空間兩直線相關(guān)位置的探究

鄭 惠

(阿壩師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，四川 汶川 623000)

0 引 言

判定空間兩直線相關(guān)位置是解析幾何中一項(xiàng)重要內(nèi)容.由于兩直線方程的表現(xiàn)形式可以有多種情形：兩條直線方程均為標(biāo)準(zhǔn)方程；一條直線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程、另一條直線方程為一般方程；兩條直線方程都為一般方程；甚至還可以是參數(shù)方程等.文獻(xiàn)[1-3]在空間兩直線方程均為標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上詳細(xì)介紹了空間兩直線異面、相交、平行、重合的充要條件,但一般方程的情形并沒(méi)有討論.文獻(xiàn)[1-3] 作為教材依舊為讀者繼續(xù)探討兩直線間的相關(guān)位置留下了較大的思索空間. 文獻(xiàn)[4-11]分別用不同的方法對(duì)不同的情況進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[9]就“一條直線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程、另一條直線方程為一般方程”的情形進(jìn)行了研究，但是給出了一個(gè)錯(cuò)誤的異面直線的距離公式以及兩共面直線相交、平行的充分不必要條件為充要條件.本文將再次討論此情形下兩直線的位置關(guān)系，給出兩直線異面、相交、平行、重合的充要條件以及異面直線間的距離公式.

1 定理及證明

定理1設(shè)空間兩直線的方程分別為：

1)異面：Δ=N(A1X+B1Y+C1Z)-M(A2X+B2Y+C2Z)≠0

2)相交：Δ=0，且(A1X+B1Y+C1Z)2+(A2X+B2Y+C2Z)2≠0

3)平行：A1X+B1Y+C1Z=A2X+B2Y+C2Z=0，且M2+N2≠0

4)重合：A1X+B1Y+C1Z=A2X+B2Y+C2Z=0，且M2+N2=0，其中M=A1x0+B1y0+C1z0+D1,N=A2x0+B2y0+C2z0+D2.

=[(A1x1+B1y1+C1z1)-(A1x0+B1y0+C1z0)](A2X+B2Y+C2Z)

-[(A2x1+B2y1+C2z1)-(A2x0+B2y0+C2z0)](A1X+B1Y+C1Z)

=N(A1X+B1Y+C1Z)-M(A2X+B2Y+C2Z).

故直線l1與l2異面的充要條件為：

Δ=N(A1X+B1Y+C1Z)-M(A2X+B2Y+C2Z)≠0；

共面的充要條件為：Δ=0.

又當(dāng)兩直線共面時(shí)，有以下三種情況：

Δ=0，且(A1X+B1Y+C1Z)2+(A2X+B2Y+C2Z)2≠0.

A1X+B1Y+C1Z=A2X+B2Y+C2Z=0,且M2+N2≠0.

A1X+B1Y+C1Z=A2X+B2Y+C2Z=0,且M2+N2=0.