姜影星,黃文念

(廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,廣西桂林 541006)

1 引言

考慮下面非線性的schr¨odinger-Maxwell方程

自從系統(tǒng)(1.1)在文獻[3]中提出以后,很多學者對系統(tǒng)解的問題產(chǎn)生了興趣并進行了研究.在文獻[1]中,Sun用變化的噴泉定理得出了一類次線性項schr¨odinger-Maxwell方程的無限多個解.在文獻[2]中,Li,Su,Wei用變化的噴泉定理得出了非線性schr¨odinger-Maxwell方程的無窮多個高能解的存在性.受文獻[2]的啟發(fā),本文在文獻[2]的非線性項f(x,u)(見本文定理1.1的(f1)–(f4)條件)的基礎(chǔ)上,添加了一個次線性項g(x,u)(見定理1.1的(g)條件),將文獻[1]中的次線性項0

定理1.1假設(shè)V,K和非線性項f,g滿足如下條件:

(V)V∈C(R3,R)且進一步地,?M>0,有meas{x∈ R3:V(x)≤

(K)K ∈L∞(R3,R),且K(x)≥0,?x∈R3.

(f1)f∈C(R3×R,R)且存在a>0,p∈(2,6),使得|f(x,u)|≤ a(1+|u|p?1),?(x,u)∈R3×R.

2 相關(guān)記號和準備工作

對于任意的1≤r<∞,Lr(R3)表示通常意義下的Lebesgue空間,其范數(shù)為

H1(R3)則表示通常意義下的Sobolev空間,其范數(shù)取為

定義如下空間

其范數(shù)取為

2?=6為三維空間的臨界Sobolev嵌入指數(shù),則D1,2(R3),→L2?(R3),C1是最佳嵌入正的常數(shù),即

由Lax-Milgram定理(見文獻[13]),?u∈ H1(R3),?唯一的φu∈D1,2(R3)使得

進一步地有

從而φu≥0.?u∈H1(R3),由式(2.1),(2.2)和H¨older不等式知

令

和

在空間E×D1,2中定義一個泛函I,

則I是有意義的,且I∈C1(E×D1,2),同時,I的每個臨界點就是系統(tǒng)(1.1)的一個解(這里是指弱解).由式(2.2)得出

易知Φ∈C1(E,R)且

由臨界點理論及變分法知:當u∈E為泛函Φ的一個臨界點,則(u,φu)為系統(tǒng)(1.1)的一組解.對應(yīng)的Nehari流形為

定義2.1(見文[14])設(shè)E是Banach空間,Φ∈C1(E,R),c∈R.泛函Φ滿足(PS)c條件是指:?{un}?E使得

有一個收斂的子列.

定理2.2(見文[15])設(shè)E是Banach空間,E?為其對偶空間,若Φ∈C1(E,R)且滿足

其中 ρ>0,r>0,以及v∈E且kvk>r.令c≥ ρ 且是從 0 到v的連續(xù)曲線.其中Γ={γ∈C([0,1],E):γ(0)=0,γ(1)=v},則存在{un}? E,使得Φ(un)→c>0且Φ0(un)→0,若Φ滿足(PS)c條件,則c≥ρ是Φ的臨界值.

3 定理1.1的證明

引理3.1在定理1.1的假設(shè)條件下,則

(ii)?v∈E,滿足kvk>r,使得Φ(v)<0.

證 (i)由(f2)條件知?ε>0,?α>0,使得?x∈R3,0≤|u|≤α,以進

一步得出

因此

結(jié)合式(3.2),(3.3),?x∈R3,u∈R,有

結(jié)合式(3.1),(3.4),?x∈R3,u∈R,有

結(jié)合(g)條件和式(2.6),有

(ii)由(f3)條件知?M>0,?δ>0,使得|u|≥δ時,

從而

由(f1)條件知?M1>0,使得有

從而

結(jié)合式(3.7),(3.9),(3.11),?M>0,?M1>0使得?有

由式(2.4),(2.6),2

取M充分大,則Φ(te)≤0,取v=te,當t充分大時,kvk>r,使得Φ(v)≤0.

引理3.2在定理1.1的條件下,Φ的(PS)c序列有界.

即{un}有界.

引理3.3在定理1.1的條件下,Φ的有界(PS)c序列收斂,即Φ(un)→c,Φ0(un)→0,則{un}存在一個收斂的子列.

證 因為{un}?E有界,所以?u∈E,使得un*u,由(V)條件知,在Lt(R3),t∈[2,6)中,有

因為

顯然,當n→∞時,

因為在Ls(R3),2≤s<6中,有H¨older 不等式,

所以

類似的

因此

則已證?c,Φ的(PS)c條件成立.因此至少存在一個非零解u∈E,Φ(u)=c,Φ0(u)=0.由式(2.9)知,顯然N 非空,?u∈N,有

由N 的定義,顯然u 6≡0,取ε充分小,則

引理3.4(見文[14])設(shè)r>0,如果{un}?H1(R3)有界,且

則?s∈(2,6),在Ls(R3)中有un→0.

定理1.1的證明 設(shè){un}?N 是Φ的一個極小化序列,則{un}有界,而且通過一個恰當?shù)腪3變換,?u∈N,使得