閆夢宇，李金海+

1.昆明理工大學 數(shù)據(jù)科學研究中心，昆明 650500

2.昆明理工大學 理學院，昆明 650500

1 引言

形式概念分析是德國數(shù)學家Wille[1]于1982年提出的，它以形式背景為研究對象，研究對象、屬性及其層次關系的理論，提供了一種與傳統(tǒng)數(shù)據(jù)分析和知識表示完全不同的方法。目前，形式概念分析在數(shù)據(jù)挖掘[2-3]、信息處理[4]、軟件工程[5-6]、可視化[7-8]、在線分析[9]等領域得到了廣泛應用。

眾所周知，形式背景的屬性分析是形式概念分析理論中的基本問題。截止目前，已有許多學者基于Wille概念格對屬性分析進行了研究。如，張文修等[10]通過格同構思想建立了概念格約簡理論，利用屬性與約簡之間的內在聯(lián)系將其區(qū)分為三類：絕對必要屬性、相對必要屬性和絕對不必要屬性。這種區(qū)分屬性類型的思想隨后得到了其他學者的廣泛重視，原因是它有助于約簡計算與數(shù)據(jù)分析。洪文學等[11]在構建偏序結構圖的過程中，引入了“最大共有屬性”“共有屬性”和“獨有屬性”等概念，在此基礎上嘗試實現(xiàn)大規(guī)模數(shù)據(jù)分析。張濤等[12-13]借助所謂的“頂層屬性”“過渡屬性”“底層屬性”和“伴生屬性”快速計算Wille概念格，其原理是從屬性視角出發(fā)挖掘數(shù)據(jù)之間的潛在有用結構關系，并加以充分利用，以避免生成概念的過程中數(shù)據(jù)被反復低效訪問。

在形式概念分析中，Wille概念格、面向對象概念格和面向屬性概念格均可用于數(shù)據(jù)分析。盡管人們對這些數(shù)據(jù)分析方法有了一定的了解，如Wille概念格是基于屬性和對象之間的共同擁有關系提出的，而面向對象概念格和面向屬性概念格是將粗糙集理論中的上、下近似思想引入形式背景建立的[14-15]，且面向對象概念格和面向屬性概念格在約簡方面存在密切聯(lián)系[16]。然而，這些數(shù)據(jù)分析方法之間的差異尚不完全清楚。考慮到現(xiàn)有的很多工作已表明屬性分析有助于認識概念層次結構[10-13]，因此從屬性分析角度探討概念格數(shù)據(jù)分析方法的異同是一種可行的做法。

鑒于上述討論，本文基于Wille概念格、面向對象概念格和面向屬性概念格定義了共有屬性（對象）與獨有屬性（對象），并指出Wille概念格可用于共有屬性（對象）的數(shù)據(jù)分析，而面向對象概念格和面向屬性概念格可用于獨有屬性（對象）的數(shù)據(jù)分析。在此基礎上，討論了共有屬性（對象）與獨有屬性（對象）的相互關系，有關結果有助于揭示概念格數(shù)據(jù)分析方法之間的異同。

2 共有、獨有屬性與對象的概念

一個形式背景可表示為三元組(U,A,I)，其中U是對象集，A是屬性集，I是笛卡爾積U×A上的二元關系。為了方便，記(x,a)∈I表示對象x擁有屬性a。

本文默認所有討論的形式背景均是正則的[10]，即不存在空關系的行和列，也不存在滿關系的行和列。

Wille在形式背景(U,A,I)上定義了概念誘導算子：

定義1[1]給定形式背景(U,A,I),對于X?U，B?A，如果X↑=B且B↓=X，則稱序對 (X,B)為形式概念。其中X稱為概念的外延，B稱為概念的內涵。

定義2（共有屬性） 給定形式背景(U,A,I)，對于X?U，如果a∈A滿足：則稱a是對象集X的共有屬性。為了方便，記對象集X的所有共有屬性組成的集合為Xg。

類似地，可以在形式背景中引入一個屬性集的共有對象。不妨記屬性集B的所有共有對象組成的集合為Bg。

性質1給定形式背景(U,A,I)，對于對象集X?U，有Xg=X↑，Bg=B↓。

由性質1可知，Wille概念可以理解為是基于共有屬性（對象）分析構建的。

Yao[14]，Düntsch和Gediga[15]在形式背景 (U,A,I)上給出了另外兩種概念誘導算子：

其中，Ia表示與屬性a有關系的所有對象，xI表示與對象x有關系的所有屬性。由于本文討論的形式背景均是正則的，因此Ia和xI都是非空的。

更多有關以上三種概念誘導算子的討論可參見文獻[17]，在此不再贅述。

定義3[14]給定形式背景(U,A,I)，對于X?U，B?A，如果X□=B且B◇=X，則稱序對(X,B)為面向對象概念。其中X稱為面向對象概念的外延，B稱為面向對象概念的內涵。

定義4（獨有屬性）給定形式背景(U,A,I)，對于對象集X?U，如果a∈A滿足：存在x∈X,(x,a)∈I，且不存在，則稱a是對象集X的獨有屬性。為了方便，記對象集X的所有獨有屬性組成的集合為Xd。

類似地，可以在形式背景中引入一個屬性集的獨有對象。不妨記屬性集B的所有獨有對象組成的集合為Bd。

性質2給定形式背景(U,A,I)，對于X?U，B?A，有。

證明對于任意a∈Xd，由定義4可知，存在x∈X使得 (x,a)∈I，且不存在使得 (y,a)∈I。因此，與屬性a有關系的對象都來自于對象集X，故有Ia?X，即a∈X□。

反之，對于任意a∈X□，有Ia?X成立，故不存在使得 (y,a)∈I。另一方面，由于Ia非空，且Ia?X，存在x∈X使得(x,a)∈I。因此，a∈Xd。

綜上可得，Xd=X□。

由性質2可知，面向對象概念可以理解為是基于獨有屬性（對象）分析構建的。

定義5[15]給定形式背景 (U,A,I)，對于X?U，B?A，如果X◇=B且B□=X，則稱序對(X,B)為面向屬性概念。其中X稱為面向屬性概念的外延，B稱為面向屬性概念的內涵。

性質3給定形式背景(U,A,I)，對于X?U，B?A，有。

性質3可類似于性質2進行證明，在此省略。

由性質3可知，面向屬性概念也可以理解為是基于獨有屬性（對象）分析構建的。

3 共有、獨有屬性與對象的性質

性質4設(U,A,I)為形式背景，任意X,X1,X2?U，B,B1,B2?A，則共有屬性與對象有以下性質：

證明由性質1，再結合Wille概念格的性質，即可得證。

性質5設(U,A,I)為形式背景，任意X,X1,X2?U，B,B1,B2?A，則獨有屬性與對象有以下性質：

證明只證（1）、（2）、（3）、（4），其余性質可類似得到。

（1）由性質2可知：

又因為：

因此，Ia?X2。從而，。

（2）由性質2可得：

又因為：

（3）由性質2和性質3可知：

（4）由性質2可知：

則對任意b∈B，Ib中的對象一定擁有屬性b，故對任意x∈Ib有：

3.3.2 其他個體因素 除性別外，有研究發(fā)現(xiàn)年齡、職業(yè)和文化程度等對配偶間HIV傳播也會產(chǎn)生影響［20，27］。

4 概念格共有與獨有屬性（對象）的關系

本章針對命題：共有屬性（對象）是獨有屬性（對象），討論其充分性、必要性以及充分必要性是否成立。

4.1 命題充分條件不成立

性質6給定形式背景(U,A,I)，對于X?U，如果a∈Xg，則a∈Xd不成立。

證明注意到a∈Xg，只是下列條件成立：

而a∈Xd則要求滿足：

存在x∈X,(x,a)∈I,且不存在顯然不存在使得(x,a)∈I這個條件未必成立，命題得證。 □

性質7給定形式背景(U,A,I)，對于B?A，如果a∈Bg，則a∈Bd不成立。

性質7可類似于性質6證得，在此省略。

下面，通過一個實例表明性質6和性質7的存在性，以方便理解。

例1表1是一個形式背景，其中對象x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8分別代表學生甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，屬性是有關研究生考試面試環(huán)節(jié)的各項要求，其中a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8分別代表四級通過、六級通過、計算機二級通過、本科學習成績優(yōu)秀、愿意繼續(xù)讀博、心態(tài)平和、有特長和適應能力強。對象xi(i=1,2,…,8)擁有屬性aj(j=1,2,…,8)在表中對應交叉位置標記為1，對象不擁有屬性在表中對應交叉位置標記為0。

Table 1 Formal context(U,A,I)表1 形式背景(U,A,I)

由表1，易計算得到：

設X={x3,x4,x5}，Xg={a3,a6,a7,a8}表示學生丙丁戊的共有屬性為計算機二級通過、心態(tài)平和、有特長和適應能力強；但Xd={a4,a6}表示學生丙丁戊的獨有屬性為本科學習成績優(yōu)秀和心態(tài)平和。屬性計算機二級通過、有特長和適應能力強雖然是學生丙丁戊共同擁有，但是從表1中可以看出學生乙己庚辛也擁有屬性計算機二級通過；學生甲庚辛也擁有屬性有特長；學生甲己庚辛也擁有屬性適應能力強；因此計算機二級通過、有特長和適應能力強不是學生丙丁戊的獨有屬性。綜上可知共有屬性未必是獨有屬性。

設B={a1,a3,a6,a7,a8}，Bg={x3,x4}表示屬性四級通過、計算機二級通過、心態(tài)平和、有特長和適應能力強的共有對象為學生丙??；但是Bd={x3,x8}表示屬性四級通過、計算機二級通過、心態(tài)平和、有特長和適應能力強的獨有對象為學生丙辛。學生丁雖然擁有屬性四級通過、計算機二級通過、心態(tài)平和、有特長和適應能力強，但其還擁有屬性本科學習成績優(yōu)秀，因此學生丁并不是屬性四級通過、計算機二級通過、心態(tài)平和、有特長和適應能力強的獨有對象。綜上可知，共有對象也未必是獨有對象。

4.2 命題必要條件不成立

性質8給定形式背景(U,A,I)，對于X?U，如果a∈Xd，則a∈Xg不成立。

證明注意到a∈Xd，只是下列條件成立：

存在x∈X,(x,a)∈I，且不存在而a∈Xg則要求滿足：

比較上述條件，易知獨有屬性不一定就是共有屬性，因為獨有屬性是X擁有而不擁有的屬性，而共有屬性是X擁有同時也可以擁有的屬性。

性質9給定形式背景(U,A,I)，對于B?A，如果a∈Bd，則a∈Bg不成立。

性質9可類似于性質8證得，在此省略。

下面，通過一個實例表明性質8和性質9的存在性，以方便理解。

例2繼續(xù)以表1為分析對象進行討論。設X={x3,x4,x5}，那么Xd={a4,a6}表示學生丙丁戊的獨有屬性為本科學習成績優(yōu)秀和心態(tài)平和；但Xg={a3,a6,a7,a8}表示學生丙丁戊的共有屬性為計算機二級通過、心態(tài)平和、有特長和適應能力強。屬性本科學習成績優(yōu)秀因為只被學生丁擁有，學生丙戊并不擁有此屬性，因此屬性本科學習成績優(yōu)秀不是學生丙丁戊的共有屬性。綜上可知，獨有屬性未必是共有屬性。

設B={a1,a3,a6,a7,a8}，Bd={x3,x8}表示屬性四級通過、計算機二級通過、心態(tài)平和、有特長和適應能力強的獨有對象為學生丙辛；但Bg={x3,x4}表示屬性四級通過、計算機二級通過、心態(tài)平和、有特長和適應能力強的共有對象為丙丁。學生辛是屬性四級通過、計算機二級通過、心態(tài)平和、有特長和適應能力強的獨有對象，但其并不擁有屬性集B中的心態(tài)平和屬性，因此學生辛不是屬性四級通過、計算機二級通過、心態(tài)平和、有特長和適應能力強的共有對象。綜上可知，獨有對象也未必是共有對象。

4.3 命題充要條件成立的附加條件

通過上述討論可知，命題“共有屬性（對象）是獨有屬性（對象）”的充分條件和必要條件均不成立。因此，給出該命題充要條件成立的附加條件，是非常有意義的。

定理1（原命題充要條件成立的附加條件） 給定形式背景(U,A,I)，X?U，B?A，且滿足：

則Xg=Xd=B。

證明已知：

故：

另一方面，對于任意a∈B，由于(U,A,I)是正則的，因此存在x0∈X使得(x0,a)∈I，再結合：

反之，對于任意的a∈Xd，如果a?B，那么，根據(jù)：

可得 ?x∈X,(x,a)?I，這與存在x∈X使得 (x,a)∈I矛盾，因此假設不成立，原命題a∈B正確，故：

綜上可得，Xd=B，因此Xg=Xd=B。 □

定理2（原命題充要條件成立的附加條件） 給定形式背景(U,A,I)，X?U，B?A，且滿足：

則Bg=Bd=X。

定理2可類似于定理1證得，在此省略。

下面，通過一個實例說明上述兩個定理，以方便理解。

例3表2是一個形式背景(U,A,I1)，其中對象x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8與例1相同，屬性a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8也與例1相同，但是對象和屬性之間的關系I1與例1不同，具體見表2。

由表2，易計算得到：

根據(jù)定理1，令X={x1,x3,x4,x5}，由表2可以看出X滿足定理1，那么Xg={a1,a3,a6}表示學生甲丙丁戊共有屬性為四級通過、計算機二級通過和心態(tài)平和，可以看出屬性四級通過、計算機二級通過和心態(tài)平和只有學生甲丙丁戊擁有，而其他學生不擁有；Xd={a1,a3,a6}表示只有甲丙丁戊擁有屬性四級通過、計算機二級通過和心態(tài)平和，滿足Xg=Xd，即共有屬性是獨有屬性；同樣可以得到獨有屬性是共有屬性?？傊颂幑灿袑傩约椽氂袑傩?，獨有屬性也是共有屬性。同理，對于Xg=B={a1,a3,a6}，Bg=Bd={x1,x3,x4,x5}也滿足定理2，因此可得共有對象即獨有對象，獨有對象也是共有對象。綜上所述，滿足定理1可以得到命題的充要條件成立。

Table 2 Formal context(U,A,I1)表2 形式背景(U,A,I1)

根據(jù)定理2，令B={a1,a3,a6}，由表2可以看出B滿足定理2，那么Bg={x1,x3,x4,x5}表示共同擁有屬性四級通過、計算機二級通過和心態(tài)平和的學生是甲丙丁戊，可以看出學生甲丙丁戊只擁有屬性四級通過、計算機二級通過和心態(tài)平和，而不擁有其他屬性；Bd={x1,x3,x4,x5}表示只擁有屬性四級通過、計算機二級通過和心態(tài)平和的學生為甲丙丁戊，滿足Bg=Bd，即共有對象即獨有對象；同樣的，也可以得到獨有對象是共有對象?？傊?，這里共有對象即獨有對象，獨有對象也是共有對象。同理，對于X={x1,x3,x4,x5},Xg=Xd={a1,a3,a6}，也滿足定理1，因此可以得到共有屬性即獨有屬性，獨有屬性也是共有屬性。綜上所述，滿足定理2可以得到命題的充要條件成立。

由上述討論可得：共有屬性是獨有屬性的充要條件，與共有對象是獨有對象的充要條件是完全相同的，即下列定理成立。

定理3（原命題充要條件成立的附加條件） 給定形式背景(U,A,I)，X?U，B?A，則共有屬性是獨有屬性的充要條件，以及共有對象是獨有對象的充要條件均為：

實際上，上述三個約束條件的直觀意義非常明確。具體地，第一個表示X×B區(qū)域均是數(shù)字“1”填充，第二個表示X×B區(qū)域之外不再增加列方向的數(shù)字“1”，第三個表示X×B區(qū)域之外不再增加行方向的數(shù)字“1”。換言之，X×B區(qū)域相對于數(shù)字“1”填充問題是不可擴充的。

4.4 命題充要條件下的性質

性質10給定形式背景(U,A,I)，若存在X?U滿足Xg=Xd，則不存在X1?X（或X1?X）使得；類似地，若存在B?A滿足Bg=Bd，則不存在B1?B（或B1?B）使得。

證明如果Xg=Xd=B，下證不存在X1?X（或X1?X）使得：

（1）假設存在X1?X，滿足，則：

（2）假設存在X1?X，滿足，則：

由定理1條件可知，此時不滿足Xg=Xd=B，與假設矛盾，所以原命題正確。

同理可證：若存在B?A滿足Bg=Bd，則不存在B1?B（或B1?B）使得。 □

由性質10可知，在一個形式背景中若存在對象集X和屬性集B滿足Xg=Xd或Bg=Bd，那么在概念序關系意義下，此對象集X和屬性集B是唯一的。換言之，在形式背景中若存在對象集X和屬性集B滿足Xg=Xd或Bg=Bd，那么不可能存在其真子集或者覆蓋集也滿足共有即獨有。

下面，通過一個實例說明性質10，以方便理解。

例4表3是一個形式背景(U,A,I2)，其中對象x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8與例1相同，屬性a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8也與例1相同，但是對象和屬性之間的關系I2與例1不同，具體見表3。

Table 3 Formal context(U,A,I2)表3 形式背景(U,A,I2)

由表3，易計算得到：

通過表3以及定理3可得：

（1）當X={x1,x2,x3}時，Xg=Xd={a1,a2,a3}；當X={x4,x5,x6}時 ，Xg=Xd={a4,a5,a6}；當X={x7,x8}時 ，Xg=Xd={a7,a8}。顯然三個對象集之間無序關系。

（2）當B={a1,a2,a3}時，Bg=Bd={x1,x2,x3}；當B={a4,a5,a6}時，Bg=Bd={x4,x5,x6}；當B={a7,a8}，Bg=Bd={x7,x8}。顯然這三個屬性集之間也無序關系。

對于上述三個對象集，以其中一個X={x1,x2,x3}為例，需要分兩種情況進行分析；第一種情況是對其真子集逐一分析；第二種情況是對其覆蓋集逐一分析。這里只分析每種情況下的一個集合，其余可類似得出。當X1={x1,x2}，顯然X1?X，此時，但，因此；當X1={x1,x2,x3,x4}時，顯然X1?X，此時，但，因此。

對于上述三個屬性集，以B={a1,a2,a3}為例，同理需要分兩種情況考慮，這里只分析每種情況下的一個集合。當B1={a1,a2}時，顯然B1?B，此時，但，因此；當B1={a1,a2,a3,a4}時，此時，但，因此。

此外，可以繼續(xù)討論表3中的形式概念、面向對象概念以及面向屬性概念。根據(jù)定義1、定義3和定義 5可知，形式概念為 (x1x2x3,a1a2a3)，(x4x5x6,a4a5a6)，(x7x8,a7a8)。面向對象概念為 (x1x2x3,a1a2a3)，(x4x5x6,a4a5a6)，(x7x8,a7a8)。面向屬性概念為 (x1x2x3,a1a2a3)，(x4x5x6,a4a5a6)，(x7x8,a7a8)。因此可以得出形式概念、面向對象概念和面向屬性概念是完全相同的。

最后，需要指出的是，從概念認知角度而言，當充要條件成立時，共有屬性（對象）與獨有屬性（對象）的概念認知趨同，即既是共有屬性（對象）又是獨有屬性（對象）的概念會產(chǎn)生完全相同的認知結果。而且，例4進一步表明，在特定的數(shù)據(jù)環(huán)境下，這兩種概念認知層次結構也完全相同（不考慮空概念和滿概念）。該結論對于基于共有屬性（對象）和獨有屬性（對象）的概念認知研究是有參考意義的。

5 結束語

本文研究了概念格共有屬性（對象）和獨有屬性（對象）之間的關系。具體地，在Wille概念格、面向對象概念格以及面向屬性概念格的基礎上，引入了共有屬性、共有對象、獨有屬性、獨有對象等概念，并圍繞共有屬性（對象）是否是獨有屬性（對象）展開了詳細討論，得到了一些有用的性質。

從屬性類型的角度而言，面向對象概念格和面向屬性概念格數(shù)據(jù)分析方法事實上是等價的。因此，Wille概念格、面向對象概念格和面向屬性概念格是兩種類型的數(shù)據(jù)分析方法。同時，本文的性質表明，這兩種數(shù)據(jù)分析方法雖然是迥異的，但是在某些特定條件時，它們也可以是等價的。

今后，可以繼續(xù)探討基于共有屬性（對象）和獨有屬性（對象）建立更加一般的概念格數(shù)據(jù)分析方法，即基于概念誘導算子Bg、Xg、Bd、Xd，直接構建對象冪集與屬性冪集之間的伽羅瓦連接，得到廣義的概念格數(shù)據(jù)分析方法。這將是一個非常有前景的研究方向，因為這些概念誘導算子的認知語義是非常明確的，有助于概念認知學習的研究與發(fā)展[18]。