張大朋，白 勇，朱克強(qiáng)

(1.浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州 310058；2.寧波大學(xué) 海運(yùn)學(xué)院，寧波 315211)

隨著對海洋資源需求的日益增大，各種針對海上結(jié)構(gòu)物的施工作業(yè)越來越頻繁，尤其是海上起吊作業(yè)。而在海上起吊作業(yè)過程中由于各種原因?qū)е碌牡趵|間的碰撞不可避免。而這種吊纜間的碰撞對海上施工作業(yè)是不利的。該過程中產(chǎn)生的高速反彈會對周圍的設(shè)備和人員造成極大的傷害[1-4]。

目前國內(nèi)關(guān)于海洋起吊方面的動態(tài)分析較多，但關(guān)于吊纜之間的碰撞研究較少。相對于單獨(dú)研究海洋起吊系統(tǒng)，起吊吊纜間的碰撞涉及到復(fù)雜的碰撞接觸之間的設(shè)置，并且在碰撞過程中極易出現(xiàn)纜-纜之間的相互纏繞，不能簡單地依據(jù)吊纜模型建模，而直接編程工作量過于浩大，且計(jì)算過程極難收斂。吊纜的動力學(xué)建模方法有集中質(zhì)量法、有限元法和有限差分法等[5-9]。其中，集中質(zhì)量法物理意義明確，算法簡單易懂，具有廣泛的適用性及擴(kuò)展性。本文以大型水動力分析軟件OrcaFlex 軟件為平臺，運(yùn)用凝集質(zhì)量參數(shù)法建立了吊纜碰撞的動力學(xué)分析模型，并對其進(jìn)行模擬仿真，通過時域耦合動力分析方法分析碰撞過程的非線性動力學(xué)特性。結(jié)合動力學(xué)仿真的計(jì)算結(jié)果給出了一些指導(dǎo)性的建議，對于保證海上安全作業(yè)有重要意義。

1 海洋吊纜動力學(xué)模型

本文涉及的吊纜主要結(jié)構(gòu)是海洋吊纜，其可以承受較大的拉力，抗彎能力很弱，具有較大的柔性，為準(zhǔn)確地反映索結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性，本文采用集中質(zhì)量法構(gòu)建吊纜動力學(xué)模型。

1.1 數(shù)學(xué)模型的建立

為簡化計(jì)算，將吊纜結(jié)構(gòu)視為光滑、圓截面且無任何附連組件的可伸長纜繩。需要注意的是，因本文研究的吊纜在水面以上，由于海上吊放一般都是在風(fēng)平浪靜時，且本文主要研究的是碰撞對吊纜的影響，因此波浪引起的水動力載荷可忽略?？紤]一微段圓截面吊纜受到的外部載荷，據(jù)此列出吊纜靜力平衡和彎矩平衡關(guān)系式

(1)

(2)

Te=EAε

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 離散的集中質(zhì)量數(shù)值解法

通過離散的集中質(zhì)量法數(shù)值求解纜繩邊界問題。凝集質(zhì)量法的基本思路就是把纜繩分割成N段微元，并且每段微元的質(zhì)量集中在一個節(jié)點(diǎn)上，這樣就可以有N+1個節(jié)點(diǎn)。作用在每微段末端的張力T和剪力V就可以看作集中作用在某一個節(jié)點(diǎn)上，任何的外部載荷都視為集中作用在一個節(jié)點(diǎn)上。在連續(xù)性方程中，質(zhì)量塊模型通過有限差分法取代空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)從而求數(shù)值解。

經(jīng)過必要化簡，式(2)、(4)、(5)還可寫為

(7)

(8)

(9)

通過式(8)、(9)，可將式(7)化解為

(10)

進(jìn)一步化簡可得

(11)

(12)

(13)

經(jīng)過數(shù)值模擬分析后，易得到第k個節(jié)點(diǎn)運(yùn)動方程表達(dá)為

MAk

(14)

其中

(15)

(16)

(17)

故運(yùn)動方程式(14)里的各個外力之差可表達(dá)為

(18)

(19)

由(1)～(19)，方程(14)可以用矩陣形式來表示

(20)

其中Kk表示第k分段剛度矩陣，它由以下五個子矩陣組成。

Kk=[Ak，Bk，Ck，Dk，Ek]

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

則可由方程(14)可知，方程(19)的外力

(28)

式(28)里的節(jié)點(diǎn)的速度和加速度項(xiàng)能夠通過使用Newmark-β算法得出

(29)

(30)

故對時間步長(n)時，在慣性坐標(biāo)系下的運(yùn)動方程為

[K](n){R}(n)={Fe}(n)

(31)

式中：[K]是3N×3N的慣性剛度矩陣，{R}和{Fe}分別是三維節(jié)點(diǎn)位置矢量和外力矢量。通過數(shù)值積分對以上推導(dǎo)的單個節(jié)點(diǎn)位置矢量和速度矢量求解，能得到節(jié)點(diǎn)位移、速度矢量和吊纜外力隨時間響應(yīng)圖。

1.3 吊纜碰撞力的計(jì)算

圖1 纜-纜接觸關(guān)系示意圖Fig.1 Schematic diagram of contact relationship for cable-cable

將吊纜等效為圓形截面的柔性體模型，當(dāng)兩圓柱面相互接觸時，采用基于罰函數(shù)的模型計(jì)算法向接觸力，該模型將實(shí)際中物體的碰撞過程等效為基于穿透深度的非線性彈簧阻尼模型，這也是大多數(shù)常用的碰撞模型。且在此碰撞模型中，碰撞力最直接的體現(xiàn)為法向接觸力，為簡化計(jì)算過程，主要考慮法向接觸力的影響，切向接觸力暫不考慮。設(shè)兩個纜的半徑分別為r1、r2，當(dāng)兩根纜中軸線之間的距離δr1+r2時兩根纜不會發(fā)生碰撞，當(dāng)兩根纜中軸線之間的距離δ=r1+r2時，兩根纜之間的關(guān)系處于發(fā)生碰撞與不發(fā)生碰撞的邊緣，換句話說，此時兩根纜剛好開始發(fā)生相互接觸，但還并未發(fā)生力的作用。關(guān)于這三種纜-纜之間的接觸關(guān)系，如果放在平面中，可以分別描述為兩個圓之間相交、相離、相切的關(guān)系如圖1所示。

OrcaFlex中吊纜之間的碰撞力Fc可表示為

Fc=k[δ-(r1+r2)]+Fd

(32)

式中：δ為兩根纜中軸線之間的距離，F(xiàn)d為結(jié)構(gòu)阻尼力，k為與吊纜接觸剛度有關(guān)的系數(shù)，其表達(dá)式為

(33)

k1、k2分別為兩根吊纜的接觸系數(shù)，單位為kN/m。

結(jié)構(gòu)阻尼力的表達(dá)式為

Fd=cv

(34)

式中：c為結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)，v為兩纜法向碰撞時的相對速度，且當(dāng)相對速度小于零時此時說明兩根纜之間正在遠(yuǎn)離因此沒有阻尼力的作用，當(dāng)相對速度大于零時此時說明兩根纜之間正在靠近，有阻尼力的作用。

2 OrcaFlex中動態(tài)仿真模型的建立

圖2 吊纜碰撞模型示意圖Fig.2 Schematic model of the collision for suspended cables

為簡化建模過程，將吊纜一根建為橫纜，一根建為豎纜，以提高碰撞發(fā)生的可能性。橫纜兩端從始至終全都鉸接，其兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為端點(diǎn)1(x1=-33.2 m,y1=0 m,z1=153.5 m)，端點(diǎn)2(x2=49.2 m,y2=0 m,z2=153.5 m)。豎纜上端始終鉸接于海平面以上180 m(具體坐標(biāo)為x=9.8 m,y=8.7 m,z=180 m)處，下端在建模靜平衡階段鉸接于海平面以上130.7 m(具體坐標(biāo)為x=7.4m,y=-64.3 m,z=130.7 m)處，靜平衡結(jié)束后豎纜下端解除約束，由于初始狀態(tài)豎纜兩端并不在一條垂線上，豎纜將繞上端點(diǎn)開始轉(zhuǎn)動，并最終與橫纜發(fā)生碰撞。兩根纜的材質(zhì)相同，長度均為100 m，外徑均為0.35 m，線密度均為0.12 t/m，泊松比均為0.5，軸向剛度EA均為6 000 kN，彎曲剛度50 kN·m2，扭轉(zhuǎn)剛度為0，法向接觸系數(shù)為5 000 kN/m。為保證碰撞時節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)間能有效接觸，兩根吊纜均分為50段，單個分段長度為2 m。仿真時間為15 s。模型建成后如圖2所示。

3 計(jì)算結(jié)果

經(jīng)仿真發(fā)現(xiàn)，豎纜的第26個節(jié)點(diǎn)將會與橫欄的第27個節(jié)點(diǎn)發(fā)生碰撞。

3.1 吊纜碰撞力動力學(xué)分析結(jié)果

圖4 吊纜張力歷時曲線Fig.4 Tension of cables versus time

觀察碰撞力計(jì)算結(jié)果圖3(圖中左側(cè)曲線為豎纜碰撞力時域曲線，右側(cè)曲線為橫纜碰撞力時域曲線，用了曲線加不同圖標(biāo)的繪圖形式，即圖3中左右側(cè)的曲線均為一條，不存在不同含義的曲線重疊的情況)發(fā)現(xiàn)，對于豎纜而言，其發(fā)生的較明顯的碰撞主要是與橫纜的兩次短時間的碰撞(5 s和11 s)，即在豎纜第一次與橫纜碰撞后兩根吊纜迅速彈開，然后再次發(fā)生碰撞；除了這兩次較為明顯的碰撞外，豎纜的碰撞力基本維持在0 kN，這說明在整個過程中豎纜自身不同部位之間沒有發(fā)生明顯的碰撞。而對于橫纜，計(jì)算結(jié)果表明，除了與豎纜發(fā)生碰撞外，橫纜自身的不同部分之間也會發(fā)生碰撞，即隨著豎纜對橫纜的急劇碰撞會改變橫纜的空間形態(tài)，造成與橫纜27節(jié)點(diǎn)附近相鄰的節(jié)點(diǎn)之間會發(fā)生輕微幅度地相互碰撞，對比橫纜與豎纜的碰撞力時域圖像不難發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)。同時，觀察發(fā)現(xiàn)，吊纜在第一次相互碰撞時，豎纜受到的碰撞力(80 kN)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于橫纜受到的碰撞力(300 kN)，這說明橫纜受到的沖擊遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于豎纜，造成這種現(xiàn)象的原因?yàn)椋合鄬τ谪Q纜，橫纜兩端都被鉸接，而豎纜下端自由無約束，碰撞發(fā)生后所產(chǎn)生的沖擊隨著豎纜自由端的擺動被及時釋放，而橫纜由于兩端被鉸接，無法及時釋放碰撞所產(chǎn)生的沖擊故而橫纜第一次受到的碰撞力要比豎纜大，同時也正是因?yàn)槠鋬啥吮汇q接，使得橫纜自身各部分之間更容易發(fā)生碰撞。

3.2 吊纜張力及彎曲動力學(xué)分析結(jié)果

圖5 吊纜張力沿纜長方向分布Fig.5 Tension of cables along the length

觀察吊纜張力時域圖4發(fā)現(xiàn)：對于豎纜，在下端解除約束后，下端不再承受牽拉的作用，因而張力圖像在結(jié)束平衡階段進(jìn)入動態(tài)仿真階段后豎纜下端始終保持在0 kN；豎纜上端的張力和26節(jié)點(diǎn)處的張力值隨著時間的推移不斷波動變化，且豎纜上端的張力始終大于碰撞點(diǎn)26節(jié)點(diǎn)處的張力，但26節(jié)點(diǎn)處的張力大于豎纜下端的張力，這是由于碰撞造成的劇烈抖動使得碰撞點(diǎn)以下對26節(jié)點(diǎn)造成較大牽拉引起的；而對于橫纜而言，碰撞點(diǎn)27節(jié)點(diǎn)并不是在碰撞過程中張力值的最大點(diǎn)，反而是水平鉸接端點(diǎn)1、2的張力值比較大，這同樣是由于兩端鉸接使得碰撞產(chǎn)生的沖擊得不到及時釋放而造成的。同時，豎纜的張力最大值(225 kN)要大于橫纜受到的張力最大值(150 kN)。也就是說，對于豎纜，張力最大值發(fā)生在上端位置，碰撞點(diǎn)處張力也較大，自由端為0；對與橫纜來說，碰撞發(fā)生位置的張力是最小的，兩端張力值基本相同。圖5的張力沿纜長方向的分布情況證明了這一點(diǎn)。觀察圖5發(fā)現(xiàn)，沿纜長方向豎纜張力依次遞減，橫纜張力以碰撞點(diǎn)為界大體呈對稱分布。

圖6 吊纜曲率分布Fig.6 Distribution curvature of cables

觀察吊纜曲率沿纜長方向的分布圖6發(fā)現(xiàn)，不論是橫纜還是豎纜，在碰撞處都會發(fā)生曲率沿纜長方向的突變，使得曲率沿纜長方向的分布在碰撞部位變得不光順；同時發(fā)現(xiàn)，對于豎纜而言，碰撞會使上端0～10 m區(qū)域和26節(jié)點(diǎn)前后10 m的區(qū)域(40～60 m)發(fā)生比較明顯的彎曲情況，而其余部位彎曲情況并不十分明顯；對于橫纜而言，由碰撞部位27節(jié)點(diǎn)處至兩端吊纜彎曲程度依次降低。觀察吊纜碰撞處曲率變化情況發(fā)現(xiàn)，碰撞使兩根纜接觸部位產(chǎn)生了反復(fù)的彎曲變化，且橫纜在碰撞部位的彎曲變化程度要大于豎纜在碰撞部位的彎曲變化程度。對比觀察圖6和圖7發(fā)現(xiàn)，沿纜長方向的曲率與彎矩圖像形態(tài)呈現(xiàn)一定程度的相似性，這一定程度上驗(yàn)證了曲率與彎矩的對應(yīng)關(guān)系。

3.3 吊纜運(yùn)動分析

觀察圖8發(fā)現(xiàn)，在豎纜由靜止到碰撞發(fā)生前這一段時間內(nèi)豎纜始終處于速度不斷增大而加速度不斷減小的過程中，但橫纜基本處于靜止?fàn)顟B(tài)；當(dāng)兩根纜發(fā)生碰撞后，豎纜26節(jié)點(diǎn)瞬間速度變?yōu)?，然后開始發(fā)生碰撞，產(chǎn)生的碰撞力開始對豎纜的26節(jié)點(diǎn)反向加速，當(dāng)速度達(dá)到最大后兩根纜脫離接觸，豎纜26節(jié)點(diǎn)在達(dá)到最大速度后再次開始減速；而橫纜在碰撞發(fā)生前處于靜止?fàn)顟B(tài)，在碰撞瞬間其速度加速到極大值，而后開始減速，速度減速到0后反向加速，加速到一最大值后再次減速。值得一提的是，在整個過程中，在碰撞的瞬間橫纜27節(jié)點(diǎn)、豎纜26節(jié)點(diǎn)加速度達(dá)到最大，且橫纜的最大加速度要大于豎纜的最大加速度。

觀察圖9沿纜長方向速度及加速度曲線發(fā)現(xiàn)，橫纜速度的最大值出現(xiàn)在兩纜碰撞部位，而豎纜速度最大值卻出現(xiàn)在下端，而兩纜加速度最大的區(qū)域均位于發(fā)生相互碰撞的部位：豎纜沿纜長方向速度逐漸遞增，而橫纜沿纜長方向，速度自碰撞點(diǎn)到兩端依次降低，其分布形態(tài)近似呈倒拋物線形態(tài)。

圖7 吊纜彎矩分布Fig.7 Bending moment of cables圖8 碰撞節(jié)點(diǎn)速度及加速度曲線Fig.8 Curves of velocities and accelerations for impact position

圖9 沿纜長方向速度及加速度曲線Fig.9 Curves of velocities and accelerations along the length direction

4 結(jié)論

豎纜本身不同部位之間發(fā)生碰撞的可能性不大，橫纜本身不同部位之間、橫纜與豎纜之間都會發(fā)生碰撞。

橫纜與豎纜由于約束形式的不同，導(dǎo)致碰撞沖擊的釋放有所不同，由此可見，吊纜兩端的約束形式會對碰撞沖擊的劇烈程度造成影響。

碰撞處會發(fā)生曲率沿纜長方向的突變，碰撞會使兩根纜接觸部位產(chǎn)生反復(fù)的彎曲變化。

約束形式的不同導(dǎo)致橫纜與豎纜的最大速度出現(xiàn)部位不同，橫纜速度的最大值出現(xiàn)在兩纜碰撞部位，而豎纜速度最大值卻出現(xiàn)在下端，兩纜加速度最大值均出現(xiàn)在相互碰撞的部位。