郭真華,方莉,劉進(jìn)靜

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 非牛頓流體力學(xué)方程組研究概況

Navier-Stokes方程組是最經(jīng)典的流體力學(xué)方程組,是由法國(guó)工程師、物理學(xué)家C.L.Navier和愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家 G.G.Stokes的名字命名的,它建立了流體的粒子動(dòng)量改變率與作用在流體內(nèi)部的壓力、黏滯力 (內(nèi)摩擦力)以及引力之間的關(guān)系.這些黏滯力產(chǎn)生于分子之間的相互作用,能夠定量地描述流體的黏性.從而,Navier-Stokes方程組可以描述任意給定區(qū)域上作用于流體的力的動(dòng)態(tài)平衡.一般地,等熵可壓縮流體力學(xué)的Navier-Stokes方程組可以表述為:

其中??Rn,x∈?,b是流體所受的外力密度,

是流體的速度,ρ是流體的密度,P為依賴(lài)于特定物理模型的應(yīng)力特征方程,

是剪切速率張量,Js(D)為D=(Dij)的基本不變量以及|D|2=D:D(見(jiàn)文獻(xiàn)[1-2]).如果應(yīng)力特征方程P是關(guān)于D的線性函數(shù),即

(其中I是單位張量,p是壓力,β和γ是黏性系數(shù)),系統(tǒng)(1)是牛頓流體的模型;否則,系統(tǒng)(1)是非牛頓流體的模型.

比較常見(jiàn)的非牛頓流體有熔融塑料、聚合物溶液、染料、涂料懸浮液、潤(rùn)滑脂,紙漿以及血液等生物學(xué)流體.非牛頓流體力學(xué)方程組中最簡(jiǎn)單的應(yīng)力特征方程是

其中0

其中μ0,μ1為給定非負(fù)數(shù),依據(jù)μ0,μ1,p不同的取值,P表示不同模型的應(yīng)力特征方程,例如:

另外,從物理特征的角度出發(fā):當(dāng)12時(shí)模型(1)描述了流體的剪切稠化性特征.對(duì)于可壓縮非牛頓流體而言,也可以依據(jù)μ0,μ1,p的取值不同對(duì)其進(jìn)行如模型(2)所述的分類(lèi).此時(shí)的方程可以表述為:

可壓縮非牛頓方程組(3)具有很強(qiáng)的非線性性質(zhì),故一直以來(lái)對(duì)其的研究進(jìn)展緩慢.而對(duì)應(yīng)的可壓縮牛頓流體的Navier-Stokes方程組的研究已經(jīng)有了較為豐富的研究結(jié)果,對(duì)牛頓流的很多研究思想可以借鑒到非牛頓流的研究中,特別地,若考慮非牛頓流體中基本波的相互作用,按目前牛頓流體基本波的研究方法,可壓縮非牛頓流體方程組中的非線性項(xiàng)可能影響不大,但結(jié)果或許能解釋非牛頓流體運(yùn)動(dòng)的獨(dú)特規(guī)律.下面先來(lái)回顧一下可壓縮牛頓流方程組的相關(guān)研究.

可壓縮牛頓流方程組:

解適定性研究近十年來(lái)已經(jīng)取得了一系列非常重要的進(jìn)展,許多著名數(shù)學(xué)家在這方面做出了重要貢獻(xiàn).特別在黏性系數(shù)為正常數(shù)的Navier-Stokes方程組方面,當(dāng)初始密度遠(yuǎn)離真空時(shí),方程(4)光滑解的局部適定性理論已經(jīng)解決.借助經(jīng)典的能量方法,文獻(xiàn)[2]證明了有界區(qū)域上解的唯一性定理;1970年-1976年,Itaya運(yùn)用Tikhonov不動(dòng)點(diǎn)定理系統(tǒng)地建立了Cauchy問(wèn)題解的存在唯一性理論[5-7].1977年,Tani系統(tǒng)地研究了方程(4)的初邊值問(wèn)題[8].在一維空間拉格朗日坐標(biāo)下相應(yīng)系統(tǒng)的光滑解的大初值存在性理論,也取得了較為完善的研究結(jié)果,具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)[9-10].在三維空間中,當(dāng)初值是某個(gè)非真空平衡態(tài)的光滑小擾動(dòng)時(shí)文獻(xiàn)[11]得到了整體光滑解的存在性.當(dāng)初值可能不連續(xù)且初始密度和溫度都有嚴(yán)格正下界時(shí),在文獻(xiàn)[12-14]中得到了三維空間整體弱解的存在性.1998年,Xin給出了初值具有緊支撐的任意維Navier-Stokes方程組光滑解的爆破準(zhǔn)則[15].2004年-2006年,Cho等人通過(guò)引入初始層的適當(dāng)相容性條件,對(duì)初始密度沒(méi)有一致正下界做出了合理的補(bǔ)償,建立了一系列與初始密度下界無(wú)關(guān)的先驗(yàn)估計(jì)[16-17].在此基礎(chǔ)上,Cho等人建立了關(guān)于三維全空間上大初值含真空狀態(tài)的局部光滑解存在性理論的框架性工作.2012年,Duan等人把這個(gè)工作推廣到了二維情形[18].在初始能量充分小的假設(shè)下,文獻(xiàn)[19]把文獻(xiàn)[17]中三維全空間上的局部光滑解推廣到了整體解且允許初值有任意大的振蕩.與黏性系數(shù)為正常數(shù)的可壓縮牛頓流體力學(xué)方程組的研究所取得的進(jìn)展相比,黏性系數(shù)依賴(lài)于密度的可壓牛頓流體力學(xué)方程組相關(guān)的數(shù)學(xué)進(jìn)展還比較少,并且一些基本的數(shù)學(xué)問(wèn)題沒(méi)有得到解決.2003年-2004年,Bresh等人發(fā)現(xiàn)了著名的BD熵結(jié)構(gòu)[20-21],此熵結(jié)構(gòu)提供了一個(gè)對(duì)密度正則性的一致估計(jì),該估計(jì)在很大程度上彌補(bǔ)了由密度一致下界的缺失引起的困難,對(duì)相關(guān)模型中密度含真空的有限能量整體弱解的構(gòu)造起了相當(dāng)重要的作用,具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)[22-26].對(duì)Navier-Stokes方程組的研究還可參看文獻(xiàn)[27-30]等.

可壓縮Navier-Stokes方程組中對(duì)基本波的穩(wěn)定性研究也是一個(gè)令人關(guān)注的研究課題,目前的結(jié)果主要集中在一維情形.這里,基本波的穩(wěn)定性我們主要關(guān)注兩類(lèi)問(wèn)題,一類(lèi)是消失黏性極限問(wèn)題,另一類(lèi)是解的長(zhǎng)時(shí)間行為.對(duì)于一維可壓縮Navier-Stokes方程組的消失黏性極限問(wèn)題:

其中,θ是溫度,e是內(nèi)能,μ>0是黏性常數(shù),κ>0是熱傳導(dǎo)系數(shù),p是壓力,對(duì)于理想氣體,壓力取為

其消失黏性極限問(wèn)題的研究,涉及疏散波的可以參考文獻(xiàn)[37-38];涉及激波的可以參考文獻(xiàn)[39];接觸間斷參看文獻(xiàn)[40];復(fù)合波可參考文獻(xiàn)[41-42].

對(duì)波的長(zhǎng)時(shí)間行為的研究,當(dāng)黏性系數(shù)是常數(shù)時(shí),文獻(xiàn)[43-44]在初始擾動(dòng)充分小且初始擾動(dòng)積分為零的條件下證明了黏性激波的穩(wěn)定性.在等熵情形下,文獻(xiàn)[45]把這一結(jié)果推廣到初始擾動(dòng)積分可以不等于零的情形.文獻(xiàn)[46]考慮了帶有邊界效應(yīng)的黏性激波的漸近穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[47]研究了可壓縮非等熵Navier-Stokes方程組兩個(gè)黏性激波復(fù)合時(shí)的漸近穩(wěn)定性.當(dāng)黏性系數(shù)依賴(lài)于密度時(shí),文獻(xiàn)[48]在初始擾動(dòng)積分為零和的條件下得到了黏性激波的漸近穩(wěn)定性.

除了以上的基本波之外,還有一類(lèi)新的波的穩(wěn)定性也被廣泛地研究,即,邊界層的長(zhǎng)時(shí)間行為.文獻(xiàn)[49]在研究以下Navier-Stokes方程組初邊值問(wèn)題時(shí)提出了邊界層并對(duì)邊界層解的長(zhǎng)時(shí)間行為做了分類(lèi):

其中,v?>0,u?>0,v+,u+是常數(shù),邊界移動(dòng)速度是

問(wèn)題(8)也被稱(chēng)為內(nèi)流問(wèn)題.文獻(xiàn)[50]給出了邊界層漸近穩(wěn)定性的嚴(yán)格證明并考慮了邊界層和疏散波復(fù)合時(shí)解的長(zhǎng)時(shí)間行為.文獻(xiàn)[51]證明了黏性激波和邊界層復(fù)合時(shí)解的漸近穩(wěn)定性.對(duì)非等熵可壓縮Navier-Stokes方程組的內(nèi)流問(wèn)題:

其中,(v±,u±,θ±)為常數(shù),壓力p取為(7).文獻(xiàn)[52]證明了亞音速邊界層與3-疏散波的漸近穩(wěn)定性;文獻(xiàn)[53-54]證明了邊界層與接觸間斷、疏散波復(fù)合時(shí)解的漸近穩(wěn)定性.

回到本文要介紹的非牛頓流體力學(xué)方程的研究而言,可以借鑒牛頓流體力學(xué)方程的研究方法和思路.事實(shí)上,對(duì)于基本波在非牛頓流體中的運(yùn)動(dòng),如心臟對(duì)血液流體搏動(dòng)產(chǎn)生的波動(dòng)問(wèn)題,醫(yī)學(xué)人員早已在臨床上觀察到.從這件事上可以看出,研究非牛頓流體方程中基本波的穩(wěn)定性問(wèn)題是一個(gè)具有很好應(yīng)用背景的研究領(lǐng)域,近十年來(lái)非牛頓方程組的研究也取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展,非牛頓流體力學(xué)方程的研究成果也逐步成為近代流體力學(xué)方程數(shù)學(xué)理論研究的一個(gè)重要分支,由于其豐富的物理內(nèi)涵和多樣的數(shù)學(xué)形式,非牛頓流體力學(xué)方程組引起了物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的廣泛重視.

對(duì)不可壓縮非牛頓流體力學(xué)方程組的研究,文獻(xiàn)[55-56]分別給出了在不同參數(shù)下的Young測(cè)度值解的存在性.文獻(xiàn)[57]得到了當(dāng)p2時(shí)二維不可壓非牛頓流體力學(xué)方程組弱解的存在性.文獻(xiàn)[58]中證明了二維無(wú)界區(qū)域上不可壓非牛頓流體力學(xué)方程組解的存在性.特別地,郭柏靈院士等研究者在專(zhuān)著[59]中系統(tǒng)地研究了不可壓非牛頓流力學(xué)方程組解的性質(zhì)、整體吸引子、指數(shù)吸引子及慣性流形.

雖然專(zhuān)著[4,56,59]中詳細(xì)地闡述了不可壓非牛頓流體的數(shù)學(xué)理論,然而可壓縮非牛頓流體力學(xué)方程組的研究結(jié)果甚微(除了 Young測(cè)度解的存在性以外).例如,文獻(xiàn)[60]中證明了一類(lèi)等熵的可壓縮非牛頓偶極流體力學(xué)方程組解的存在性.文獻(xiàn)[1]證明了二維和三維可壓縮非牛頓流具有充分正則性解的全局存在性.陳明濤在文獻(xiàn)[61]中證明了一類(lèi)帶有非牛頓位勢(shì)的等熵Navier-Stokes方程組整體解的存在性.袁洪君教授及其合作者給出了一維可壓縮非牛頓流體力學(xué)方程組初邊值問(wèn)題強(qiáng)解的局部存在唯一性[62-63].文獻(xiàn)[64]中給出了一類(lèi)可壓縮非牛頓流體動(dòng)力學(xué)方程組初邊值問(wèn)題全局弱解存在性理論.文獻(xiàn)[65]中Guo等人研究了文獻(xiàn)[64]所給弱解的長(zhǎng)時(shí)間行為.此外,在非牛頓流體中也存在播的傳播現(xiàn)象,例如,在血液流中醫(yī)生可以通過(guò)聽(tīng)診器聽(tīng)到“pistol shot sounds”[66]的現(xiàn)象就是激波在血管中的傳播.文獻(xiàn)[67]研究了非等熵可壓縮非牛頓流疏散波的漸近穩(wěn)定性.

近年來(lái),我們團(tuán)隊(duì)對(duì)可壓縮非牛頓流體動(dòng)力學(xué)方程組解的適定性進(jìn)行了探索[68-76].本文將結(jié)合我們團(tuán)隊(duì)在可壓縮非牛頓流體力學(xué)方程組方面的研究結(jié)果,介紹可壓縮非牛頓流體力學(xué)方程組的最新研究進(jìn)展,從總的情況而言,一維問(wèn)題的研究進(jìn)展較大,高維問(wèn)題的復(fù)雜程度很大導(dǎo)致研究結(jié)果少,進(jìn)展甚微.

2 一維可壓縮 Eills流體力學(xué)方程組 (μ0>0,μ1>0)的研究

一維可壓縮Eills流體力學(xué)方程組解的適定性結(jié)論主要集中在多方氣體壓力下初邊值問(wèn)題強(qiáng)解理論方面,即,π≡π(ρ)=Aργ(A>0,γ>1為給定常數(shù)).文獻(xiàn) [77]研究了p>2情形下一維有界區(qū)間I上初始密度具有真空的一類(lèi)可壓縮非牛頓流體力學(xué)方程組

初邊值問(wèn)題強(qiáng)解的局部存在唯一性,通過(guò)對(duì)初值引入相容條件

建立了系統(tǒng)(10)-系統(tǒng)(11)初邊值問(wèn)題的局部強(qiáng)解理論.此外,在v是已知函數(shù)的前提下,文獻(xiàn)[78]研究了p>2情形下一維有界區(qū)間I上初始密度具有真空的一類(lèi)可壓縮非牛頓流體力學(xué)方程組

初邊值問(wèn)題強(qiáng)解的全局存在唯一性,通過(guò)對(duì)初值引入相容條件(11)建立了系統(tǒng)(12)初邊值問(wèn)題的全局強(qiáng)解理論.文獻(xiàn)[71]研究了在p>2情形下一維有界區(qū)間I上系統(tǒng)

當(dāng)初值滿足相容條件

時(shí)局部強(qiáng)解的存在性,并給出了以u(píng)x為變量的Beale-Kato-Majda類(lèi)型的爆破準(zhǔn)則

其中,T?是強(qiáng)解 (ρ,u)存在的最大時(shí)刻.

此外,對(duì)于一維可壓縮 Eills流體力學(xué)方程組的經(jīng)典解也有部分探索性結(jié)果.文獻(xiàn)[70]討論了在1

初邊值問(wèn)題的經(jīng)典解,證明了當(dāng)初值滿足相容條件

時(shí)系統(tǒng)(15)的經(jīng)典解是局部存在性的.

對(duì)于一維全空間或半空間上可壓縮Eills流體力學(xué)方程組解的適定性方面,作者也做了一些探索性研究.文獻(xiàn)[73]中考慮了在p>2情形下,當(dāng)ε>0為給定正常數(shù)時(shí)一維全空間上系統(tǒng)零耗散極限問(wèn)題,證明了系統(tǒng)(17)存在一列(依賴(lài)于黏性系數(shù)ε)的整體解,指出隨著黏性系數(shù)ε趨于零此整體解是漸近穩(wěn)定的.此外,文獻(xiàn)[76]中考慮了在p>2情形下半空間{x>0:x∈R}上系統(tǒng)

的外流問(wèn)題,采用文獻(xiàn)[79]中證明靜態(tài)解存在性的方法指出系統(tǒng)(18)靜態(tài)解的存在性,對(duì)系統(tǒng)(18)進(jìn)行相對(duì)于靜態(tài)解的小擾動(dòng),得到了擾動(dòng)解的一致估計(jì),證明了系統(tǒng)(18)相對(duì)于靜態(tài)解在小擾動(dòng)下是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

3 一維可壓縮 Ostwald-de Waele流體力學(xué)方程組(μ0=0,mu1>0)的研究

一維空間區(qū)間I上的可壓縮Ostwald-de Waele流體力學(xué)方程組可以表示如下:

其初始值為

系統(tǒng)(19)中μ0=0導(dǎo)致了方程組是具有奇異性的,從而帶來(lái)了估計(jì)速度低階項(xiàng)的困難.此外,初始密度具有真空時(shí),解的存在唯一性的研究是困難的.

目前,系統(tǒng)(19)-系統(tǒng)(20)初邊值問(wèn)題的強(qiáng)解(經(jīng)典解)的存在性結(jié)果并不多.文獻(xiàn) [62]考慮了1

建立了系統(tǒng)(19)-系統(tǒng)(20)局部強(qiáng)解的存在唯一性理論.在此強(qiáng)解局部存在性理論的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[69]研究了1

其中T?是局部強(qiáng)解(ρ,u)存在的最大時(shí)刻.對(duì)于系統(tǒng)(19)-系統(tǒng)(20)初邊值問(wèn)題的經(jīng)典解,文獻(xiàn)[74]考慮了1

時(shí)系統(tǒng)(19)-系統(tǒng)(20)初邊值問(wèn)題的經(jīng)典解,證明了系統(tǒng)(19)-系統(tǒng)(20)初邊值問(wèn)題經(jīng)典解的全局存在唯一性.此外,文獻(xiàn)[80]考慮了系統(tǒng)

對(duì)于研究系統(tǒng)(19)-系統(tǒng)(20)解的長(zhǎng)時(shí)間行為,作者有一些探索性研究結(jié)果.文獻(xiàn)[68]研究了一維空間中有界區(qū)間上外力密度f(wàn)為零時(shí)系統(tǒng)(19)-系統(tǒng)(20)在自由邊界條件下的解析解,采用分離變量的思想構(gòu)造了解析解,進(jìn)一步證明了對(duì)于任意p>1所構(gòu)造的解析解是全局存在的并給出了解析解的大時(shí)間衰減估計(jì).對(duì)于波的穩(wěn)定性研究,文獻(xiàn)[82]研究了半平面{x∈R|x>0}上系統(tǒng)

當(dāng)狀態(tài)方程π(ρ) 滿足ρπ′′(ρ)+2π′(ρ)>0(ρ>0) 以及p>2 時(shí)的內(nèi)流問(wèn)題,證明了邊界層解的存在性以及最大存在區(qū)間,還證明了當(dāng)邊界層強(qiáng)度和初始擾動(dòng)適當(dāng)小時(shí)系統(tǒng)(23)內(nèi)流問(wèn)題解的全局存在性以及邊界層的長(zhǎng)時(shí)間行為.

4 以后的研究方向

我們的團(tuán)隊(duì)今后將針對(duì)可壓縮非牛頓流體力學(xué)方程組波的穩(wěn)定性,高維非牛頓流體力學(xué)方程組解的適定性展開(kāi)研究.由于可壓縮非牛頓流體廣泛存在于石油、血液、生物熔劑等實(shí)際生活中,與石油開(kāi)發(fā)、血液動(dòng)力學(xué)息息相關(guān)的黏性系數(shù)依賴(lài)于密度和溫度的可壓縮非牛頓流體力學(xué)方程組在各種邊界條件下解的適定性也是值得探索的.

從近年來(lái)可壓縮非牛頓流體力學(xué)方程組研究工作可以看出,為了克服可壓縮非牛頓流體力學(xué)方程組中應(yīng)力特征方程強(qiáng)非線性項(xiàng)帶來(lái)的困難,一些新的觀察、想法和技巧需要被引入,才能推動(dòng)可壓縮非牛頓流體力學(xué)方程組數(shù)學(xué)理論的進(jìn)一步完善.