對Willhite經(jīng)驗公式的改進(jìn)

鄧 森，李斌會，趙 宇

(1.大慶油田有限責(zé)任公司勘探開發(fā)研究院 黑龍江 大慶 163712;2.黑龍江省油層物理與滲流力學(xué)重點實驗室 黑龍江 大慶 163712)

油水相對滲透率曲線在油氣田開發(fā)過程中有著重要的應(yīng)用，國內(nèi)外學(xué)者對此展開的研究也很多[1-10]。1946—1987年，國外的Jones、Corey、Prison、Wyllite、Brooks-Corey、Chierici和Willhite先后對油水相對滲透率曲線經(jīng)驗公式進(jìn)行了研究，Jones把水相指數(shù)看作一個固定的常數(shù)3；Corey把水相指數(shù)看作一個不確定的常數(shù)m；Wyllite認(rèn)為分選性好的非膠結(jié)砂巖的水相指數(shù)為3，分選性差的非膠結(jié)砂巖的水相指數(shù)為3.5，膠結(jié)砂巖、鮞狀灰?guī)r或孔穴灰?guī)r的水相指數(shù)為4；Willhite則把水相指數(shù)看作一個不確定的常數(shù)m，并對水相滲透率端點值進(jìn)行了修正，Corey和Willhite給出的油相相對滲透的表達(dá)式相同。國內(nèi)研究相對滲透率曲線經(jīng)驗公式的有陳元千、李克文和張繼成等，陳元千把水相指數(shù)和油相指數(shù)看作一個固定的常數(shù)3，同時對水相相對滲透率端點進(jìn)行了修正，但未對油相相對滲透率端點進(jìn)行修正；李克文公式與Willhite公式有些相似，只是水相相對滲透率表達(dá)式多了一個含水飽和度的一次項，油相相對滲透率表達(dá)式多了一個含油飽和度的一次項，并且為了避免求導(dǎo)出現(xiàn)奇異點引入了常數(shù)；張繼成則得到了以10為底的指數(shù)經(jīng)驗公式。

在眾多油水相對滲透率經(jīng)驗公式中，應(yīng)用最廣的為Willhite經(jīng)驗公式，但Willhite經(jīng)驗公式在應(yīng)用中也會出現(xiàn)一定的局限性，有必要對其進(jìn)行改進(jìn)。

1 改進(jìn)Willhite公式的必要性

Willhite經(jīng)驗公式表達(dá)式為：

Kro=Kro(Swc)(1-Swd)n

(1)

Krw=Krw(Sor)Swdm

(2)

(3)

式中：Krw為水相相對滲透率，f；Kro為油相相對滲透率，f；Krw(Sor)為殘余油下水相相對滲透率，f；Kro(Swc)為束縛水下油相相對滲透率，f；Swd為歸一化含水飽和度，f；Sor為殘余油飽和度，f；Swc為束縛水飽和度，f；Sw為任意時刻含水飽和度，f；n為油相指數(shù)；m為水相指數(shù)。

王國先等根據(jù)相對滲透率曲線特征參數(shù)和形態(tài)將其分為5種類型[14]，其中水相上凹型、水相下凹型和水相直線型是最常見的三種形態(tài)。對大慶油田93條油水相對滲透率曲線形態(tài)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)61.29%為水相上凹型，23.66%為水相下凹型，15.05%為水相直線型，采用Willhite經(jīng)驗公式對相對滲透率曲線進(jìn)行擬合，只有77.55%擬合較好。93條油水相對滲透率曲線的油相指數(shù)平均值為2.476，最大值和最小值分別為3.4和1.6；水相指數(shù)的平均值為2.739，最大值和最小值分別為4和1.4，平均水相指數(shù)比油相指數(shù)稍大。

Willhite經(jīng)驗公式擬合不上主要有兩種：①油相相對滲透率在含水飽和度較低時快速遞減，此時含水率上升比較快，表現(xiàn)為油相相對滲透率曲線較為彎曲，此種情況往往在靠近束縛水端點部分?jǐn)M合不上；②水相相對滲透率在含水飽和度較高時快速遞增，此時已經(jīng)處于特高含水時期，含水率上升比較慢，表現(xiàn)為水相相對滲透率曲線較為彎曲(見圖1)。

圖1 Willhite經(jīng)驗公式擬合曲線

進(jìn)一步對擬合不好的原因進(jìn)行分析，將式(1)和式(2)分別寫成

(4)

(5)

通過Willhite經(jīng)驗公式回歸出的函數(shù)關(guān)系是通過原點的一條直線，實際上的實驗數(shù)據(jù)點回歸出來的直線并沒有通過原點，而且實際的數(shù)據(jù)點會偏離直線。油相相對滲透率數(shù)據(jù)點在含水飽和度比較低的時候數(shù)據(jù)點偏離直線稍微向上翹，水相相對滲透率數(shù)據(jù)點在含水飽和度比較高的時候數(shù)據(jù)點偏離直線稍微向上翹(見圖2)，因此有必要對油相指數(shù)和水相指數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。

圖2 Willhite公式線性回歸圖

2 對Willhite公式的改進(jìn)

經(jīng)過對93條油水相對滲透率曲線的反復(fù)擬合，提出了擬合精度更高的Willhite改進(jìn)公式：

Kro=Kro(Swc)(1-Swd)aSwd+bexp(-Swd)

(6)

Krw=Krw(Sor)SwdcSwd+dexp(-Swd)

(7)

式中a、b、c、d均為回歸系數(shù)，可用二元線性回歸法獲取，不考慮端點值，將式(6)和(7)寫成

(8)

(9)

則有

y1=ax1+bx2

(10)

y2=cx1+dx2

(11)

根據(jù)最小二乘法有

∑x1y1=a∑x12+b∑x1x2

(12)

∑x2y1=a∑x1x2+b∑x22

(13)

∑x1y2=c∑x12+d∑x1x2

(14)

∑x2y2=c∑x1x2+d∑x22

(15)

由此可得

(16)

(17)

(18)

(19)

用改進(jìn)公式對圖1的油水相對滲透率曲線進(jìn)行擬合，見圖3，a、b、c、d四個參數(shù)分別為0.334，3.777，4.190，1.291。油相相對滲透曲線和水相相對滲透率曲線擬合的相關(guān)系數(shù)分別為0.999 1和0.999 4，油相相對滲透率曲線越彎曲，a和b相差越大，b值往往比a值大；水相相對滲透率曲線越彎曲，c和d相差越大，c值往往比d值大。b值和d值主要影響相對滲透曲線靠近束縛水端點半部分的形態(tài)，a值和c值主要影響相對滲透曲線靠近殘余油飽和度端點部分的形態(tài)。擬合結(jié)果與實際值產(chǎn)生的誤差見圖4，表1是用改進(jìn)公式和Willhite公式對相對滲透率曲線擬合的結(jié)果。

圖3 Willhite改進(jìn)公式擬合曲線

圖4 擬合誤差曲線

表1 油水相對滲透率計算值與實際值對比

3 實例應(yīng)用

大慶油田93條相對滲透率曲線之外的三條水驅(qū)相對滲透率曲線見表2，用改進(jìn)經(jīng)驗公式擬合見圖5。水相上凹型油水相對滲透率曲線回歸參數(shù)a、b、c、d的值分別為1.338，3.086，3.762，1.094；水相直線型油水相對滲透率曲線回歸參數(shù)a、b、c、d的值分別為1.3，2.8，1.5，0.86；水相下凹型油水相對滲透率曲線回歸參數(shù)a、b、c、d的值分別為1.142，4.543，0.026，0.754，擬合相關(guān)系數(shù)都在0.99以上。

表2 三種類型油水相對滲透率曲線

圖5 三種類型油水相對滲透率曲線擬合曲線

4 結(jié)論

(1)大慶油田油水相對滲透率曲線主要為水相上凹型，其次為水相直線型，最少的為水相下凹型。

(2)Willhite經(jīng)驗公式適合大多數(shù)油水相對滲透率曲線的擬合，但油水相對滲透率突變較大時，Willhite經(jīng)驗公式擬合的油水相對滲透率誤差較大，油相指數(shù)和水相指數(shù)為常數(shù)對于曲線的擬合存在一定的局限性。

(3)改進(jìn)的Willhite經(jīng)驗公式彌補了傳統(tǒng)Willhite經(jīng)驗公式的不足，公式改進(jìn)后擬合精度更高，對于油水相對滲透率突變較大的情況也能擬合。