張紫祥，劉愛榮，鐘子林

(廣州大學-淡江大學 工程結(jié)構(gòu)災害與控制聯(lián)合研究中心， 廣東 廣州 510006)

在現(xiàn)代土木工程領(lǐng)域，纖維增強材料以其高強、質(zhì)輕、抗腐蝕等優(yōu)良性能，日益成為結(jié)構(gòu)選材的新寵[1].隨著纖維增強材料工藝大幅改良，近年來國際上相繼建成了十余座全纖維增強復合材料(FRP)拱橋(見圖1).其中，以西班牙Lleida 跨線人行天橋[2]，荷蘭Ooypoort跨河人行單拱橋[3]及ApATeCh俄羅斯公園橋[4]最為著名.建筑結(jié)構(gòu)領(lǐng)域，德國斯圖加特大學ICD/ICKE研究展廳的弧形外殼，美國喬布斯劇院圓形碳纖維屋頂，zara香奈兒展館玻纖外壁等均利用了FRP材料低成本化、可設計的優(yōu)良特性，極大的滿足了建筑形態(tài)多樣化的剛性需求[5-8].然而，F(xiàn)RP雖然能有效減輕結(jié)構(gòu)自重，增加跨越能力，但也加劇了結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的風險.與蓬勃發(fā)展的FRP拱形結(jié)構(gòu)的工程應用相比，目前關(guān)于FRP拱結(jié)構(gòu)靜力穩(wěn)定性設計理論的研究仍停留在初步階段，失穩(wěn)機理尚不明確，設計缺乏依據(jù)，無法完全指導工程實際設計.

由于FRP材料性能的特殊性，F(xiàn)RP拱的解析解公式推導過程復雜，基本上均借助于數(shù)值模擬.Luu 等[9]基于NURBS插值等幾何法，開展了考慮剪切變形影響下層合曲梁的彈性失穩(wěn)數(shù)值研究.Fraternali[10]基于有限元理論，研究了雙模量層合拱的非線性面內(nèi)、外彈性失穩(wěn)問題，分析了拉壓模量比對拱后屈曲響應的影響.Sonawane[11]通過試探函數(shù)法，開展了集中荷載作用下雙層復材圓弧淺拱的非線性屈曲數(shù)值研究，給出了失穩(wěn)臨界荷載的近似解析式，但是理論結(jié)果與有限元結(jié)果存在較大差距.Kim and Chaudhuri[12]開展了對稱鋪層條件下圓弧薄拱的后屈曲理論研究，由于未考慮壓彎耦合矩陣，其研究結(jié)果適用性大大受限.

本文開展了集中荷載作用下固接FRP圓弧拱的面內(nèi)彈性穩(wěn)定理論研究，在此基礎(chǔ)上提出了新的修正長細比公式以表征層合拱的失穩(wěn)模式，通過有限元模擬結(jié)果驗證了理論結(jié)果的正確性.

圖1 FRP拱結(jié)構(gòu)的工程應用Fig.1 Engineeringapplication of FRP arch structure

1 新解析推導

為便于公式推導，本文引入如下假設：

(1)各鋪層之間粘接牢固，形變過程中各層不發(fā)生相對滑動.(2)各層近似處于平面應力狀態(tài).(3)變形前后直法線不變.(4)由于截面寬度b?弧長S，忽略側(cè)向泊松效應.(5)材料在形變過程中保持彈性.(6)滿足平截面假定.

拱頂集中荷載作用下的FRP拱的力學模型如圖2所示.本文擬采用FRP片材疊合截面，截面高度為H，寬度為B.圓弧拱的開口角為2φ，ν和ω分別表示中面處的徑向位移和軸向位移，R是圓弧拱的初始半徑，r是橫截面上任意一點P(r, φ)的坐標值.

綜合考慮拱失穩(wěn)前非線性影響，構(gòu)建FRP圓弧拱在極坐標系下膜應變εm及彎曲應變εb組成的軸向應變表達式[12-21]：

圖2 纖維復合材料拱的力學簡圖(注意邊界)Fig.2 FRP fixed circular arch subjected to acentral concentrated load

(1)

考慮拱失穩(wěn)前非線性影響計入徑向變形一階導數(shù)的平方項,有

(2)

(3)

其中,E11為彈性主方向縱向彈性模量，E22為彈性主方向橫向彈性模量，G12為面內(nèi)剪切模量，ν12為縱橫泊松比，θ為纖維布置方向.

由于最小勢能原理力學概念清晰，解法便利，較易獲得收斂的解析解，因此常被用于解決結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題.基于以上優(yōu)勢，本文構(gòu)建了拱的變形能和外力勢能，建立了整體結(jié)構(gòu)的勢能泛函.

(4)

上式中，F(xiàn)RP拱的軸力和彎矩可以表示為

(5)

(6)

圓弧拱的固接邊界條件可表示為

(7)

聯(lián)立式(5)和式(6)，求解彎矩的二階導數(shù)：

(8)

將式(8)代入式(4)并進行分部積分，引入邊界條件，得出集中荷載作用下FRP圓拱的徑向位移：

(9)

其中，Q是外部集中荷載，H為Heaviside階躍函數(shù).μ和β為軸力參數(shù)，定義如下：

(10)

A1P2+B1P+C1=0

(11)

其中，

(12)

參數(shù)A1，B1，C1分別為

(13)

(14)

(15)

拱的修正長細比及等效回轉(zhuǎn)半徑定義為

(16)

(17)

平衡路徑線上的極值點可由式(11)對β求微分得出，即

A2P2+B2P+C2=0

(18)

其中，

(19)

2 數(shù)值驗證

為了驗證解析公式的正確性，本文采用ANSYS軟件中Shell 181單元建立圖3所示的有限元模型.表1給出了有限元模型采用的材料特性.通過設置Tsai-Wu失效準則，較為精確地模擬了FRP圓弧拱模型的非線性彈性失穩(wěn)，跟蹤了拱的失穩(wěn)平衡路徑曲線.

圖3 FRP圓弧拱有限元模型Fig.3 FE Model of FRP arches

材料特性E1/GPaE2/GPaG12/GPaν121308.74.30.320

圖4(a)和圖4(b)分別描繪了拱頂及1/4弧長處的無量綱荷載與位移關(guān)系曲線.圖4(a)所示，固接FRP圓弧拱的非線性平衡路徑曲線可以分成oa, ab和bc三個分支.加載初期，無量綱拱頂位移v/f沿路徑線oa隨無量綱荷載Q/2Ncφ的增大而增大，抵達上極值點a后圓弧拱失穩(wěn)，拱軸內(nèi)部產(chǎn)生力差，無量綱位移v/f沿路徑線ab隨無量綱荷載Q/2Ncφ減小繼續(xù)增長；當荷載減小至下極值點b時，圓弧拱重新具備承載能力，無量綱荷載Q/2Ncφ隨著無量綱拱頂徑向位移v/f的增大，沿平衡路徑線bc再次增大.圖4(a)及4(b)表明，理論推導結(jié)果與有限元模擬結(jié)果基本吻合，推導得出的失穩(wěn)臨界荷載的解析式可以較為準確地描述FRP圓弧拱的失穩(wěn)形式.

圖4 有限元與理論對比圖Fig.4 Comparison of FE and theoretical result

為了研究鋪層角度對失穩(wěn)臨界荷載的影響，本文設計了鋪層工況.以四層等厚鋪層為例(見圖5a)，任意選擇某層布置90度鋪層，其余各層布置0度鋪層并繪出無量綱軸力-荷載曲線.由圖可知，固定邊界條件下，鋪層[0,90,0,0]與[0,0,90,0]承載能力相當，鋪層[90,0,0,0]與[0,0,0,90]的承載能力亦相等.然而，比較鋪層[0,90,0,0]及[0,0,0,90]可以發(fā)現(xiàn)， 90度鋪層位置顯著影響拱的失穩(wěn)臨界荷載.

圖5 鋪層角度、鋪層厚度及矢跨比對失穩(wěn)臨界荷載的影響Fig.5 The effects of ply-orientation, ply-thickness, and rise-span ratios on the buckling load of FRP arch

為了進一步研究鋪層角度分布情況對失穩(wěn)臨界荷載的影響，本文設計了第二類鋪層工況，即設定四層等厚鋪層，其中兩層為90度鋪層，其余兩層為0度鋪層，該鋪層條件涵蓋了正對稱鋪層、反對稱鋪層及不對稱鋪層三類典型鋪層方式.圖5(b)為各鋪層情況下無量綱荷載-位移的關(guān)系曲線.可以發(fā)現(xiàn)，對稱鋪層[0,90,90,0]的屈曲臨界荷載最高，鋪層[90,0,0,90]的臨界荷載最低；反對稱鋪層[0,90,0,90]及不對稱鋪層[0,0,90,90]的失穩(wěn)臨界荷載適中，二者差異并不顯著.FRP拱能夠通過改變鋪層的布置方式，實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)承載能力的主動控制，從而滿足不同的工程需求.例如，在機械工程領(lǐng)域， FRP拱的跳躍屈曲常被用于制造變阻尼裝置、微型閥門及精密傳感器等機敏結(jié)構(gòu).

本文還開展了矢跨比及鋪層厚度對失穩(wěn)臨界荷載的影響研究.圖5(c)顯示，F(xiàn)RP拱的失穩(wěn)臨界荷載隨矢跨比的增大而增大，且隨著矢跨比的增大，增長速率逐漸下降.有限元結(jié)果表明，對于矢跨比小于1/4 的FRP拱，本文提出的解析式可以較為準確的預測FRP拱的失穩(wěn)臨界荷載.由圖5(d)可知，F(xiàn)RP拱的失穩(wěn)臨界荷載隨著鋪層厚度的增加而增加，其增長速率亦逐漸增大.表2分析了鋪層數(shù)目對單種角度鋪層拱的失穩(wěn)臨界荷載的影響.在鋪層總厚度不變條件下，增加鋪層數(shù)量不會引起單種角度拱的失穩(wěn)臨界荷載量值的變化.

表2 鋪層數(shù)量對失穩(wěn)臨界荷載的影響

3 結(jié)語

本文開展了集中荷載作用下固接FRP圓拱的面內(nèi)彈性穩(wěn)定的理論研究，并通過有限元模型驗證了理論結(jié)果的正確性.研究結(jié)果表明，90度鋪層位置顯著影響拱的失穩(wěn)臨界荷載，對稱鋪層 [0,90,90,0]與[90,0,0,90]鋪層條件下的失穩(wěn)臨界荷載差異十分明顯.此外，本文還研究了鋪層厚度(3～9層)及矢跨比(1/10～1/3范圍內(nèi))對失穩(wěn)臨界荷載的影響.研究發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)RP拱的失穩(wěn)臨界荷載隨著鋪層厚度的增加而增加，且其增長速率亦逐漸增大；對于單種角度布置的截面，在保證鋪層總厚度不變條件下，僅增加鋪層數(shù)量并不會引起失穩(wěn)臨界荷載量值的變化.FRP拱失穩(wěn)臨界荷載隨矢跨比的增大而增大，其隨著矢跨比的增加，增長速率逐漸下降.