郭耀武, 高德恒, 韓 鍇, 李英德, 趙加強(qiáng)

(濰坊學(xué)院物理與光電工程學(xué)院，濰坊 261061)

1 引 言

光與原子的相互作用系統(tǒng)的非經(jīng)典特性是近代量子光學(xué)研究的重要內(nèi)容之一. 以J-C模型為基礎(chǔ)對光與原子的相互作用的量子特性已進(jìn)行了大量的研究,如原子布居差的崩塌-回復(fù)效應(yīng)和偶極壓縮效應(yīng),并作了多種形式的推廣[1-3]. 早期的研究大都局限于初態(tài)原子處于非糾纏態(tài)的假設(shè)；而對于初態(tài)為糾纏態(tài)的原子,近年來也取得了一些研究進(jìn)展, Yang等人[4]提出初始處于糾纏態(tài)的兩個(gè)二能級原子，其中之一與腔場發(fā)生相互作用，通過控制腔外原子來控制腔內(nèi)原子的發(fā)射性質(zhì). Xiang[5]等人用相同的方法來控制腔內(nèi)原子的偶極壓縮. 這些研究都利用了糾纏的奇妙關(guān)聯(lián)來遠(yuǎn)程控制原子的非經(jīng)典特性.

近年來,作為上述控制基礎(chǔ)的量子糾纏也受到人們的重視, 它對于Bell基的制備、量子隱形傳態(tài)[6]、量子密集編碼[7]和量子計(jì)算[8]等有重要的理論和實(shí)驗(yàn)意義，其中糾纏態(tài)的制備和操作是核心. 利用選擇性測量來操縱糾纏態(tài)是近年來出現(xiàn)的一種方法,對一個(gè)糾纏系統(tǒng)的子系統(tǒng)進(jìn)行測量不僅能給出子系統(tǒng)的信息,而且還提供了對其它子系統(tǒng)進(jìn)行操縱的可能性. Ye[9]研究了在非線性J-C模型中，處于最大糾纏狀態(tài)的兩原子之一與相干態(tài)光場發(fā)生相互作用，通過選擇性測量實(shí)現(xiàn)了未和場有相互作用的原子與場的糾纏，并研究了測量對光場非經(jīng)典性質(zhì)的影響；相比于單光子相互作用系統(tǒng)，雙光子共振相互作用過程中原子表現(xiàn)出更強(qiáng)的非經(jīng)典特性，其中張國鋒等[10]在雙光子J-C模型中研究了兩糾纏原子的糾纏度對測量后光場非經(jīng)典性質(zhì)的影響，同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了原子和場的糾纏. 以上研究主要是用對原子進(jìn)行測量的方法進(jìn)行的,而未考慮相干光場參數(shù)值和光子探測的影響.

本文中我們考慮了空間分離的兩糾纏原子之一與單模腔場發(fā)生雙光子共振相互作用,經(jīng)腔QED演化后,對單模腔場進(jìn)行光子探測和選擇兩原子不同的初態(tài)糾纏度,通過操縱演化時(shí)間t和探測到的光子數(shù)n以及光場參數(shù)α來遠(yuǎn)程調(diào)控腔外A原子的偶極壓縮,同時(shí)用相同方法實(shí)現(xiàn)了對遠(yuǎn)程控制的信道-腔外原子A和腔內(nèi)原子B之間的糾纏的控制，并且證明糾纏和壓縮存在一定的對應(yīng)關(guān)系.

2 理論模型及其波函數(shù)

設(shè)初始時(shí)刻,A,B兩原子系統(tǒng)處于如下糾纏態(tài):

(1)

圖1 系統(tǒng)的框圖.Fig. 1 System diagram

在旋波近似下,單模雙光子J-C模型在相互作用繪景中的哈密頓量表示為(?=1)：

HI=λ(a2σ++a+2σ-),

(2)

其中,σ±是原子的算符,a+,a是腔場的產(chǎn)生算符和湮滅算符,λ是相互作用耦合常數(shù). 設(shè)最初腔場處于相干態(tài)|α〉,系統(tǒng)的總態(tài)矢為:

(3)

(4)

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

對腔場進(jìn)行光子探測,假設(shè)探測到的光子是|n〉態(tài),系統(tǒng)的波函數(shù)變?yōu)?

(6)

其中N為歸一化常數(shù).

3 原子A的偶極壓縮效應(yīng)

對于一個(gè)有贗自旋算符S±,S3描述的二能級原子，定義兩個(gè)厄米算符[11]：

(7)

S1,S2滿足下列對易關(guān)系：

[S1,S2]=iS3

(8)

相應(yīng)的不確定關(guān)系為：

(ΔS1)2(ΔS2)2≥〈S3〉2/4

(9)

這里(ΔSi)2=〈Si2〉-〈Si〉2(i=1或2)是原子算符Si的量子漲落.如果存在某個(gè)態(tài)|Ψ〉，使得Si的量子漲落滿足

Fi=(ΔSi)2-2-1|〈S3〉|<0

(10)

原子就呈現(xiàn)偶極矩壓縮效應(yīng).

由(4)和(10)式很容易得出,未對腔場進(jìn)行光子探測時(shí),原子A沒有壓縮效應(yīng),對于進(jìn)行光子探測后的波函數(shù)(6)式,代入(10)式可得F1沒有壓縮,我們通過數(shù)值計(jì)算給出F2隨時(shí)間的演化及隨α,n的變化關(guān)系,如圖2.

圖2 在不同光子數(shù)下，F(xiàn)2隨時(shí)間t的演化Fig. 2 Time evolution of F2 for different photon numbers

(1)首先我們?nèi),B兩原子的初態(tài)處于最大糾纏(c=0.5)的情況, 當(dāng)α的值非常小時(shí),經(jīng)計(jì)算可知壓縮不明顯；當(dāng)α=0.5時(shí),如圖2-(a),探測的光子數(shù)n在小于1的范圍內(nèi),原子A對應(yīng)的F2從特定的時(shí)間點(diǎn)開始,隨時(shí)間的演化出現(xiàn)比單光子過程更加明顯的壓縮效應(yīng),而且壓縮隨時(shí)間的變化始終存在. 當(dāng)光子數(shù)n在大于1的范圍內(nèi),壓縮隨時(shí)間t和光子數(shù)n的變化密集分布，且壓縮值較小. 當(dāng)α的值取1時(shí),如圖2-(b),在光子數(shù)小于1的區(qū)域,F2仍然隨時(shí)間t的演化一直存在壓縮,但最大壓縮值變小,并且在n軸的方向上壓縮值不相等的,而是呈現(xiàn)下凹的弧狀；在n大于1的區(qū)域，與圖1相比，壓縮出現(xiàn)的頻率明顯降低，并且隨光子數(shù)n的增大，壓縮分布基本不變；當(dāng)α增大到2時(shí)，如圖2-(c),在n小于1的范圍,壓縮隨時(shí)間的演化不發(fā)生變化,與圖(a),(b)相比較,壓縮值變得更小,在n大于1的范圍內(nèi)與圖(b)相比, 壓縮出現(xiàn)的頻率增大,又重新回到分布密集的情況. 用以上相同的研究方法,我們得知當(dāng)α的值繼續(xù)增大時(shí),壓縮效應(yīng)逐漸不明顯,直至消失.

(2)當(dāng)初態(tài)原子A,B不處于最大糾纏的情況下,我們選取c=0.1,如圖2-(d),(e),(f)所示,對于n大于1的區(qū)域,壓縮分布規(guī)律與初態(tài)為最大糾纏的情況(圖2-(a),(b),(c))相似；對于n小于1的區(qū)域，當(dāng)α=0.5時(shí)，如圖2-(d)，一直存在壓縮，且隨時(shí)間的演化規(guī)律不發(fā)生變化，壓縮值分布在n軸方向上呈現(xiàn)上凸的弧狀. 當(dāng)α=1時(shí)，如圖2-(e)，與圖(d)相比,最大壓縮值變大,且壓縮值在n軸上的分布變?yōu)橄掳嫉幕? 當(dāng)α=2時(shí),如圖2-(f),最大壓縮值又變小. 總之，我們可以通過選取不同的初態(tài)糾纏度與合適的時(shí)間t,操縱相干光場的參數(shù)α和探測到的光子數(shù)n,就可以實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程調(diào)控原子A的偶極壓縮效應(yīng).同時(shí)我們也可以看到選擇此模型能夠很好地控制由于原子的行為而造成的量子噪聲.

4 原子A、B之間的糾纏演化特性

對于兩個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)的混合態(tài)，我們用Peres提出的用部分轉(zhuǎn)置矩陣的負(fù)本征值判斷糾纏的方法來度量糾纏度，即對于密度矩陣ρ表示的兩子系統(tǒng)中，糾纏可以用部分轉(zhuǎn)置矩陣的負(fù)本征值[12]來定義，

(11)

式中的μi-是部分轉(zhuǎn)置矩陣ρ的負(fù)本征值. 當(dāng)EAB=0，兩子系統(tǒng)是分離的[13]，當(dāng)EAB=1時(shí)兩子系統(tǒng)處于最大糾纏；當(dāng)0

圖3 EAB隨時(shí)間的演化Fig. 3 Time evolution of EAB

(1)當(dāng)探測到光場處于真空態(tài)時(shí)，即n=0，如圖3所示,在圖3-(a)中α=0.1,兩原子的糾纏出現(xiàn)周期性的演化,在一個(gè)周期內(nèi)，糾纏度先增大,增大到最大糾纏狀態(tài), 這相當(dāng)于原子和場不發(fā)生相互作用,雙原子系統(tǒng)處于原來的狀態(tài), 保持一段時(shí)間然后又減小,直到完全分離(曲線a),對于初態(tài)為非最大糾纏態(tài)(曲線b),在一個(gè)周期內(nèi)，糾纏度先增大,達(dá)到最大糾纏后減小,減小到某一確定值后又增大,達(dá)到最大糾纏,然后再減小直到完全分離. 比較曲線a和b,可知初態(tài)糾纏度改變了糾纏隨時(shí)間的演化特性,影響處于最大糾纏的持續(xù)時(shí)間，但兩者具有相同的糾纏演化周期.

隨著光場參數(shù)α值的增大,如圖3-(b),(c),(d)所示,對于初態(tài)為最大糾纏和非最大糾纏兩種情況(曲線c,d,e,f,g,h),糾纏演化特性不變,周期相同,但糾纏度的最大值隨α值的增大而減小. 當(dāng)α大于1.5時(shí),糾纏幾乎消失，接近退糾纏狀態(tài).

(2)當(dāng)探測到的光子數(shù)為1時(shí),如圖4所示，對于圖3和圖4對應(yīng)的部分進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)：當(dāng)原子初態(tài)為最大糾纏和非最大糾纏兩種情況下，我們可以看到糾纏也出現(xiàn)周期性的演化,但是由于腔中光子數(shù)的存在使演化的周期變短，這是由于光子數(shù)影響(6)式中系數(shù)的函數(shù)周期所致. 糾纏度的最大值隨α增大而減小(圖4-曲線a，b，c，d，e，f，g，h),與圖3有相同的演化特性. 當(dāng)我們用相同的方法研究光子數(shù)n大于1的情況時(shí)，發(fā)現(xiàn)糾纏隨光子數(shù)的增加變的越來越不明顯，糾纏度越來越小，退糾纏現(xiàn)象明顯. 總之，通過改變原子的初態(tài)糾纏度和光場參數(shù)α，及其探測到的光子數(shù)n，能夠很好控制糾纏演化的特性.

對本文第3和第4部分的分析結(jié)果進(jìn)行比較，在光子數(shù)n大體小于1的情況下，壓縮效應(yīng)明顯，而且隨時(shí)間的演化一直存在，同時(shí)對應(yīng)著原子間糾纏的周期性演化也非常明顯，并且可以出現(xiàn)最大糾纏態(tài)；在光子數(shù)大于1的情況下，壓縮和糾纏效應(yīng)都迅速變的不明顯，隨著壓縮的消失，糾纏也逐漸消失. 由此可知腔外原子A的壓縮和原子A,B間的糾纏存在一定的對應(yīng)關(guān)系.

圖4 EAB隨時(shí)間的演化Fig. 4 Time evolution of EAB

5 結(jié) 論

本文利用旋波近似下的雙光子J-C模型，讓一對糾纏原子之一與單模腔場發(fā)生雙光子共振相互作用，求出系統(tǒng)的波函數(shù)，然后對演化后的腔場進(jìn)行光子探測，計(jì)算了腔外原子A的偶極壓縮，通過對相互作用時(shí)間t，光場參數(shù)α以及探測光子數(shù)n實(shí)行一定的調(diào)控，對未參與相互作用的原子A來說，我們可以在更大程度上遠(yuǎn)程調(diào)控其偶極壓縮效應(yīng)；同時(shí)，我們用相同的方法研究了對遠(yuǎn)程控制的信道-腔外原子A和腔內(nèi)原子B之間的糾纏進(jìn)行控制，并且得出原子壓縮與原子系統(tǒng)的糾纏存在一定的對應(yīng)關(guān)系. 總之，本文的研究對于量子遠(yuǎn)程控制、量子通訊具有一定的指導(dǎo)意義.