楊新松　馬暢

摘要：針對兩個冪單矩陣生成的矩陣是否冪單的問題，先利用矩陣對數(shù)工具得到了自由群生成元的新的組合性質(zhì)。從這些新的組合性質(zhì)出發(fā)，證明了由一個若當(dāng)塊不高于二階和若當(dāng)塊不高于五階矩陣生成的群，在本原元若當(dāng)塊不高于六階的情況下，當(dāng)本原元素均冪單時，生成的群是冪單群。這樣就可以得出線性表示像滿足同樣條件的自由群也是冪單群。

關(guān)鍵詞：冪單群;本原元;自由群;群表示

DOI：10.15938/j.jhust.2019.01.021

中圖分類號： O153?3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2019）01-0124-08

The Unipotency of Linear Groups Generated by Matrices with Primitive

Elements Contain no more than Six Jorden Blocks

YANG Xin?song，MA Chang

（Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：In order to solve the problem of whether the matrices generated by two unipotent matrices are unipotency， a new combinatorial property of generators of free groups is obtained by using the matrix logarithmic tool?From the point of the combination of these new properties， it is proved that a Jordan block is not higher than two and if the order when the block is not higher than five order matrix generated group， when the block is not higher than six order ， the primitive element is unipotency， the group generated is unipotent group

Keywords：unipotent group; primitive element; free group; group representation

0引言

21世紀(jì)代數(shù)界的最大成就就是完成了有限單群的分類，接下來的工作自然是無限群。由于任意群均同構(gòu)于自由群的像，因此，無限自由群的研究具有十分重要意義。特別是在研究自由群的自同構(gòu)群的時候，其本原元素是冪單的[1]。于是研究本原元冪單條件下的自由群的性質(zhì)成了代數(shù)中一個趨向。

自從Plotonov 提出冪單性研究以來，本原元冪單的自由群的冪單性已經(jīng)取得了一些進展[2-10]，也有國內(nèi)外學(xué)者對此表現(xiàn)出了興趣。同時，與冪單性相關(guān)聯(lián)的研究也取得了很多好的結(jié)果[11-20]。就冪單性質(zhì)而言，2016年有一個最新的結(jié)論如下：

定理A：若二元生成矩陣群的本原元素P均滿足?（P-E）?5=0并且至少有一個本原元A滿足?（A-E）?2=0，則此二元生成矩陣群是冪單群[16]。

本文將力求推廣此定理。定理A中要求每個本原元的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型里面不含高于五階的若當(dāng)塊。本文考慮每個本原元素若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型不含高于六階若當(dāng)塊。也就是要證明：

定理1如果矩陣A，B生成的矩陣群中，每個本原元素P均滿足?（P-E）?6=0，并且?（B-E）?5=0，?（A-E）?2=0，則此二元生成矩陣群是冪單群。

在以下論述中，G一直表示A=E+H， B=E+T生成的矩陣群，其中T?5=0，H?2=0，E是單位矩陣。在G中的每個本原元素P均滿足?（P-E）?6=0。本文中提到本原元素的結(jié)構(gòu)形式都是根據(jù)文[2]中結(jié)論。

由于矩陣?（B-E）?5=0，因此根據(jù)對數(shù)運算規(guī)則，可以記

F=f（T）=?log?B=T-12T?2+13T?3-14T?4，T=f?-1?（F）=?exp?（F）-E=F+12F?2+16F?3+124F?4

此外，文中將用W（X?m，Y?n，Z?k，Q?t）表示X，Y，Z，Q的乘積組合，其中各個字母的總次數(shù)依次是m，n，k，t。例如

W（H?4，F(xiàn)）=H?4F+H?3FH+H?2FH?2+HFH?3+FH?4

下面來看定理證明的準(zhǔn)備。

1引理

引理1[16]如果H和T有共同的特征向量，則G是冪單群。

注意到T=f?-1?（F）=?exp?（F）-E=F+12F?2+16F?3+124F?4，所以，當(dāng)H和F有共同的特征向量時，H和T有共同的特征向量，于是由引理1可得：

引理2如果H和F有共同的特征向量，則G是冪單群。

由于文[4]中已經(jīng)證明了表示維數(shù)是7的結(jié)論，因此可以得到：

引理3如果H和F或者H和T有共同的維數(shù)小于7的非零不變子空間，那么G是冪單群。

根據(jù)文[2]矩陣A，B生成的自由群和A，BA生成的自由群相同。因此還有：

引理4如果H和AB或者H和BA有共同的維數(shù)小于7的非零不變子空間，那么G是冪單群。

上面的三個結(jié)論從公式描述的角度看就可以如下表達(dá)：

引理5如果G不是冪單群，那么元素X=0的充要條件是下列等式之一成立。

1）HX=TX=0;2）HX=FX=0;3）XH=XT=0;4）XH=XF=0。

下面來看生成元的一些組合性質(zhì)。

引理6在群G中，必有HTHT?3H+HT?3HTH+HT?2HT?2H=THTHTHT。

證明：根據(jù)文[2]知，對于任意的正整數(shù)m，A?mB是本原元。因此，根據(jù)定理條件知，?（A?mB-E）?6=0。注意到H?2=0，?（A?mB-E）?6=0也就是?（mHB+T）?6=0。此式展開后按照m的升冪排列為

D?0+D?1m+D?2m?2+D?3m?3+D?4m?4+D?5m?5+D?6m?6=0

依次取m為不同的整數(shù)m?t，t=1，2，…，7并根據(jù)范德蒙行列式性質(zhì)以及克萊姆法則可得：D?t=0，t=0，1，…，6。

根據(jù)D?1=0可以得到T?4HBT+T?3HBT?2+T?2HBT?3+THBT?4=0。注意到T與B可交換，因此可以在右側(cè)消去可逆矩陣B得

T?4HT+T?3HT?2+T?2HT?3+THT?4=0（1）

這個式子兩端左乘或者右乘T的冪可分別得到：

T?4HT?2+T?3HT?3+T?2HT?4=0（2）

T?4HT?3+T?4HT?3=0（3）

T?4HT?4=0（4）

根據(jù)D?2=0，右側(cè)的矩陣B并將不在右側(cè)的矩陣B都展為E+T，并利用式（1）～（4）化簡得

HT?4H+T?3HTH+T?2HT?2H+THT?3H+HT?3HT+HT?2HT?2+HTHT?3+T?3HTHT+THT?3HT+THTHT?3+THT?2HT?2+T?2HTHT?2+T?2HT?2HT+T?2HTHT+THT?2HT+THTHT?2=0（5）

式（5）兩端左乘T?4得

T?4HT?3HT+T?4HTHT?3+T?4HT?2HT?2=0（6）

類似地，分別用T?3，T?2，T左乘式（5）兩端并不斷用得到的式子化簡可得

T?3HT?3HT+T?3HTHT?3+T?3HT?2HT?2+T?4HTHT?2+T?4HT?2HT=0（7）

T?4HTHT+T?2HT?3HT+T?2HTHT?3+T?2HT?2HT?2+T?3HTHT?2+T?3HT?2HT=0（8）

T?3HTHT+THT?3HT+THTHT?3+THT?2HT?2+T?2HTHT?2+T?2HT?2HT=0（9）

此時的式（5）可以化簡為

HT?4H+T?3HTH+T?2HT?2H+THT?3H+HT?3HT+HT?2HT?2+HTHT?3+T?2HTHT+THT?2HT+THTHT?2=0（10）

（10）式兩端左乘、右乘H可得

-（HT?3HTH+HT?2HT?2H+HTHT?3H）=H（T?2HTHT+THT?2HT+THTHT?2）=（T?2HTHT+THT?2HT+THTHT?2）H（11）

類似地，根據(jù)D?3=0可并結(jié)合（1），（9）和（11）化簡得

T?2HTHTHT+THTHTHT?2+THT?2HTHT+THTHT?2HT+2THTHTHT+THTHTH+HTHTHT+HT?2HTH+HTHT?2H=2（HT?3HTH+HT?2HT?2H+HTHT?3H）（12）

（12）式兩端右乘H得T?2HTHTHTH+2THTHTHTH+HTHTHTH=0。也就是B?2HTHTHTH=0。消去左側(cè)的矩陣B得到

HTHTHTH=0（13）

（12）式還可以化簡為B（HTHTHT+THTHTH+HT?2HTH+HTHT?2H）B=0，兩端消去矩陣B得到

HTHTHT+THTHTH+HT?2HTH+HTHT?2H=0（14）

結(jié)合（11）可得

HT?3HTH+HT?2HT?2H+HTHT?3H=THTHTHT（15）

引理證畢。

引理6研究的是固定矩陣B的冪指數(shù)是一時本原元的性質(zhì)，下面是固定矩陣A的冪指數(shù)是一的情況。

引理7在群G中，F(xiàn)?3HF?3HF?3HF?3=0。

證明：首先根據(jù)F=T-12T?2+13T?3-14T?4，直接演算即得

F?4HF?4=0（16）

F?4HF?3+F?4HF?3=0（17）

F?4HF?2+F?3HF?3+F?2HF?4=0（18）

F?4HF+F?3HF?2+F?2HF?3+FHF?4=0（19）

其次，根據(jù)文[2]知B?mA是本原元，因此?（B?mA-E）?6=0。此式也可以記做?（?exp[mF]A-E）?6=0，計算為

（A-E+mFA+12m?2F?2A+16m?3F?3A+124m?4F?4A）?6=0

此式記作（N?0+N?1m+N?2m?2+N?3m?3+N?4m?4）?6=0。此式的展開式按照m的升冪排列為

L?0+L?1m+L?2m?2+…+L?24?m?24?=0（20）

同樣，依次取m為不同的整數(shù)m?t，t=1，2，…，25，根據(jù)范德蒙行列式性質(zhì)以及克萊姆法則可以得到L?t=0，t=1，2，…，25。

根據(jù)L?3=0，可得W（N?5?0，N?3）+W（N?4?0，N?1，N?2）+W（N?3?0，N?3?1）=0，考慮到N?2?0=H?2=0，因此，只剩下W（N?3?0，N?3?1）=0。注意到AH=H，右側(cè)消去矩陣A后用式（16）～（19）化簡為：

HF?2HFH+HFHF?2H+HFHFHF+FHFHFH+2HFHFHFH=0

此式乘H得：

HFHFHFH=0（21）

將（21）式代回到前一個式子得到

HFHF?2H+HF?2HFH+HFHFHF+FHFHFH=0（22）

用同樣的方法，從L?4=0得到

HF?4H+F?3HFH+F?2HF?2H+FHF?3H+HF?3HF+HF?2HF?2+HFHF?3+F?2HFHF+FHF?2HF+FHFHF?2=0（23）

此式乘H得到

HF?3HFH+HF?2HF?2H+HFHF?3H=FHFHFHF（24）

（23）式依次乘F?4，F(xiàn)?3，F(xiàn)?2，F(xiàn)并利用已得到的式子化簡可依次得

F?4HF?3HF+F?4HFHF?3+F?4HF?2HF?2=0（25）

F?3HF?3HF+F?3HFHF?3+F?3HF?2HF?2+F?4HFHF?2+F?4HF?2HF=0（26）

F?4HFHF+F?2HF?3HF+F?2HFHF?3+F?2HF?2HF?2+F?3HFHF?2+F?3HF?2HF=0（27）

F?3HFHF+FHF?3HF+FHFHF?3+FHF?2HF?2+F?2HFHF?2+F?2HF?2HF=0（28）

使用同樣的技巧，從L?5=0得到

HFHF?2HF?2+HF?2HFHF?2+HF?2HF?2HF+F?2HF?2HFH+F?2HFHF?2H+FHF?2HF?2H+HF?2HF?3H+HF?3HF?2H=0（29）

以及

HFHF?2HF?2H+HF?2HFHF?2H+HF?2HF?2HFH=0（30）

從L?6=0化簡為

4HF?2HF?2HF?2H+5（HF?2HF?2HF?2+F?2HF?2HF?2H）+2F?2HF?2HF?2-4（HF?4HFHFH+HFHF?4HFH+HFHFHF?4H）-2（F?4HFHF+FHF?4HF+FHFHF?4）-5（HF?4HFHF+HFHF?4HF+HFHFHF?4+F?4HFHFH+FHF?4HFH+FHFHF?4H）-6（F?3HFHFHF+FHF?3HFHF+FHFHF?3HF+FHFHFHF?3）=0（31）

在式（31）兩端同時從左右兩側(cè)各乘H得到

HF?4HFHFH+HFHF?4HFH+HFHFHF?4H=HF?2HF?2HF?2H（32）

在式（31）兩端同時左乘H并利用式（32）化簡得到

HF?4HFHF+HFHF?4HF+HFHFHF?4=HF?2HF?2HF?2（33）

在式（31）中用-H替代H再與式（31）比較，并且利用式（32），（33）化簡得到：

F?4HFHF+FHF?4HF+FHFHF?4=F?2HF?2HF?2（34）

以及

F?3HFHFHF+FHF?3HFHF+FHFHF?3HF+FHFHFHF?3=0（35）

利用式（24）對式（35）變形得到

F?3HFHFHF+FHFHFHF?3+F?2HFHFHF?2=FHF?2HF?2HF（36）

在式（34）左側(cè)乘以F?3得到

F?4HFHF?4=0（37）

在式（34）左側(cè)乘以F?2得到F?3HF?4HF+F?3HFHF?4=F?4HF?2HF?2利用式（17），（25）進行變形可得

F?4HFHF?3+F?3HFHF?4=0（38）

類似地，用F乘式（34）得到F?4HFHF?2+FHF?4HF?2=F?2HF?2HF?3，利用式（26），（18）可得

F?4HFHF?2+F?3HFHF?3+F?2HFHF?4=0（39）

而且，式（34）也可以利用式（19），（27）變形為

F?4HFHF+F?3HFHF?2+F?2HFHF?3+FHFHF?4=0（40）

將式（8）中的T換作F+12F?2+16F?3+124F?4，比較式（27）后用式（16）～（30）化簡得到4（F?4HF?3HF?3+F?3HF?3HF?4）+5F?4HF?3HF?3=0。利用（17）式化簡為

F?4HF?3HF?3=0（41）

在式（18）左側(cè)乘F?4H得F?4HF?3HF?3+F?4HF?2HF?4+F?4HF?4HF?2=0利用式（16），式（41）化簡得

F?4HF?2HF?4=0（42）

式（26）乘F并用式（38）化簡得

F?3HF?3HF?2+F?4HF?2HF?2+F?3HF?2HF?3=0

于是有F?3HF?2HF?3=-F?3HF?3HF?2-F?4HF?2HF?2=F?2HF?4HF?2，也就是

F?3HF?2HF?3=F?2HF?4HF?2（43）

類似地，利用式（26）結(jié)合式（18）（39）可以變形整理得到

F?3HF?2HF?2+F?2HF?3HF?2+F?2HF?2HF?3=0（44）

將式（29）乘F?2利用式（44）化簡，再利用式（22）變形得到

FHF?2HF?2HF?2=FHFHFHF?4+F?3HFHFHF?2+F?2HFHFHF?3（45）

此式兩端同時左乘以F右乘F?2得到

F?2HF?2HF?2HF?4=F?4HFHFHF?4（46）

于是，根據(jù)式（18）（41）（19）（43）式直接計算得

F?3HF?3HF?3HF?3=0（47）

引理證畢。

可以看到，在上述證明過程中，研究本原元素組合性質(zhì)的主要方法是討論L?t=0，t=1，2，…，24。但是，這個方法卻并不能完成定理證明，組合的討論必須要用到更多技巧。

引理8設(shè)群G不是冪單群，那么?（A?nB?m-E）?6=0，并且對于關(guān)于H，B的文字w?i（H，B），如果表達(dá)式∑s?i=1?w?i（H，B）=0，一定有∑s?i=1?w?i（H，B?m）=0。

證明：假設(shè)群G不是冪單群。

比較式（28）和（9）得

F?3HF?3HF?3=0（48）

同理，比較式（10）和（23）式并利用式（48）化簡得

F?2HF?3HF?3+F?3HF?3HF?2+F?3HF?2HF?3=0（49）

同時，根據(jù)式（16），（17），（18），（19）又有

F?4HF?2HF?2+F?2HF?4HF?2+F?2HF?2HF?4=0（50）

比較式（14）式和式（22）得

（F?3HFHF?3+F?3HF?3HF+FHF?3HF?3）H+H（F?3HFHF?3+F?3HF?3HF+FHF?3HF?3）=0（51）

利用式（51）又可推導(dǎo)得到

H（F?3HFHF?3+F?3HF?3HF+FHF?3HF?3）H=0，F(xiàn)（F?3HFHF?3+F?3HF?3HF+FHF?3HF?3）H=0

由引理5可得

（F?3HFHF?3+F?3HF?3HF+FHF?3HF?3）H=0

又由（F?3HFHF?3+F?3HF?3HF+FHF?3HF?3）F=F?3HF?3HF?2-F?2HF?2HF?4=0并根據(jù)引理5可知，

F?3HFHF?3+F?3HF?3HF+FHF?3HF?3=0（52）

此時，利用式（52）和式（25）計算得

F?3HF?3HF?2=F?2HF?2HF?4（53）

同理有

F?4HF?2HF?2=F?2HF?3HF?3（54）

利用式（49）和式（44）計算得

F?2HF?3HF?3HF?2=F?3HF?2HF?2HF?3（55）

根據(jù)式（35），（52）得

F?3HFHFHF?3=FHF?3HF?3HF（56）

經(jīng)過類似地推導(dǎo)，可以利用式（48）式（52）式（24）式（55）以及式（35），式（24）得到

F?4HFHFHF?4=F?2HF?3HF?3HF?2=F?3HF?2HF?2HF?3=F?4HF?2HF?2HF?2（57）

F?3HFHFHF+F?2HFHFHF?2+FHFHFHF?3=FHF?2HF?2HF（58）

F?3HFHFHF?2+F?2HFHFHF?3+FHFHFHF?4=FHF?2HF?2HF?2（59）

F?3HFHFHF?2+F?2HFHFHF?3+F?4HFHFHF=F?2HF?2HF?2HF（60）

在這個情況下，計算發(fā)現(xiàn)，L?t=0，t=7，8，…，24成為了恒等式，也就是說從這些式子中不會有新的條件。由于直接計算這些式子就會是0，因此得到?（B?mA?2-E）?6=0，?（B?mA?3-E）?6=0，…，?（B?mA?n-E）?6=0。類似地就有?（A?nB?m-E）?6=0。由于B與B?m滿足同樣的等式條件，所以只要得到一個H，B的等式，那么把其中的B換成B?m后仍然成立。

引理得證。

下面就可以完成定理證明了。為了簡潔，將不再贅述對稱的式子的證明。也就是說，一旦得到了某一個式子（例如式（59）），那么它的對稱式子（式（60））就自然成立。

2定理證明

使用反證法。假設(shè)群G不是冪單群。那么前面的引理都成立。所得到的式子都可用。根據(jù)式子（30），（48），（49），（50），（52），（19），（34）并利用T=F+12F?2+16F?3+124F?4，計算得：

HTHT?2HT?2H+HT?2HTHT?2H+HT?2HT?2HTH+12HT?2HT?2HT?2H=0（61）

于是根據(jù)式（14），式（61）有HT?2HTHTHT?2H=12HTHT?2HT?2HT?2H+HTHT?2HT?2HTH。再將T=F+12F?2+16F?3+124F?4代入此式中可化簡左邊最終得到

HT?2HTHTHT?2H=HF?2HFHFHF?2H+12HF?2HF?2HF?2HFH+14HF?3HFHFHF?3H+136HF?4HFHFHF?4H

同樣，右邊為

12HTHT?2HT?2HT?2H+HTHT?2HT?2HTH=HFHF?2HF?2HFH+12HFHF?2HF?2HF?2H+16HF?2HF?2HF?2HF?2H-38HF?3HF?2HF?2HF?2H-56HF?3HFHFHF?3H-116HF?4HF?2HF?2HF?2H

比較兩邊得到

0=（HF?2HFHFHF?2H-HFHF?2HF?2HFH）+1312HF?3HFHFHF?3H+13144HF?4HFHFHF?4H+14HF?3HF?2HF?2HF?2H

根據(jù)引理8，將這個式子中的B換做B的任意次冪仍然成立。注意到?log?B?m=m?log?B=mF，所以有

0=（HF?2HFHFHF?2H-HFHF?2HF?2HFH）m?6+1312HF?3HFHFHF?3Hm?8+13144HF?4HFHFHF?4Hm?10?+14HF?3HF?2HF?2HF?2Hm?9

于是，取不同的自然數(shù)m并根據(jù)范德蒙行列式特點和克萊姆法則可知

HF?2HFHFHF?2H-HFHF?2HF?2HFH=0（62）

HF?3HFHFHF?3H=0（63）

HF?4HFHFHF?4H=0（64）

HF?3HF?2HF?2HF?2H=0（65）

由于HF?4HFHFHF?4H=0，F(xiàn)F?4HFHFHF?4H=0所以根據(jù)引理5知F?4HFHFHF?4H=0。同理可得F?4HFHFHF?4=0。再根據(jù)（57）式可知

F?4HFHFHF?4=F?2HF?3HF?3HF?2=F?3HF?2HF?2HF?3=F?4HF?2HF?2HF?2=0（66）

同樣，利用HF?3HF?2HF?2HF?2H=0，F(xiàn)?3HF?2HF?2HF?3=0以及引理5可知

F?3HF?2HF?2HF?2=0（67）

仿效式（62）～（65）的推導(dǎo)過程把T=F+12F?2+16F?3+124F?4代入

HT?3HTHTHT+HT?2HTHTHT?2-HTHT?2HT?2HT=-12HT?2HT?2HT?2HT（68）

化簡比較兩邊F的次數(shù)可得

HF?3HFHFHF?3=0（69）

HF?4HFHFHF+HFHF?2HF?2HF?2=HF?2HF?2HF?2HF（70）

由于HF?3HFHFHF?3=0，所以HF?3HFHFHF?4=0。也就是HFHF?2HF?2HF?4=0。由HFHF?2HF?2HF?4=0，F(xiàn)?2HF?2HF?2HF?4=F?4HF?2HF?2HF?2=0以及引理5可知FHF?2HF?2HF?4=0。再根據(jù)FHF?2HF?2HF?4=0，HHF?2HF?2HF?4=0以及引理3得到HF?2HF?2HF?4=0。再考慮式（53）便有

HF?3HF?3HF?2=HF?2HF?2HF?4=0（71）

另一方面，根據(jù)式（69）和（56）有HFHF?3HF?3HF=0。再根據(jù)HFHF?3HF?3HF=0，HFHF?3HF?3HH=0以及引理5知HFHF?3HF?3H=0。對稱地可以得到，HF?3HF?3HFH=0。利用HF?3HF?3HFH=0，式（71）以及引理5可知HF?3HF?3HF=0。仍然是利用引理5，結(jié)合HF?3HF?3HF=0和HF?3HF?3HH=0可得

HF?3HF?3H=0（72）

在式子（58）兩側(cè)從左邊乘F，并注意到F?3HFHFHF?3=FHF?3HF?3HF=0可以得到F?4HFHFHF?2= F?3HF?2HF?2HF也就是（F?4HFHFHF-F?3HF?2HF?2H）F=0。再由（F?4HFHFHF-F?3HF?2HF?2H）H=0以及（F?4HFHFHF-F?3HF?2HF?2H）F=0和引理5可得

F?4HFHFHF=F?3HF?2HF?2H（73）

把F=T-12T?2+13T?3-14T?4代入（29）化簡得

HTHT?2HT?2+HT?2HTHT?2+HT?2HT?2HT+T?2HT?2HTH+T?2HTHT?2H+THT?2HT?2H+HT?2HT?3H+HT?3HT?2H+12HT?2HT?2HT?2+12T?2HT?2HT?2H=0

利用此式以及式（9），式（14）化簡T?3HTHTHT+THT?3HTHT+THTHT?3HT+THTHTHT?3：

T?3HTHTHT+THT?3HTHT+THTHT?3HT+THTHTHT?3=12THT?2HT?2HT?2+12T?3HT?2HT?2H

此結(jié)果從左邊乘H并與式（68）比較得到HT?3HT?2HT?2H=0。由式（72）和式（54）有

TT?3HT?2HT?2H=T?4HT?2HT?2H=T?2HT?3HT?3H=0

于是，結(jié)合這兩個結(jié)果HT?3HT?2HT?2H=0，TT?3HT?2HT?2H=0利用引理5得到

T?3HT?2HT?2H=0（74）

把式（52）、（74）代入式（15）可得T?4HTHTHT=T?3HT?2HT?2H=0。再根據(jù)引理5知T?4HTHTH=0

T?4HTHTH=0（75）

如果把代入T?4HTHTHT=T?3HT?2HT?2H=0式還可得到

F?4HFHFHF=F?3HF?2HF?2H=F?4HFHFH=0（76）

結(jié)合式（70），（76）知HFHF?2HF?2HF?2=HF?2HF?2HF?2HF。此式再結(jié)合式（76）可知HF?2HF?2HF?2HF?2=0。 結(jié)合HF?2HF?2HF?2HF?2=0以及式（67），根據(jù)引理3可得

F?2HF?2HF?2HF?2=0（77）

根據(jù)F?4HFHFH=0，的推導(dǎo)過程，可以對稱地得到HFHFHF?4=0。于是，利用式（34）可得

HF?2HF?2HF?2HFH=HFHF?4HFHFH+HFHFHF?4HFH+HF?4HFHFHFH=0

結(jié)合此式和式（76）、（77）以及引理5可得F?2HF?2HF?2HF=0。再次使用引理5，從F?2HF?2HF?2HF=0可知F?2HF?2HF?2H=0。對稱地可以得到F?2HF?2HF?2H=0。此即

F?2HF?2HF?2H=HF?2HF?2HF?2=0（78）

將此結(jié)論再代回到式（34）可得0=F?2HF?2HF?2H=F?4HFHFH+FHF?4HFH+FHFHF?4H。也就是FHF?4HFH+FHFHF?4H=0。將此式結(jié)合引理5以及式（19）就得到

HF?4HFH+HFHF?4H=0=HF?2HF?3H+HF?3HF?2H（79）

根據(jù)式（19）有F?3（HF?4H+HF?3HF+HF?2HF?2+HFHF?3）F=0，另一方面，根據(jù)式（24）、（76）有

F?3（HF?4H+HF?3HF+HF?2HF?2+HFHF?3）H=F?3HF?3HFH+F?3HF?2HF?2H+F?3HFHF?3H=F?4HFHFHF=0

根據(jù)引理5可知

F?3HF?4H+F?3HF?3HF+F?3HF?2HF?2+F?3HFHF?3=0（80）

比較式（80）與（26）可知

F?3HF?4H=F?4HF?2HF+F?4HFHF?2（81）

類似地，利用式（1）、（15）、（7）、（75）可得

T?3HT?4H=T?4HT?2HT+T?4HTHT?2（82）

由于?（A?nB-E）?6=0，也就是說?（A?nAB-E）?6=0。記AB-E=N則運用推導(dǎo)（1）～（4）的方法可得N?4HN?5+N?5HN?4=0，N?5HN?5=0。 用類似地方式討論?（A?nA?kB-E）?6=0則可得到類似的式子，于是有

0=（T?2HT?2+THT?3+T?3HT）H（T?2HT?2+THT?3+T?3HT）k?2+[（T?2HT?2+THT?3+T?3HT）H（T?2HTHT+THT?2HT+THTHT?2+T?2HTH+THT?2H+THTHT）+（T?2HTHT+THT?2HT+THTHT?2+HT?2HT+HTHT?2+THTHT）H（T?2HT?2+THT?3+T?3HT）]k?3+（T?2HTHT+THT?2HT+THTHT?2+HT?2HT+HTHT?2+THTHT）·H·（T?2HTHT+THT?2HT+THTHT?2+T?2HTH+THT?2H+THTHT）k?4

依次取不同的k，利用范德蒙行列式以及克萊姆法則就得到

（T?2HT?2+THT?3+T?3HT）H（T?2HT?2+THT?3+T?3HT）=0（83）

（T?2HT?2+THT?3+T?3HT）H（T?2HTHT+THT?2HT+THTHT?2+T?2HTH+THT?2H+THTHT）+（T?2HTHT+THT?2HT+THTHT?2+HT?2HT+HTHT?2+THTHT）H（T?2HT?2+THT?3+T?3HT）=0（84）

其中k?4的系數(shù)項為零已經(jīng)涵蓋在前面的各個式子之中顧不列出。

式（83）左乘T并用式（1）、（75）化簡可得

T?4HTHT?2HT?2+T?4HTHT?3HT=0（85）

同樣，從式（84）可以化簡出

T?3HT?2HTHTHT+THTHTHT?2HT?3=0（86）

式（86）右乘T?2得到T?3HT?2HTHTHT?3=0，結(jié)合式（68）右乘T以及式（78）可得T?3HT?3HTHTHT?2=0。根據(jù)引理5可知T?3HT?3HTHTHT=0進而

T?3HT?3HTHTH=0（87）

把T=F+12F?2+16F?3+124F?4代入（83）中化簡后的結(jié)果就是把（83）中T換成F。因此可以得到

F?4HFHF?2HF?2+F?4HFHF?3HF=0（88）

把T=F+12F?2+16F?3+124F?4代入（86）中化簡后得

F?3HF?2HFHFHF+FHFHFHF?2HF?3-12（F?3HF?3HFHFHF+FHFHFHF?3HF?3）=0

根據(jù)引理8，把此式中F換成2F仍然成立。即有

F?3HF?2HFHFHF+FHFHFHF?2HF?3-（F?3HF?3HFHFHF+FHFHFHF?3HF?3）=0

所以有F?3HF?2HFHFHF+FHFHFHF?2HF?3=F?3HF?3HFHFHF+FHFHFHF?3HF?3=0。于是得到了與（86），（87）對應(yīng)的式子

F?3HF?2HFHFHF+FHFHFHF?2HF?3=F?3HF?3HFHFH=0（89）

利用式（22），式（76）和式（89）可以得到

（F?3HF?3HFHF?2+F?3HF?3HF?2HF）H=F?3HF?3HFHF?2H+F?3HF?3HF?2HFH=-F?3HF?3HFHFHF-F?3HF?4HFHFH=0

另一方面利用式（72），式（80）和式（48）可以得到

（F?3HF?3HFHF?2+F?3HF?3HF?2HF）F=F?3HF?3HFHF?3+F?3HF?3HF?2HF?2=F?3HF?3HFHF?3+F?3HF?3HF?3HF+F?3HF?3HF?2HF?2=F?3HF?3HF?4H=0

利用這兩個式子結(jié)合引理5就得到F?3HF?3HFHF?2+F?3HF?3HF?2HF=0。再結(jié)合式（89）以及引理5即得

F?3HF?3HFHF+F?3HF?3HF?2H=0（90）

類似地推導(dǎo)也可以得到

T?3HT?3HTHT+T?3HT?3HT?2H=0（91）

把T=F+12F?2+16F?3+124F?4代入式（91）中化簡后得

12（F?3HF?3HFHF?2+F?3HF?3HF?2HF）+112F?3HF?3HF?2HF?2+124F?3HF?3HF?2HF?3=0

根據(jù)引理8，這個式子中的F換成3F，2F仍然成立。因此利用范德蒙行列式以及克萊姆法則可知

F?3HF?3HFHF?2+F?3HF?3HF?2HF=F?3HF?3HF?2HF?2=F?3HF?3HF?2HF?3=0（92）

根據(jù)式（92），式（78）可知FF?2HF?3HF?2HF?2=HF?2HF?3HF?2HF?2=0。此結(jié)果結(jié)合引理5就有

F?2HF?3HF?2HF?2=0（93）

看式（89）：F?3HF?2HFHFHF+FHFHFHF?2HF?3=0。右乘F得F?3HF?2HFHFHF?2+FHFHFHF?2HF?4=0。

利用式（18），（76）以及（89）后面的等號部分得FHFHFHF?2HF?4=-FHFHFHF?3HF?3-FHFHFHF?4HF?2=0（這里用的是對稱的式子）。因此有F?3HF?2HFHFHF?2=0。接下來使用推導(dǎo)式（87）式的方法，連續(xù)使用引理5就得到

F?3HF?2HFHFH=0（94）

同樣，利用式（86），（87）等式子可以類似地推導(dǎo)出T?3HT?2HTHTH=0。把T=F+12F?2+16F?3+124F?4代入T?3HT?2HTHTH=0中化簡并與式（93）比較得到F?3HF?2HFHF?2H=0。再結(jié)合式（30），（78）可得

F?3HFHF?2HF?2H=0（95）

F?3HFHF?2HF?2H=0因此F?2HFHF?3HF?2H+FHFHF?4HF?2H=0也就是FHFHF?2HF?3H=HFHF?4HF?2H。同理還有HF?3HF?2HFHF=HF?2HF?4HFH。利用（80）、（81）F?3HF?4H=F?4HF?2HF+F?4HFHF?2，F(xiàn)?3HF?4H+F?3HF?3HF+F?3HF?2HF?2+F?3HFHF?3=0這兩個式子以及F?2HF?2HF?2=F?3HF?3H+HF?3HF?3得到HF?4HF?2HF?3=HF?3HF?4HF?2=（F?2HF?2HF?2-F?3HF?3H）FHF?2=-F?3HF?3HFHF?2。也就是

HF?4HF?2HF?3+F?3HF?3HFHF?2=0。

注意到右邊去掉F換做H仍然是0，因此有HF?4HF?2HF?2+F?3HF?3HFHF=0 。另一方面，HF?4HF?2HF?2=HF?3HF?4HF=F?2HF?2HF?3HF-F?3HF?3HFHF。比較就發(fā)現(xiàn)F?2HF?2HF?3HF=0。進而由引理5可知F?2HF?2HF?3H=0。此結(jié)果代回到（80）中HF?3HF?4H=HFHF?3HF?3。于是HF?3HF?4HF?2=0。由引理8知F?3HF?4HF?2=0。如此一來，反復(fù)使用引理8就有F?2HF?2HF?2=0。那么就有F?3HF?3H+HF?3HF?3=0。那么F?2HF?3HF?3=0。再看到F?2HF?2HF?3H=0，就有F?2HF?3HF?2=0進而F?2HF?4HF?2=0。代入到（88）F?4HFHF?2HF?2+F?4HFHF?3HF=0中就有F?4HFHF?3=0，再用（25）式可得F?4HF?3HF=0。連續(xù)使用引理8得到F?4HF?3=0，并進而是F?3HF?3=0。

在這種情況下，F(xiàn)?3HF?2HFH，F(xiàn)?3HF?2HFHF，F(xiàn)?3HF?2HFHF?2，F(xiàn)?3HF?2HFHF?3，F(xiàn)?3HF?2HFHF?4生成維數(shù)不超過5維的，A，B的公共不變子空間。根據(jù)引理4知此空間為0，因此F?3HF?2HFH=0。連續(xù)使用引理8可得到F?3HF?2=0。一直推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)F?4=0（此時群是冪單的）。矛盾。

定理得證。

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