局域共振型周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶隙形成機(jī)理

李鎖斌,竇益華,陳天寧,李冰,蘇健軍,張帆,崔瀟驍

(1.西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,710065,西安;2.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,710049,西安;3.西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,710072,西安;4.西安近代化學(xué)研究所,710065,西安;5.北京特種工程設(shè)計(jì)研究院,100028,北京)

近年來(lái),關(guān)于彈性波或振動(dòng)在周期結(jié)構(gòu)中的傳播研究已成為固體物理學(xué)、材料科學(xué)及工程技術(shù)科學(xué)領(lǐng)域里一個(gè)熱點(diǎn)[1]。由于周期結(jié)構(gòu)對(duì)彈性波或振動(dòng)傳播過(guò)程具有獨(dú)特的調(diào)控作用——彈性波或振動(dòng)帶隙特性[2],即當(dāng)彈性波或振動(dòng)通過(guò)時(shí),帶隙內(nèi)的波或振動(dòng)會(huì)被抑制,因此研究這一特性的物理本質(zhì)將為凝聚態(tài)物理學(xué)中復(fù)雜物理現(xiàn)象(負(fù)質(zhì)量/折射、聲子聚焦等)的研究提拱理論支撐,為新型多功能材料(隱身/波導(dǎo)材料等)的設(shè)計(jì)提供新的方法,為工程技術(shù)科學(xué)中新型功能結(jié)構(gòu)(結(jié)構(gòu)隔振/減振等)的研制提供新思路[3-4]。

依據(jù)彈性波或振動(dòng)帶隙形成機(jī)理,周期結(jié)構(gòu)可分為布拉格散射型[5]和局域共振型[6]兩種,布拉格散射型周期結(jié)構(gòu)因其帶隙主要由散射體對(duì)波的各種周期性調(diào)制產(chǎn)生,使得帶隙波長(zhǎng)和結(jié)構(gòu)尺寸處于同一數(shù)量級(jí),很難實(shí)現(xiàn)小尺寸控制大波長(zhǎng)。局域共振型周期結(jié)構(gòu)的帶隙主要由振子的共振引起,帶隙波長(zhǎng)較小,可以實(shí)現(xiàn)小尺寸控制大波長(zhǎng),有望實(shí)現(xiàn)低頻應(yīng)用,如工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制。

迄今,人們對(duì)于局域共振型周期結(jié)構(gòu)的帶隙形成機(jī)理的本質(zhì)認(rèn)識(shí)還不夠透徹,解釋依然較為籠統(tǒng),雖然學(xué)界對(duì)局域共振帶隙的形成機(jī)理已達(dá)成共識(shí)[7-20],即振子的局域共振模態(tài)與基體模態(tài)發(fā)生相互耦合致使帶隙形成,但對(duì)振動(dòng)帶隙產(chǎn)生的詳細(xì)過(guò)程還缺乏全面深入的認(rèn)識(shí),使得目前只能解釋帶隙是如何打開(kāi)的,卻不能進(jìn)一步揭示帶隙(或帶寬)是如何形成的,即只是簡(jiǎn)單認(rèn)為帶隙的寬度取決于振子模態(tài)與基體模態(tài)的耦合強(qiáng)弱,但對(duì)于二者的耦合機(jī)制及其遵循的基本準(zhǔn)則沒(méi)有詳細(xì)論證,尚未有關(guān)于帶隙形成機(jī)理的明確的統(tǒng)一表征模式,因此對(duì)局域共振型周期結(jié)構(gòu)的帶隙特性還無(wú)法實(shí)現(xiàn)主動(dòng)設(shè)計(jì)。

針對(duì)上述問(wèn)題,本文以局域共振型周期結(jié)構(gòu)為對(duì)象,研究帶隙詳細(xì)形成過(guò)程機(jī)制,闡明帶隙形成機(jī)理。本文的研究思路為:提出帶隙形成的基礎(chǔ)理論假說(shuō),據(jù)此建立帶隙形成理論模型,依此闡明帶隙形成過(guò)程機(jī)制,并以典型二維周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶隙形成過(guò)程為例對(duì)所提出的理論及其模型進(jìn)行驗(yàn)證,最終提出并闡明局域共振型周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶隙形成機(jī)理。

1 振動(dòng)帶隙形成的基礎(chǔ)理論假設(shè)

基于動(dòng)力學(xué)理論,給出局域共振型周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶隙形成的基礎(chǔ)理論假設(shè),為提出帶隙機(jī)理奠定理論基礎(chǔ)。對(duì)一個(gè)n自由度系統(tǒng),當(dāng)施加激勵(lì)feiωxt時(shí),其物理坐標(biāo)下的動(dòng)力學(xué)耦合方程為

(1)

式中M、K分別為質(zhì)量和剛度矩陣,表示為

(2)

通過(guò)化簡(jiǎn)得到系統(tǒng)固有特性的表征式

|K-ω2M|=0

(3)

式中:ω=[ω1,ω2,…,ωn]為n階固有頻率。n階振型A表示為

(4)

依據(jù)模態(tài)分析原理,將式(4)代入式(2),對(duì)質(zhì)量和剛度矩陣進(jìn)行正則化,得到正則質(zhì)量和正則剛度矩陣MP和KP如下

(5)

(6)

于是系統(tǒng)在模態(tài)坐標(biāo)下的解耦動(dòng)力學(xué)方程為

(7)

式中:xp為系統(tǒng)在模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)i的響應(yīng)xpi表示為

(8)

進(jìn)而,得到系統(tǒng)在物理坐標(biāo)中的響應(yīng)為

x=Apxp

(9)

因此,質(zhì)點(diǎn)i在物理坐標(biāo)下的響應(yīng)為

(10)

(11)

2 振動(dòng)帶隙形成機(jī)理模型

基于提出的基礎(chǔ)理論假設(shè),建立振動(dòng)帶隙形成的理論模型,原理如圖1所示。

圖1 局域共振型周期結(jié)構(gòu)帶隙形成的理論模型

將基體等效為具有廣義質(zhì)量m1、廣義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1和廣義剛度k1的等效系統(tǒng)1。其中,廣義集中質(zhì)量沿空間x、y、z這3個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)模式x1、y1、z1分別對(duì)應(yīng)著3種廣義平移振動(dòng)模式,廣義集中慣量沿3個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)模式α1、β1、γ1分別對(duì)應(yīng)著3種廣義轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)模式,系統(tǒng)1有6種廣義振動(dòng)模式。將振子等效為具有廣義質(zhì)量m2、廣義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2和廣義剛度k2的等效系統(tǒng)2。其中,廣義集中質(zhì)量沿x、y、z3個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)模式x2、y2、z2分別對(duì)應(yīng)著3種廣義平移振動(dòng)模式,廣義集中慣量沿3個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)模式α2、β2、γ2分別對(duì)應(yīng)著3種廣義轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)模式,系統(tǒng)2有6種廣義振動(dòng)模式。于是,局域共振型周期結(jié)構(gòu)中可傳播6種廣義波模式?；趲缎纬傻幕A(chǔ)理論假設(shè)和模型,得到局域共振型周期結(jié)構(gòu)的廣義振動(dòng)模式也即基體的傳播模式的表征式

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

3 振動(dòng)帶隙形成過(guò)程機(jī)理

依據(jù)上述模型,提出局域共振型周期結(jié)構(gòu)中振動(dòng)帶隙詳細(xì)形成過(guò)程機(jī)制如下。

圖2 局域共振型周期結(jié)構(gòu)子帶隙形成過(guò)程原理

(26)

式中k2和m2分別為振子在該階主模態(tài)的等效剛度和等效質(zhì)量。帶寬由振子對(duì)基體主模態(tài)的抑制力強(qiáng)弱決定,抑制力為

(27)

(28)

(3)基體中存在6種廣義振動(dòng)模式,各種模式由其對(duì)應(yīng)的12階廣義模態(tài)依據(jù)模態(tài)疊加原理形成的主模態(tài)主導(dǎo)形成;振子主模態(tài)主導(dǎo)的振子模式依據(jù)模態(tài)參與因子通過(guò)抑制或釋放基體傳播模式的方式?jīng)Q定著振動(dòng)帶隙的形成,即當(dāng)振子主模態(tài)抑制廣義振動(dòng)傳播模式時(shí),形成了只能抑制該傳播模式的子帶隙;6種傳播模式對(duì)應(yīng)6條廣義子帶隙,相互疊加形成完全振動(dòng)帶隙,帶隙內(nèi)6種廣義振動(dòng)或傳播模式均被抑制。

4 振動(dòng)帶隙形成機(jī)理驗(yàn)證

以典型局域共振型周期板結(jié)構(gòu)[12]為例,驗(yàn)證上述理論。

該結(jié)構(gòu)是通過(guò)在均勻板上周期布置一振子陣列而形成的二維局域共振型周期結(jié)構(gòu),原理如圖3所示。圖3a表示結(jié)構(gòu)形貌;圖3b表示周期單元,振子由軟橡膠柱A和鋼柱B構(gòu)成,二者高度分別為hA和hB,直徑均為d,基板厚為e,單元邊長(zhǎng)為a;圖3c表示第一布里淵區(qū)。

(a)結(jié)構(gòu)形貌 (b)周期單元 (c)第一布里淵區(qū)圖3 典型局域共振型周期板結(jié)構(gòu)

采用有限元方法,通過(guò)Comsol Metaphysics 3.5a軟件計(jì)算能帶。計(jì)算中結(jié)構(gòu)的幾何、材料參數(shù)與文獻(xiàn)[20]相同,最終得到結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出,在給定頻率范圍內(nèi)存在一條完全帶隙(圖4a中頻率為300～450 Hz區(qū)域),兩條子帶隙2-x、2-y模式彈性波帶隙(圖4b中頻率分別為100～200 Hz和300～450 Hz區(qū)域),一條子帶隙1-z模式彈性波帶隙(圖4c中頻率為300～850 Hz區(qū)域)。

(a)完全帶隙

(b)子帶隙2

(c)子帶隙1

4.1 子帶隙1-z模式帶隙形成機(jī)理驗(yàn)證

將子帶隙1局部放大,結(jié)果如圖5b所示。

(a)z模式能帶圖

(b)z模式能帶局部放大圖

提取能帶曲線上典型點(diǎn)對(duì)應(yīng)的單元振動(dòng)模式,如圖6所示。

圖6 單元的z模式振動(dòng)

子帶隙1-z模式帶隙形成的詳細(xì)過(guò)程如下。

(1)當(dāng)激勵(lì)頻率ω從0趨于120 Hz,即區(qū)間ω1,板波模態(tài)1被激發(fā)放大成為基板主模態(tài),主導(dǎo)基板響應(yīng),橫向波(面外波)按該模式傳播,不發(fā)生衰減(有限結(jié)構(gòu)中波傳播過(guò)程如圖7中過(guò)程(1)所示),無(wú)子帶隙1形成。

(2)當(dāng)激勵(lì)頻率ω=120 Hz,模態(tài)6被激發(fā)放大成為振子主模態(tài),但其振動(dòng)模式為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),與板波主模態(tài)不耦合,給基板沿垂直方向的作用力為零,未能抑制基板模式1,振動(dòng)按模式1繼續(xù)傳播,子帶隙1未形成或者帶寬為0。

(3)當(dāng)激勵(lì)頻率ω從120 Hz趨近140 Hz,即ω2區(qū)間,板波模態(tài)2被激發(fā)放大為基板主模態(tài),主導(dǎo)基板響應(yīng),橫波按該模式傳播,無(wú)子帶隙1形成。

(4)當(dāng)激勵(lì)頻率ω=140 Hz,模態(tài)6被激發(fā)放大成為振子主模態(tài),子帶隙1未形成或者帶寬為0。

(5)當(dāng)激勵(lì)頻率ω從140 Hz趨于320 Hz,即ω3區(qū)間,板波模態(tài)3被激發(fā)放大為基板主模態(tài),主導(dǎo)基板響應(yīng),橫波按該模式傳播,無(wú)子帶隙1。

圖7 有限周期結(jié)構(gòu)中z模式振動(dòng)的傳播過(guò)程

(6)當(dāng)激勵(lì)頻率ω=320 Hz,模態(tài)4被激發(fā)放大為振子主模態(tài),主導(dǎo)振子振子沿垂直于板的方向運(yùn)動(dòng),抑制了基板主模態(tài),板內(nèi)無(wú)z振動(dòng)模式,橫波無(wú)法傳播,第一條子帶隙1打開(kāi)(傳播過(guò)程如圖7中過(guò)程(2)所示)。開(kāi)帶位置為振子主模態(tài)4的固頻,據(jù)帶隙理論,振子在該階主模態(tài)的等效質(zhì)量為

m=πρBhB(d/2)2

(29)

式中:ρB為振子B的密度。對(duì)于振子A,沿z方向的正應(yīng)力與正應(yīng)變成正比,即

(30)

式中:Δz為振子A在z方向上的形變;EA為振子A的彈性模量;振子在該階主模態(tài)的等效剛度為

(31)

于是子帶隙1的起始位置頻率為

(32)

從而驗(yàn)證了通過(guò)設(shè)計(jì)振子主模態(tài)的等效剛度和等效質(zhì)量,可對(duì)帶隙起始位置進(jìn)行主動(dòng)設(shè)計(jì)。

(7)當(dāng)激勵(lì)頻率ω從320 Hz趨于850 Hz,即ω4區(qū)間內(nèi),模態(tài)4依然為振子主模態(tài),主導(dǎo)振子運(yùn)動(dòng)。隨著激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離模態(tài)4的固頻,其模態(tài)參與因子變小,振子對(duì)基體主模態(tài)的抑制變?nèi)?表現(xiàn)為遠(yuǎn)離開(kāi)帶位置處,橫向波的衰減變小,但此區(qū)域內(nèi),板的z模式依舊被抑制(傳播過(guò)程如圖7中過(guò)程(3)(4)所示),形成子帶隙1,帶寬為ω4。據(jù)帶隙理論,振子在該階主模態(tài)對(duì)基體主模態(tài)的抑制力為

(33)

(8)當(dāng)激勵(lì)頻率ω=850 Hz,模態(tài)4的參與因子變小,其對(duì)振子的主導(dǎo)變?nèi)?板波模態(tài)5被激發(fā)放大成為基板主模態(tài),主導(dǎo)基板響應(yīng),橫向波按此模式傳播(有限結(jié)構(gòu)中波的傳播過(guò)程如圖7中過(guò)程(5)所示),子帶隙1關(guān)閉。

(9)當(dāng)激勵(lì)頻率ω大于850 Hz,即ω5區(qū)間,板波模態(tài)5保持為基板主模態(tài),主導(dǎo)基板響應(yīng),橫向波按此模式傳播(傳播過(guò)程如圖7中過(guò)程(6)所示),子帶隙1消失。

4.2 子帶隙2-x、2-y模式帶隙形成機(jī)理驗(yàn)證

將子帶隙2局部放大,結(jié)果如圖8b所示。

(a)x、y模式能帶圖

(b)x、y模式能帶局部放大圖

提取子帶隙2能帶上典型點(diǎn)對(duì)應(yīng)的單元振動(dòng)模式,如圖9所示。

圖9 單元x、y模式振動(dòng)

子帶隙2-x、2-y模式帶隙形成詳細(xì)過(guò)程如下。

(1)當(dāng)激勵(lì)頻率ω從0趨于120 Hz,即ω1區(qū)間,板波x、y振動(dòng)模態(tài)1被激發(fā)放大成為基板主模態(tài),主導(dǎo)基板響應(yīng),縱波按該模式傳播,不發(fā)生衰減(傳播過(guò)程如圖10中過(guò)程(1)所示),無(wú)子帶隙2形成。

圖10 有限結(jié)構(gòu)中x、y模式振動(dòng)傳播過(guò)程

(2)當(dāng)激勵(lì)頻率ω從120 Hz趨于230 Hz,即ω2區(qū)間,模態(tài)2被激發(fā)放大為振子主模態(tài),主導(dǎo)振子運(yùn)動(dòng),抑制基板主模態(tài),縱波無(wú)法傳播(傳播過(guò)程如圖10中過(guò)程(2)和(3)所示,),子帶隙2形成。

(3)當(dāng)激勵(lì)頻率ω從230 Hz增大,即ω3區(qū)間,板波x、y振動(dòng)模態(tài)3被激發(fā)放大成為基板主模態(tài),主導(dǎo)基板響應(yīng),縱向波按此模式傳播,不發(fā)生衰減(傳播過(guò)程如圖10中過(guò)程(4)所示),無(wú)子帶隙2形成。

4.3 完全帶隙形成機(jī)理驗(yàn)證

依據(jù)上述分析可知:基體振動(dòng)模式由其各階模態(tài)依據(jù)模型疊加原理形成的主模態(tài)主導(dǎo)形成;振子主模態(tài)依據(jù)模態(tài)參與因子通過(guò)抑制基體主模態(tài)的方式?jīng)Q定著振動(dòng)帶隙的形成,即當(dāng)振子主模態(tài)抑制基體的主模態(tài)時(shí),形成了只能抑制該模式的子帶隙,子帶隙相互疊加,形成完全帶隙。驗(yàn)證模型中,完全帶隙(見(jiàn)圖4a)僅由子帶隙1和2疊加而成。因此,說(shuō)明本文提出的局域共振型周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶隙形成的基礎(chǔ)理論假說(shuō)和依此建立的帶隙形成理論模型,以及據(jù)此揭示的振動(dòng)帶隙形成機(jī)理,是合理的。據(jù)此,通過(guò)設(shè)計(jì)振子主模態(tài)等效剛度和等效質(zhì)量,可對(duì)帶隙打開(kāi)位置進(jìn)行主動(dòng)設(shè)計(jì),通過(guò)設(shè)計(jì)振子主模態(tài)等效剛度可對(duì)帶寬進(jìn)行主動(dòng)設(shè)計(jì)。

5 結(jié) 論

本文的主要工作和結(jié)論如下:

(1)基于動(dòng)力學(xué)原理,給出了局域共振型周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶隙形成的基礎(chǔ)理論,據(jù)此建立了帶隙形成的理論模型,依此模型闡明了帶隙形成機(jī)理并通過(guò)局域共振型周期板中帶隙形成時(shí)彈性波與結(jié)構(gòu)的相互作用機(jī)制驗(yàn)證了該理論;

(2)局域共振型周期結(jié)構(gòu)存在6種廣義振動(dòng)模式,各模式由廣義模態(tài)依據(jù)模態(tài)疊加原理形成的主模態(tài)主導(dǎo)形成,振子主模態(tài)依據(jù)模態(tài)參與因子通過(guò)抑制或釋放基體主模態(tài)的方式?jīng)Q定著振動(dòng)帶隙的形成;

(3)帶隙特性主要由振子主模態(tài)的等效剛度和等效質(zhì)量決定,通過(guò)設(shè)計(jì)振子主模態(tài)的等效剛度和等效質(zhì)量,可對(duì)帶隙的打開(kāi)位置頻率進(jìn)行主動(dòng)設(shè)計(jì),通過(guò)設(shè)計(jì)振子主模態(tài)的等效剛度,可初步對(duì)帶隙的寬度進(jìn)行主動(dòng)設(shè)計(jì)。

本文研究為工程結(jié)構(gòu)的減振技術(shù)提供了新方法的理論基礎(chǔ),并為周期結(jié)構(gòu)帶隙理論研究和帶隙特性主動(dòng)設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ),完善了周期結(jié)構(gòu)的基本理論。