劉陽輝，洪澤群，韓延廣

(1.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092; 2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092; 3.上海市隧道股份有限公司，上海 200232)

在人工地層凍結(jié)技術(shù)運(yùn)用過程中，需要對(duì)凍土結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析計(jì)算，此時(shí)通常假設(shè)凍土為均質(zhì)介質(zhì)，選用凍土帷幕平均溫度所對(duì)應(yīng)的物理力學(xué)參數(shù)作為均質(zhì)假定下凍土結(jié)構(gòu)材料參數(shù)。因此凍土帷幕的平均溫度不僅僅是凍結(jié)效果的重要判據(jù)，也是確定凍土力學(xué)參數(shù)，進(jìn)行凍土帷幕承載力評(píng)估的重要依據(jù)。

目前常用的平均溫度求解方法有:積分法、等效截面法、經(jīng)驗(yàn)公式法。積分法是利用已有的溫度場(chǎng)解析公式，對(duì)凍土區(qū)域進(jìn)行積分求解，直接求得平均溫度。由于溫度場(chǎng)的解析公式較為復(fù)雜，積分求解的難度較大，目前這一方法的研究較少。等效截面法是以凍結(jié)壁某一橫截面的平均溫度來代表整體凍結(jié)壁的平均溫度，諸如筆者所提出的利用等效三角形法、等效梯形法、等效拋物弓或梯形-拋物弓疊合得到的特征截面處的平均溫度來代替帷幕的平均溫度[1-4]。單排管凍結(jié)平均溫度等效計(jì)算的基礎(chǔ)是巴霍爾金的溫度場(chǎng)解析公式，因此計(jì)算準(zhǔn)確性得到保證，但截面的選取和計(jì)算過程較為繁瑣。經(jīng)驗(yàn)法求解凍土帷幕的平均溫度也是一種可行辦法。陳文豹、湯志斌基于大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，給出了計(jì)算平均溫度的“成冰公式”[5]，但該公式過于保守，適用性較差[6]，汪仁和等學(xué)者根據(jù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果擬合出平均溫度的計(jì)算公式[7]，筆者根據(jù)等效截面計(jì)算公式形式也給出了平均溫度的經(jīng)驗(yàn)公式[8]。

目前，直線排管凍結(jié)溫度場(chǎng)解析解主要有巴霍爾金單排、雙排[9]和筆者的三排管穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)解析解[10]，這些解有較高的準(zhǔn)確性[11-12]。本文將以筆者采用邊界分離法得到的單排管凍結(jié)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)解析解為基礎(chǔ)[13-14]，采用積分法推導(dǎo)平均溫度的直接計(jì)算公式。

1 單排管凍結(jié)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)解析解

單排管凍結(jié)的模型如圖1所示。在單排管的管間距相等，凍結(jié)管表面溫度相等情況下，筆者利用邊界分離法得到穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)解析公式(1)[14]:

(1)

式中，T(x,y)為任意點(diǎn)(x,y)的溫度,℃;Tf為凍結(jié)管外表面溫度,℃;ξ為凍土帷幕厚度之半，m;l為相鄰凍結(jié)管間距，m;r0為凍結(jié)管外半徑，m。

圖1 單排管凍結(jié)模型Fig.1 Model of single row-piped freezing

式(1)按照工程實(shí)際參數(shù)近似處理可以簡化成巴霍爾金的單排管凍結(jié)溫度場(chǎng)解析公式。

由圖1所示，根據(jù)模型的對(duì)稱性，凍土帷幕的平均溫度tcp為T(x,y)在給定區(qū)域(-l/2

(2)

2 單排管凍結(jié)平均溫度的計(jì)算

把式(1)代入式(2)，得到單排管凍結(jié)平均溫度的計(jì)算式。

(3)

式(3)主要問題是積分

(4)

利用貝塞特求和公式[15],得

(5)

對(duì)式(5)的積分部分進(jìn)行分部積分，得到積分結(jié)果為

再次運(yùn)用貝塞特求和公式，得

上式積分項(xiàng)在積分區(qū)間(-l/2

(6)

其中,X為區(qū)間(-l/2，l/2)內(nèi)的某個(gè)實(shí)數(shù)。

將式(6)代入式(3)，得到單排管凍結(jié)凍土帷幕平均溫度為

(7)

考慮到土層的凍結(jié)溫度T0的單排管凍結(jié)平均計(jì)算公式為

T0

(8)

在凍結(jié)后期，有πξ/l>1，所以ch(2πξ/l)遠(yuǎn)大于cos(2πX/l)，得ch(2πξ/l)-cos(2πX/l)≈ch(2πξ/l)-1，式(8)可簡化為

(9)

在上述推導(dǎo)過程，積分區(qū)域包含了凍結(jié)管部分，實(shí)際土層的平均溫度的計(jì)算不應(yīng)包含上述區(qū)域。同時(shí)，由于T(x,y)在凍結(jié)管圓心(0,0)處的取值趨于無窮，無法確定凍結(jié)管處的溫度對(duì)積分結(jié)果的影響。因此需要對(duì)式(9)進(jìn)行修正，減小偏差。

由于曲線積分較為困難，修正將采用已有積分策略對(duì)矩形區(qū)域(-r0

(10)

上述修正是對(duì)矩形區(qū)域(-r0

3 解的準(zhǔn)確性

本文推導(dǎo)的平均溫度計(jì)算公式是基于單排管凍結(jié)的穩(wěn)態(tài)解析解，并根據(jù)實(shí)際工程對(duì)一些參數(shù)進(jìn)行了簡化，因此需要對(duì)解析公式的準(zhǔn)確性進(jìn)行研究。本文ANSYS進(jìn)行熱學(xué)數(shù)值計(jì)算，來研究公式的準(zhǔn)確性和精度，確定計(jì)算公式的適用范圍，即ξ/l滿足什么條件時(shí)，理論計(jì)算較為精確。

考慮到單排管凍結(jié)布管形式的對(duì)稱性，計(jì)算選取1/4區(qū)域，如圖2所示。土性參數(shù)選取根據(jù)《上海地區(qū)人工凍土物理力學(xué)性能試驗(yàn)及其應(yīng)用技術(shù)研究報(bào)告》[16]，主要參數(shù)的取值初始溫度為-20 ℃;凍土導(dǎo)熱系數(shù)為172 W/(m·K)；未凍土導(dǎo)熱系數(shù)為122 W/(m·K)；比熱容為1.65 kJ/(kg·℃)。凍結(jié)參數(shù)根據(jù)常見情況，取Tf=-30 ℃，T0=0 ℃，r0=0.054 m，選用管間距l(xiāng)=0.4，0.6，0.8，1.0，1.2，1.4 m，考慮ξ/l=0.5，0.6，0.7，0.8，1.0，1.5共6種凍結(jié)發(fā)展?fàn)顟B(tài)。圖3為l=1.0 m，ξ/l=0.8計(jì)算結(jié)果的溫度云圖。理論計(jì)算采用式(11)，計(jì)算結(jié)果見表1，其中絕對(duì)誤差為理論計(jì)算與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的差值。

圖2 計(jì)算模型Fig.2 Calculation model

圖3 l=1.0 m，ξ/l=0.8的溫度云圖Fig.3 Contour plot of calculation results

將修正公式和數(shù)值計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較，如圖4所示。

根據(jù)計(jì)算結(jié)果及對(duì)比，得到以下結(jié)論。

(1)理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果較為吻合。所完成的算例中，平均溫度的誤差小于0.5 ℃，隨著凍土厚度的發(fā)展，理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的差值逐漸減小。

(2)針對(duì)第2節(jié)提出得矩形修正區(qū)域與凍結(jié)管的差集，在常見布管參數(shù)條件下，該區(qū)域?qū)τ?jì)算結(jié)果的影響是有限的。這片區(qū)域的土體溫度約為-30 ℃，面積約為0.001 3 m2。取最不利情況(凍土區(qū)域最小)，l=0.4 m，ξ=0.2 m計(jì)算。這片區(qū)域造成的誤差約為0.47 ℃，隨著凍土厚度的發(fā)展，誤差逐漸減小。同時(shí)，這塊區(qū)域?qū)碚撚?jì)算的影響是提高平均溫度，使計(jì)算結(jié)果偏向安全。因此采用矩形區(qū)域進(jìn)行修正是可行的。

表1 計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results

圖4 結(jié)果對(duì)比Fig.4 Calculation results

4 結(jié) 論

(1)基于單排管凍結(jié)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)解析解，本文采用積分法推導(dǎo)出凍土帷幕平均溫度的直接計(jì)算公式，并對(duì)在凍結(jié)管附近的計(jì)算進(jìn)行了修正。

(2)根據(jù)算例，隨著凍土厚度的發(fā)展(相對(duì)厚度的增大)，理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的差值迅速減小到0.5 ℃以內(nèi)，當(dāng)相對(duì)厚度大于0.6時(shí)，對(duì)比計(jì)算結(jié)果的差值小于0.2 ℃。當(dāng)相對(duì)厚度為1及以上時(shí)，差值小于0.1 ℃。通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了平均溫度計(jì)算公式的準(zhǔn)確性，也說明公式簡化和修正的合理性，公式計(jì)算的誤差滿足工程應(yīng)用的要求。