摘 要：通過舉例說明在多元復(fù)合函數(shù)微分法中，全微分形式不變性具有思路清晰，簡化步驟和易于學(xué)生理解的優(yōu)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：全微分形式不變性；多元復(fù)合函數(shù)；隱函數(shù)；偏導(dǎo)

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.200

1 全微分形式不變性在多元復(fù)合函數(shù)微分法中的舉例分析

多元復(fù)合函數(shù)微分法是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。用傳統(tǒng)方法求解需要分清自變量和因變量，而全微分形式不變性的好處在于能夠避開函數(shù)變量錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，從而使問題簡化，提高正確率。

定理1：設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則無論是自變量還是中間變量，其微分形式不變，即。

定理2：（多元函數(shù)全微分運(yùn)算法則）。

例1：設(shè)可微，求。

解法1：利用鏈?zhǔn)椒▌t求解。

，

。

解法2：利用全微分形式不變性求解。

將（3）代入（2）中，得：

將（4）代入（1）中并整理，得：

，

從而，，。

例2：設(shè)，而由方程所確定，其中都有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，求。

解法1：由方程確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。

設(shè)，

則，，，

，。

所以，，.

解法2：利用全微分形式不變性。

將（3）代入（1）中并整理，得：

，

所以，，。

例3 求由方程組 所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

解法1：將方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得：

解得，，。

同理可得，。

解法2：利用全微分形式不變性。

，

解得，，

，

一次求出四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，

， 。

，。

2 結(jié)論

通過前面三個(gè)例題中兩種解法對(duì)比，我們不難發(fā)現(xiàn)，用全微分形式不變性來求解，思路清晰，解題步驟簡潔，也更有利于學(xué)生的理解，避免因?yàn)楹瘮?shù)變量之間的復(fù)雜關(guān)系而導(dǎo)致的錯(cuò)誤。

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[2]大連理工大學(xué)城市學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部.應(yīng)用微積分同步輔導(dǎo)[M].大連理工大學(xué)出版社，2013.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].高等教育出版社，1998.

作者簡介：張宇紅（1979-），女，遼寧錦州人，碩士研究生，教授，研究方向：數(shù)學(xué)。