是多目標優(yōu)化值，列出或畫出相應的Pareto邊界，決策者就可通過不同的期望選擇相應的解。

5 實例應用

5.1 梯級水庫群實例

本文利用某流域梯級水庫群5個主要電站作為研究實例，其中1號電站為龍頭電站，5號電站為末端電站，農(nóng)業(yè)灌溉供水從水庫上游的河道區(qū)間引水，工業(yè)及市政集中供水從各水庫中取水，調(diào)度期為一年，其中1月～3月為枯水期，6月～8月為豐水期，其他月份為平水期，各水庫及電站的裝機容量、額定庫容、正常水位等參數(shù)如表1所示。

表1 梯級水電站參數(shù)

表2 各算法非劣解及耗時對比

5.2 算法對比分析

為驗證MWCA算法的有效性與優(yōu)越性，采用MOPSO算法[19]和NSGA-II算法[20]進行對比分析，對上述研究實例進行優(yōu)化調(diào)度計算。仿真環(huán)境為配置i5-2520M、16G內(nèi)存的聯(lián)想T420筆記本電腦，各算法分別獨立進行10次運算，其所有的非劣解在目標函數(shù)空間所對應的Pareto邊界如圖2所示。由圖2可知，3個算法的都具有較好的收斂穩(wěn)定性，但MWCA所得非劣解的Pareto邊界分布更廣、更均勻。尤其是在年均發(fā)電量大于300億kW·h的區(qū)域內(nèi)，MWCA搜索到了大量的非劣集，而MOPSO和NSGA-II在這一區(qū)域僅得到少數(shù)的解。此外，整體Pareto邊界也比另兩個算法更優(yōu)，例如圖2中當年均發(fā)電量為240億kW·h時，MWCA非劣解的調(diào)度策略能提供116.5億m3的年均供水量，而MOPSO與NSGA-II僅能提供約116億m3的供水量，相比MWCA減少了0.5億m3。另一方面，當年均供水量為117億m3的時候，MWCA可獲得約210億kW·h的年均發(fā)電量，與之相比MOPSO與NSGA-II的發(fā)電量僅180億kW·h左右。這說明在同等求解目標及約束函數(shù)下，MWCA能在各個目標下均獲得比NSGA-II算法與MOPSO算法更好的求解性能和更優(yōu)的非劣解。這得益于MWCA的滲流與蒸發(fā)降雨策略，有效的提高了水滴種群的多樣性，同樣也增強了MWCA的局部尋優(yōu)性能，使其獲得了更多的非劣解。各算法10次獨立計算的多目標優(yōu)化結(jié)果最大值、最小值、非劣解數(shù)量、耗時等如表2所示。

圖2 各算法獨立10次運算后所得的Pareto邊界

由表2可知，MWCA所得到的調(diào)度策略能獲得最高367.16億kW·h的年均發(fā)電量，相比MOPSO的358.41億kW·h和NSGA-II的313.15億kW·h分別多出了8.75億kW·h和54.01億kW·h的發(fā)電量。同時MWCA所得的最大年供水量119.64億m3也比MOPSO和NSGA-II的多出了0.58億m3和0.32億m3。此外，MWCA所得非劣解的年均最小年均發(fā)電量比NSGA-II與MOPSO更小。這表明MWCA所獲得的非劣解范圍更廣，搜索性能更強。經(jīng)過10次獨立運算后，MWCA能獲得84個非劣解，與此同時MOPSO與NSGA-II僅分別獲得51個和48個非劣解。在計算耗時上，MWCA、MOPSO和NSGA-II平均為11.07、9.82 s和11.50 s。雖然MWCA耗時并非最少，但利用相近的時間，MWCA獲得了多于另兩個算法的非劣解數(shù)量，體現(xiàn)了該算法在迭代速度和和性能上的優(yōu)越性。

為進一步分析算法所得非劣解的分布特性，本文采用分布距離指標(SD)[19]及超體積指標(HV)[21]進行高階評價。其中分布距離指標用于分析非劣解分布的均勻性，其計算式為

(22)

式中，ds，i為非劣解兩兩間的距離，ds，i=minj|f1(xi)-f1(xj)+f2(xi)-f2(xj)|，i，j=1，2，…，nnd；ds，avg為ds，i的平均值；nnd為所得非劣解的數(shù)量。該值越小，則所有非劣解兩兩間的距離越一致，即實現(xiàn)非劣解的平均分布。本文算例中3個算法的SP值如表3所示。

表3 各算法非劣解及耗時對比

表4 MWCA優(yōu)化調(diào)度結(jié)果

可見MWCA算法所得非劣解的分布距離指標為9.528 5，遠小于MOPSO算法和NSGA-II算法，說明了MWCA非劣解的分布更為平均。此外MWCA較小的平均距離也同樣證明了這點。

超體積指標利用非劣解在多目標函數(shù)空間上所圍成的超空間體積(面積)作為評判標準，本算例三個算法所得非劣解的超體積示意及數(shù)據(jù)如圖3所示。由圖3可知，MWCA算法所得超體積指標為199.63，明顯大于MOPSO算法的132.84及NSGA-II算法的99.67。通過分布距離指標和超體積指標的高階分析，MWCA同樣顯示出了優(yōu)于另兩個算法的均勻性和寬廣性，這再次驗證了本文算法優(yōu)越的多目標優(yōu)化性能。

圖3 各算法的超體積指標(HV)示意

5.3 MWCA調(diào)度結(jié)果分析

由于處于Pareto邊界的非劣解均為多目標優(yōu)化問題的有效解，對非劣解的選擇取決于決策者的調(diào)度策略偏好，有的希望提高發(fā)電量，而有的希望增加供水量。本文不對調(diào)度策略的偏好進行研究，因此選取發(fā)電量與供水量較為均衡的一組非劣解進行分析，如表4所示。

由表4可知，各電站的出力與枯水期和豐水期的趨勢一致，在來水較少的1月～3月，各電站平均出力都比6月～8月低。在供水量方面，不論在枯水期還是豐水期，MWCA所得非劣解給出的調(diào)度策略都能保證較好的供水量，即使在枯水期的1月～3月，各水庫及其上游河道區(qū)間仍保持了較好的供水能力。相較平均出力的較大變化，供水量的浮動并不大，這一方面是由于水庫群的蓄水功能保證了一定的供水量，另一方面則是通過降低水電站出力進行了一定妥協(xié)。在枯水期的情況下，削減水電站出力，保證最低供水量及死水位約束。此外，這也體現(xiàn)了“蓄豐補枯”的補水調(diào)度作用，在豐水期來臨之時多蓄水，便能在枯水期到來時提供足夠的供水量滿足工業(yè)和民生需求。上述調(diào)度策略顯示了MWCA應用于梯級水庫群優(yōu)化調(diào)度的合理性與有效性。

6 結(jié) 論

本文針對梯級水庫群調(diào)度問題，構(gòu)建了發(fā)電量最大和供水量最大的多目標優(yōu)化調(diào)度模型，提出了多目標仿水循環(huán)算法MWCA，引入了匯流、分流、滲流、蒸發(fā)降雨4個優(yōu)化策略對水滴種群進行處理，能有效提高種群多樣性、提升搜索性能、加快收斂速度、防止陷入局部最優(yōu)、避免迭代早熟等，針對多目標優(yōu)化問題，構(gòu)建了新的重力迭代和尋優(yōu)機制。實例應用結(jié)果驗證了MWCA在水庫群多目標優(yōu)化調(diào)度問題中的合理性和可行性，同時也表明了MWCA相比MOPSO和NSGA-II的搜索性能更強，非劣解多樣性更好、分布更均勻和寬廣，具有較好的研究和工程應用前景，為梯級水庫群多目標優(yōu)化調(diào)度問題提供了一種有效的解決方案。