孫佳銘，李麗霞

（沈陽工程學院自動化學院，遼寧 沈陽 110136）

當今，傳感器、中央處理器和存儲器等方面的技術(shù)漸漸成熟，帶動了開源小四軸飛行器的快速發(fā)展，它逐漸成為人們生活中重要的工具。開源小四軸飛行器的結(jié)構(gòu)簡單，體積越來越小，操作也越來越大眾化、人性化。正是由于這些優(yōu)點，開源小四軸飛行器更易于生產(chǎn)，價格低廉，越來越受歡迎。對開源小四軸飛行器的飛行控制是目前的研究重點，由于非線性控制對模型的精度要求較高，但也不能避免誤差的存在，因此PID控制算法尤為重要。在開源小四軸飛行器動力學模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計了PID控制器。

1 開源小四軸飛行器動力學模型的建立

描述任何物體的運動都需要提前定義好作為參考的坐標系，在對四旋翼飛行器進行動力學模型建立時，由于需要描述它的飛行狀態(tài)和飛行姿態(tài)，所以不能忽略飛行器的幾何形狀和尺寸大小，它不能被視為質(zhì)點進行研究。如果將其視為質(zhì)點，就不能分析它的狀態(tài)和姿態(tài)，這對研究是有影響的。不僅需要描述其位置信息，還要描述物體的姿態(tài)。雖然在坐標系中無法確定姿態(tài)，但必須對兩個坐標系進行相互參考。為此，定義了可以確定飛機在空間中的位置和姿態(tài)的機體坐標系{B}。定義的兩個坐標系如圖1所示。

圖1 地面坐標系和機體坐標系

1）地面坐標系OE-XEYEZE

地面坐標系（簡稱坐標系{E}）原點固定在地面上一點。飛行器質(zhì)心在空間中的位置由地面坐標系中一個3×1的位置矢量唯一確定。OEXE軸指向飛行器指定的飛行方向，OEZE軸垂直于OEXEYE面向上，OEYE軸垂直于OEXEZE平面。

2）機體坐標系O-xyz

機體坐標系（簡稱坐標系{B}）是將坐標系固定在飛行器上的一種新型坐標系，該坐標系的原點與飛行器的質(zhì)心重合，其坐標軸也是重合的。

飛行器的姿態(tài)信息是由俯仰角θ、橫滾角φ和偏航角Ψ等3個歐拉角來確定的，歐拉角的含義如下：

①俯仰角度：以O(shè)Y軸為基準，飛行器旋轉(zhuǎn)一定角度。當達到這個角度時，飛行器的縱軸坐標偏轉(zhuǎn)一定角度，則軸向坐標與OY軸的夾角為俯仰角度，當縱軸指向水平面以上，其角度θ為正，否則為負。

②滾動角度：以O(shè)X軸為中心，機體坐標系OZ軸偏離OX軸的旋轉(zhuǎn)角度。如果OZ軸位于OX軸的右側(cè)，則φ為正，反之亦然。

③偏航角度：以O(shè)Z軸為中心，機體坐標系繞該軸旋轉(zhuǎn)的角度。它是飛行器在水平面上的垂直軸投影與慣性坐標系的OX軸之間的角度。從慣性的角度上看，可以看成是機體坐標系的橫軸旋轉(zhuǎn)到投影線上。當該坐標系逆時針旋轉(zhuǎn)時，角度Ψ為正值，反之亦然。

由于開源小四軸飛行器本身是一個復雜的動力學系統(tǒng)，對飛行器進行精確的建模，難度是很大的。為了使這個問題簡單化，有必要作如下的假設(shè)：

①飛行器是均勻?qū)ΨQ的物體；

②忽略地球是一個球體，將其視為一個平面；

③忽略由于旋翼旋轉(zhuǎn)導致的轉(zhuǎn)子陀螺效應(yīng)；

④隨著高度的增加，飛行器的加速度幾乎不會改變；

⑤只研究飛行器本身的坐標系，忽略其他的坐標系。

在機體坐標系中，定義推力T（T∈R）為飛行器4個旋翼產(chǎn)生升力的總和，因此在機體坐標系中飛行器受到的拉力可以表示為

式中，F(xiàn)i為四旋翼飛行器第i（i=1，2，3，4）個旋翼產(chǎn)生的升力。

在地面坐標系中，線位移在3個軸上的運動方程如式（2）所示：

式中，系數(shù)Ki（i=1,2,3,4,5,6)是飛行器在地面系統(tǒng)中3個坐標軸方向上的空氣阻力系數(shù)。

根據(jù)力矩平衡原理，可以得到飛行器在機體坐標系Xn,Yn,Zn下的角位移方程，如式（3）所示：

式中，l為飛行器重心到每個螺旋槳的距離；Mi為第i個螺旋槳產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動力矩；I為對應(yīng)軸的轉(zhuǎn)動慣量。

選取式（4）作為四旋翼飛行器的輸入量：

式中，u1、u2、u3、u4分別為飛行器的垂直升力、橫滾角、俯仰角、偏航角所需的力。

2 PID控制器設(shè)計

2.1 PID原理

由牛頓第二定律和歐拉公式可以知道，對姿態(tài)角進行控制是使飛行器能夠穩(wěn)定飛行的主要部分，同時求得的Ψ、Φ、θ、x、y、z這些參數(shù)都是一個二階系統(tǒng)方程。PID控制器是一種經(jīng)典的且常用的控制方法，同時PID控制器又可以對這些二階系統(tǒng)進行很好的處理。

PID控制器是工業(yè)過程控制中使用最為廣泛的線性控制器。據(jù)統(tǒng)計，在使用的各種控制技術(shù)中，采用PID控制算法占到很大比例。傳統(tǒng)PID控制器的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 PID控制器結(jié)構(gòu)

整個PID控制器的輸出與輸入的函數(shù)關(guān)系如下：

其中，kp為比例增益的系數(shù)；Ti是積分時間系數(shù)；Td為微分時間系數(shù)。這3個系數(shù)都是常數(shù)，通過測量被控信號的曲線可以計算得到，四旋翼飛行器用到PID控制器就是利用這幾個參數(shù)來消除系統(tǒng)誤差，使飛行器能夠穩(wěn)定飛行。

2.2 線性變參數(shù)

線性變參數(shù)系統(tǒng)（Linear variable parameter system）的最大特點在于系統(tǒng)矩陣都與參數(shù)相關(guān)。以飛行器為例，LTI系統(tǒng)（線性時不變系統(tǒng)）一般只能描述飛行器在特定工作點的動力學特性，因此傳統(tǒng)的飛行器控制也都是針對特定工作點，也就是根據(jù)某一特殊LTI系統(tǒng)來設(shè)計控制律的。這種方法最大的局限性在于飛行器顯然不可能一直在某一工作點附近工作，飛行器的速度、角度、高度等都會成為影響飛行器動態(tài)性能的參數(shù)。但是，如果可以將飛行器的動態(tài)性能用速度、角度、高度等通過插值手段表示出來，那么就意味著得到了一個更為通用的數(shù)學模型，而且飛行器也可以跳出這些特定工作點，在更廣闊的飛行包線內(nèi)運動，這樣就得到了一個飛行器的LPV系統(tǒng)來描述飛行器的運動。傳統(tǒng)的變增益控制思想就是把飛行器的一堆工作點放到一起組成一個大包線，針對這些工作點分別設(shè)計控制器，這樣通過不斷地切換來達到控制的目的。就系統(tǒng)描述而言，LPV系統(tǒng)可以用幾個方程，以某些參數(shù)，如速度、攻角、高度為變參數(shù)，達到描述飛行器運動的目的。變增益則需要一堆工作點來描述，而且這里還需要涉及一個控制器的切換問題，那么切換的穩(wěn)定性就是影響變增益的最主要問題。

用LPV系統(tǒng)來描述運動，就較傳統(tǒng)的LTI系統(tǒng)和變增益控制系統(tǒng)而言，都有著更為簡便、更貼近非線性特征的優(yōu)點。LPV系統(tǒng)控制的主要方法是魯棒控制，通過設(shè)計一堆LMI來求解，這個過程計算起來并不簡單，特別是針對飛行器這類復雜的系統(tǒng)，而且如果系統(tǒng)階數(shù)越高，計算就更復雜。

2.3 線性變參數(shù)模型建立與仿真

通過牛頓-歐拉方程得到的動力學模型是非線性的，而需要設(shè)計的控制器是線性的，所以需要將非線性的模型線性化。在地面坐標系中，將線速度分解到三個坐標軸上，其方向與所在坐標軸相同，數(shù)值大小為0，角速度的數(shù)值也為0。通過上述條件和式（2）、（3）、（4）可得，飛行器處于空中穩(wěn)定懸停狀態(tài)，并計算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值為u1=mg,u2=u3=u4=0。

采用線性變參數(shù)的方法將非線性模型轉(zhuǎn)換成線性模型，忽略飛行器的升力與反力矩之間的耦合關(guān)系。以u1、u2、u3、u4為輸入，構(gòu)建四旋翼飛行器的狀態(tài)矩陣，由此得到的狀態(tài)方程如式（7）所示：

當飛行器在低速度運行時，空氣阻力對飛行器幾乎沒有什么影響，完全可以忽略不計。假設(shè)四旋翼的橫滾角φ和俯仰角θ很小，則sinθ≈sinφ=0，cosθ≈cosφ=1，則得到傳遞函數(shù)如式（11）所示：

當四旋翼飛行器處于小角度飛行時，有cosθ≈cosφ=1，式（11）可以簡化為

系統(tǒng)的線性模型由飛行器與電機組成，電機轉(zhuǎn)速的控制信號與升力之間的傳遞函數(shù)為

其中，d為電機電子調(diào)速器控制信號與電機升力之間的比例系數(shù)。在實際過程中，不能直接得到比例系數(shù)，需要通過實驗測量才可以得到，并且比例系數(shù)對系統(tǒng)幾乎沒有影響，所以在設(shè)計中選取d=1進行仿真，這樣可以減少計算量，方便進行仿真。

設(shè)旋翼升力F與Ud之間的關(guān)系如式（14）所示：

故系統(tǒng)的最終線性模型為

式中，矩陣主對角線得到的傳遞函數(shù)為飛行器4個通道的控制器。

3 仿真結(jié)果

對所建立的模型進行仿真，得到如下仿真結(jié)果。圖3為對垂直速率通道測試得到的波形圖，圖4為對俯仰角速率通道測試得到的波形圖，圖5為對橫滾角速率通道測試得到的波形圖，圖6為對偏航角速率通道測試得到的波形圖。

圖3 對垂直速率通道測試得到波形

圖4 對俯仰角速率通道測試得到的波形

圖5 對橫滾角速率通道測試得到的波形

圖6 對偏航角速率通道測試得到的波形

通過觀測系統(tǒng)在方波信號下的響應(yīng)曲線，可計算得出上升時間不超過0.5 s，調(diào)節(jié)時間不超過1.2 s，超調(diào)量不超過20%，各通道的控制器在測試垂直速率、俯仰角、橫滾角、偏航角通道上基本滿足設(shè)計初所設(shè)定的目標。系統(tǒng)的超調(diào)量基本達到要求，響應(yīng)時間短，幾乎無穩(wěn)態(tài)誤差，驗證了PID控制方法的有效性。

4結(jié)論

四旋翼飛行器在實際飛行中經(jīng)常會受到外部空氣擾動的影響，這會使飛行器的飛行狀態(tài)偏離預期狀態(tài)?；谶@個問題，首先，利用牛頓-歐拉方程建立系統(tǒng)的非線性動力學模型，在低速小角度飛行條件下（忽略空氣阻力的影響）得到簡化的非線性動力學模型；然后，通過線性變參數(shù)的方法對非線性系統(tǒng)模型進行線性化處理，根據(jù)傳遞函數(shù)與狀態(tài)方程之間的關(guān)系，得到各個控制通道的傳遞函數(shù)；最后，對控制通道采用經(jīng)典的PID控制算法，設(shè)計了控制器。

在設(shè)定的控制器參數(shù)下，飛行器可以快速實現(xiàn)位置和狀態(tài)的穩(wěn)定，表明飛機具有一定的抗干擾能力。