高 瑞，張 娟

(1.山西大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)研究所， 太原 030006;2.疾病防控的數(shù)學(xué)技術(shù)與大數(shù)據(jù)分析山西省重點實驗室， 太原 030006)

1997年，人感染H5N1禽流感病例首次在中國香港地區(qū)出現(xiàn)，之后又有多個國家相繼出現(xiàn)[1-2]。據(jù)世界衛(wèi)生組織公布數(shù)據(jù)知，截止2017年12月，我國實驗室確診感染H5N1禽流感病毒累計病例數(shù)為53例，死亡人數(shù)為31例，死亡率高達58%[3-5]。據(jù)獸醫(yī)公報公布，截止2017年11月，H5N1高致病性禽流感病毒已蔓延至18個省份[6-7]，感染家禽宿主包括：雞、鴨、鵝、鵪鶉等，野生宿主包括：江湖海周圍的水鳥以及各種遷徙野鳥等[8-10]。由于H5N1高致病性禽流感病毒的傳播，已經(jīng)有近690萬家禽被捕殺，給養(yǎng)殖業(yè)帶來毀滅性的打擊[11-12]?，F(xiàn)階段暫無證據(jù)表明H5N1高致病性禽流感病毒能在人與人之間進行有效傳播，但隨著H5N1高致病性禽流感病毒的持續(xù)流行與進化，該病毒對人類仍存在嚴重威脅[13]。

目前，研究禽流感傳播與控制的動力學(xué)模型大多數(shù)以禽個體、人為研究對象，且種間只考慮了禽對人的單向傳播。而中國H5N1禽流感病毒的傳播特征為：傳播速度快，一只家禽攜帶病毒很快引起整個場群的感染；我國目前以疫點為單位上報政府并進行相應(yīng)的捕殺；病毒在場群間主要通過養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員在場群間的活動進行傳播，例如養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員的衣著、攜帶的交通工具等，在禽的調(diào)運與銷售過程中，將會攜帶病毒，并在場群之間進行傳播與擴散。基于此，本文以場群為單位，以禽養(yǎng)殖與銷售場所、養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員、普通人群為研究對象，既考慮禽養(yǎng)殖與銷售場所對人的感染，又考慮養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員攜帶的病毒對禽養(yǎng)殖與銷售場所的感染，建立中國H5N1禽流感場群間傳播動力學(xué)模型，挖掘其內(nèi)在傳播機制，評估預(yù)防控制其流行的有效措施。

1 動力學(xué)模型的建立

本文研究對象分為3類：全國禽養(yǎng)殖場與銷售場所、普通人群和養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員。其中，禽養(yǎng)殖場與銷售場所指禽養(yǎng)殖場、活禽交易市場和零售市場；養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員指養(yǎng)殖場與銷售場所的工作人員，即養(yǎng)殖、運輸以及銷售活禽的高危人群；普通人群指前往活禽交易市場或者零售市場購買禽的普通民眾。根據(jù)染病和免疫狀態(tài)，禽養(yǎng)殖場與銷售場所FN分為易感、染病和免疫3種狀態(tài)，分別記為FS、FI、FV，其中FN=FS+FI+FV；禽養(yǎng)殖場/銷售場所中一旦有一只禽染病，該場將認為處于染病狀態(tài)。根據(jù)染病狀態(tài)，普通人群HN分為易感和染病2種狀態(tài)，分別記為HS和HI，其中HN=HS+HI；根據(jù)衣著、攜帶工具、交通工具等是否攜帶病毒，將養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員MN分為無攜帶病毒者、攜帶病毒者，分別記為MS和MI，其中MN=MS+MI?；贖5N1禽流感病毒的傳播特點，該疫病在各倉室之間的轉(zhuǎn)化見流程圖1，對應(yīng)的動力學(xué)模型見式(1)。模型中涉及參數(shù)的具體意義見表1，其中所有參數(shù)都是非負的，且0<α<1， 0<γ<1。

(1)

圖1 H5N1禽流感病毒在人和禽養(yǎng)殖場與銷售場所之間傳播流程

表1 模型(1)中有關(guān)參數(shù)的說明

觀察模型(1)，可得

從而可以得出可行域

Γ={(HS,HI,MS,MI,FS,FI,FV)|HS,

HI,MS,MI,FS,FI,FV≥0,

2 模型的動力學(xué)分析

由于模型(1)的后5個方程與前2個方程無關(guān)，因此只分析后5個方程即可，組成系統(tǒng)(2)如下：

(2)

2.1 平衡點的存在性

令系統(tǒng)(2)方程右邊為0，可以解出模型的平衡點。

其中：

其中,

根據(jù)上述討論得出：當R0>1時，系統(tǒng)(2)存在正平衡點E*。

2.2 無病平衡點的局部穩(wěn)定性

定理1若R0<1，那么系統(tǒng)(2)的無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的。

證明系統(tǒng)(2)在無病平衡點E0處的雅克比矩陣為

可以計算出其特征多項式：

其中，

A=2δ+3d2+d+λ+φ,

(2δ+d+d2)(λ+φ+2d2)+

很明顯，-d是p(λ1)的一個根。

可以得出：

Δ1=A=2δ+3d2+d+λ+φ>0

Δ2=AB-C=(2δ+d+d2) [(2δ+d+d2)×

(2d2+λ+φ)+(δ+d)(δ+d2)×

Δ3=ABC-C2-A2D=

(2d2+λ+φ)(2δ+d+d2)×

(2δ+d+3d2+λ+φ)+(δ+d2)×

(2δ+d)2]}>0

Δ4=DΔ3>0

由Routh-Hurwitz判據(jù)，J|E0所有的特征根都具有負實部，因此系統(tǒng)(2)的無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的。

3 防控措施評估

3.1 參數(shù)估計

1) 據(jù)中國統(tǒng)計年鑒，2004—2017年每年出生人口數(shù)的平均值為1 637萬[14]，因此A=1.637×107。

2) 從中國畜牧業(yè)年鑒可獲得2004—2017年全國蛋雞和肉雞的總養(yǎng)殖場數(shù)[15]。假設(shè)每年新增禽養(yǎng)殖場與銷售場所為2 000個，根據(jù)A2=d2FN，可推算出每年禽養(yǎng)殖場與銷售場所的關(guān)閉率為6%。

3) 資料顯示，H5N1禽流感滅活疫苗的免疫保護期可達半年以上[16]，本文假設(shè)為1年，則免疫失效率φ=1。

4) 接種免疫率為接種覆蓋率和疫苗有效率的乘積。資料顯示，H5N1禽流感滅活疫苗的疫苗有效率為68.4%[17]。本文假設(shè)疫苗的接種覆蓋率為80%，所以λ=0.55。

5) 據(jù)世界衛(wèi)生組織公布數(shù)據(jù)知：截至2017年12月，我國實驗室確診感染H5N1禽流感病毒累計病例數(shù)為53例，死亡人數(shù)為31例，死亡率高達58%[3]，所以1-γ=58%。

6)δ代表恢復(fù)率，一年內(nèi)感染者百分之百移出，要么恢復(fù)，要么死亡，因此取δ=1。

HS(0)=1.3×109×0.7,HI(0)=2

MS(0)=1.3×109×0.3,MI(0)=1

FS(0)=1.114 927 6×108×0.7

FI(0)=50

FV(0)=1.114 927 6×108×0.3

圖2 2004—2017年禽養(yǎng)殖場與銷售場所染病數(shù)據(jù)

3.2 敏感性分析

利用表1的數(shù)據(jù)和基本再生數(shù)的表達式，可以估計出中國H5N1高致病禽流感在場群間傳播的基本再生數(shù)R0=0.832 4。說明在目前的免疫與撲殺作用下，該疫病隨著時間推移將會得到控制。在實際中，H5N1抗原在持續(xù)的免疫壓力下不斷進化，發(fā)生基因變異，使得疫苗對其保護效果越來越差，即接種免疫率λ會降低，因此偶爾仍會有疫病暴發(fā)?，F(xiàn)在討論疫苗免疫率對疫病流行的影響。為了評估免疫等措施對疫病流行的影響，討論R0關(guān)于各參數(shù)的敏感性。由圖3可知：當其他參數(shù)值不變時，隨著λ降低，基本再生數(shù)R0將會增大。當λ小于0.1時，R0將大于1。

接下來實施雙參數(shù)分析，來討論C2、C3、d2和λ對R0的作用。由圖4知：隨著C2和C3的減小，基本再生數(shù)R0將會降低。隨著d2和λ的增大，也會使基本再生數(shù)R0不斷地降低。由圖4(a)～(d)知：如果按照當前每年養(yǎng)殖場的關(guān)閉率d2=0.06，接種免疫率λ=0.55,C2需小于1 010,C3需小于40 384,才能保證R0<1。由圖4(e)知：曲線斜率比較大，說明R0對β3較敏感，即控制染病養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員對場群的傳染力是非常重要的。通過以上分析得到：監(jiān)控養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員對場群的感染，加強養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員及其攜帶工具的消毒，增加養(yǎng)殖場接種免疫率，可有效控制傳染力度。

圖3 λ對R0的作用

圖4 雙參數(shù)敏感性分析C2、C3 、d2、λ 、β2和β3對R0的作用

4 討論

基于H5N1禽流感病毒的傳播特征，本文以場群為單位，以禽養(yǎng)殖場與銷售場所、養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員、普通人群為研究對象，既考慮禽養(yǎng)殖場與銷售場所和養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員之間的雙向作用，建立中國H5N1禽流感場群間傳播動力學(xué)模型，挖掘其內(nèi)在傳播機制，估計了中國H5N1禽流感傳播的基本再生數(shù)R0，評估預(yù)防控制其流行的有效措施。通過分析得到，在免疫與撲殺禽的作用下，中國H5N1禽流感傳播能暫時得到控制，然而，由于病毒變異重組，接種免疫率λ會降低，會導(dǎo)致基本再生數(shù)R0大于1，使得疫病再次暴發(fā)。進一步分析得到，監(jiān)控養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員對場群的感染，加強養(yǎng)殖業(yè)相關(guān)人員及其攜帶工具的消毒，增加養(yǎng)殖場接種免疫率，可有效控制H5N1禽流感病毒的傳播。在未來的工作中，將研究病毒變異與疫苗替換對疫病流行的影響。