王奎華 童魏烽 肖偲 吳斌杰

摘? ?要：假設(shè)樁體為彈性，樁周土體通過平面應(yīng)變模型描述，利用Laplace變換和阻抗傳遞法求得樁頂動(dòng)力響應(yīng). 對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行參數(shù)分析，討論了樁土特性對(duì)楔形樁動(dòng)力響應(yīng)的影響，并且通過模型試驗(yàn)驗(yàn)證了理論的正確性. 結(jié)果表明：1）存在臨界樁徑比，使得楔形樁的樁底反射信號(hào)難以判讀，臨界樁徑比隨樁長增大而增大;2）楔角和樁長對(duì)楔形樁的動(dòng)力響應(yīng)有較大的影響，對(duì)于樁尖直徑為0的小直徑楔形樁，樁長對(duì)其動(dòng)力響應(yīng)影響不大;3）土體的剪切波速和縱向分層性對(duì)楔形樁的動(dòng)力響應(yīng)會(huì)產(chǎn)生較大影響;4）模型試驗(yàn)結(jié)果與理論解符合，反映規(guī)律一致.

關(guān)鍵字：平面應(yīng)變模型;楔形樁;樁徑比;時(shí)域分析;頻域分析;模型試驗(yàn)

中圖分類號(hào)：TU473.1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract： The pile was supposed to be elastic and the plane-strain model was adopted to simulate the surrounding soil. By the means of Laplace transform and impedance function transfer method， the dynamic response of tapered pile was obtained. Then， by parametric method， the influence of pile and soil characteristics on the dynamic response of tapered pile was discussed. Meanwhile， the correctness of the theory was verified by model test. The results show that： 1）There is a critical pile diameter ratio at which the reflected signal from pile bottom is difficult to find， and the ratio increases as the pile grows; 2） Cone angle and pile length have a great influence on the dynamic response of tapered pile. However， in the case of small-diameter pile with a zero-diameter end， pile length doesn't have an obvious influence;3） Shear wave velocity of soil and vertical distribution of soil have a great influence on the dynamic response of tapered pile; 4） Good agreement is shown between experimental and theoretical results.

Key words： plane-strain model;tapered pile;pile diameter ratio;time domain analysis;frequency domain analysis;model tests

楔形樁是20世紀(jì)末起源于前蘇聯(lián)的一種樁型，上大下小的特殊幾何特性能使樁土作用發(fā)揮得更為充分. 特殊地，當(dāng)樁底面積趨向于0時(shí)樁身呈錐形，此類樁型能較大地加快施工速度[1]. 近年來，國內(nèi)外學(xué)者通過現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)、理論分析、有限元分析等手段，對(duì)楔形樁的承載特性做了大量研究. Kodikara等[2]通過理論分析得出了打入式楔形樁的承載性能更佳的結(jié)論. 劉杰等[3]通過模型試驗(yàn)研究驗(yàn)證了楔形樁的承載優(yōu)越性. 另一方面，楔形樁的動(dòng)力性質(zhì)研究沒有足夠深入.

傳統(tǒng)管樁的動(dòng)力響應(yīng)方面，Novak等[4]導(dǎo)出了多層土體中樁基的波阻抗函數(shù)傳遞規(guī)律. Gough等[5]推導(dǎo)出了只考慮樁端土作用時(shí)基樁的自由振動(dòng)特性. Koten等[6]求得了無限長樁在錘擊條件下，考慮樁側(cè)土作用時(shí)的縱向振動(dòng)問題解. 以上研究都做了較大程度的簡(jiǎn)化，無法體現(xiàn)工程特性，近來出現(xiàn)了更多的求解方法和解釋理論. 郭平[7]首先對(duì)低應(yīng)變檢測(cè)的波動(dòng)原理進(jìn)行了闡述，王奎華等[8-10]采用阻抗傳遞法研究了單樁在不同工況下的振動(dòng)響應(yīng)，并在楔形樁的動(dòng)力問題上提出了改進(jìn)的樁土作用模型. 陳安國等[11]利用差分法解得基樁在考慮樁土相互作用時(shí)的縱向振動(dòng)響應(yīng)解. 吳文兵等[12-14]對(duì)常見完整楔形樁的動(dòng)力特性進(jìn)行了初步理論分析，并考慮了擠土效應(yīng)的影響. 張獻(xiàn)民等[15]研究了樁基缺陷與傳遞波能量之間的關(guān)系.

在此背景下，考慮到前人[10，12-14]的理論基礎(chǔ)已被證明正確，本文將采用積分變換法及阻抗函數(shù)傳遞方法，求得楔形樁在平面應(yīng)變土體模型中的縱向振動(dòng)響應(yīng)，并輔以模型試驗(yàn)，對(duì)楔形樁的動(dòng)力特性做進(jìn)一步相關(guān)分析.

1? ?理論模型

1.1? ?模型建立與假設(shè)

根據(jù)郭平[7]、王奎華等[8-10]和吳文兵等[12-14]的相關(guān)研究，可做以下合理假設(shè)：1）樁體為一維彈性桿件，外部激勵(lì)下，產(chǎn)生的變形為小變形，忽略樁體的徑向變形;2）為實(shí)現(xiàn)樁徑漸變，將樁身劃分成足夠多的樁段;3）當(dāng)楔形樁取極限形態(tài)時(shí)，取底部面積為小量（如0.001 m2）;4）單層土體為各向同性的黏彈性體，樁周土體為平面應(yīng)變模型;5）假設(shè)任意土層在無窮遠(yuǎn)處不受激勵(lì)影響，自由表面處土體的應(yīng)變?yōu)?;6）樁土完全接觸，接觸面上應(yīng)力連續(xù).樁土系統(tǒng)如圖1所示. 圖中，將樁體分為m段，最底部的樁段標(biāo)號(hào)為1，順序往上. 為方便后續(xù)對(duì)土層性質(zhì)的研究，同時(shí)將土體相應(yīng)劃分為同樣厚度的土層.假設(shè)總樁長為L，第i段樁的樁徑為r0i，高度為 Hi，且樁段頂部距離為hi. EP、ρP、AP分別表示樁體的彈性模量、密度、橫截面積. 對(duì)于土體，采用平面應(yīng)變模型計(jì)算樁土接觸面的作用，Gs、ρs分別表示土體的剪切模量和密度.ui（r，t）表示第i層土的豎向位移函數(shù)，wi（z，t）表示第i段樁的豎向位移函數(shù).Kb、Cb表示彈性和阻尼系數(shù)，根據(jù)Lysmer等的模擬公式：

1.3? ?方程求解

2.2? ?楔角對(duì)完整楔形樁動(dòng)力響應(yīng)的影響

當(dāng)樁底反射信號(hào)不可見時(shí)，樁體的工作特性難以把握，需要進(jìn)一步探討. 為了對(duì)比，以下討論中，分別對(duì)樁尖直徑不為0的楔形樁（下標(biāo)記為1）和樁尖直徑為0的楔形樁（下標(biāo)記為2）進(jìn)行分析.

對(duì)于樁尖直徑為0的楔形樁，控制縱向長度L = 10 m，楔角α = 1.5°、2.0°、2.5°、3.0°. 對(duì)于樁尖直徑不為0的楔形樁，考慮到樁徑會(huì)影響樁土作用，再固定樁身1/2高度處的樁徑rm = 0.3 m. 圖5顯示，無論楔形樁的楔角取值如何，樁底樁徑為0時(shí)均無樁底反射信號(hào)存在，而當(dāng)樁底樁徑不為0時(shí)，樁底反射信號(hào)峰隨楔角的增大而漸弱，另外在初始激振信號(hào)之后的曲線段中，反射信號(hào)隨楔角增大而逐漸抬升. 這是由于楔形樁樁身漸變，截面間不存在突變波阻抗，且當(dāng)樁底樁徑為0時(shí)，樁端與土作用弱，導(dǎo)致不存在樁底反射. 本文計(jì)算模型考慮了樁土之間的相互作用，在曲線上反映為產(chǎn)生與激振方向相反的下沉量. 而隨著楔角的增大，截面之間存在更大的波阻抗差，相對(duì)而言有更明顯的縮徑表現(xiàn)，即產(chǎn)生與初始激振同向的變化趨勢(shì). 因此反射信號(hào)曲線隨楔角增大而抬升.

圖6顯示，樁底樁徑為0時(shí)，隨著楔角增大，曲線震蕩幅值提高，并快速衰減為一條水平直線. 樁底樁徑不為0的情況下，當(dāng)楔角增大時(shí)，低頻區(qū)的曲線幅值升高，高頻區(qū)的幅值減小. 這是因?yàn)楫?dāng)楔形樁樁尖直徑為0時(shí)，楔角增大會(huì)引起樁身平均樁徑增大，導(dǎo)致樁土相互作用漸弱，加劇樁身振動(dòng)，在圖中即表現(xiàn)為曲線震蕩幅值隨楔角增大而增大. 另外，楔角的變化會(huì)不同程度地影響同階共振頻率的移動(dòng).

2.3? ?縱向樁長對(duì)完整楔形樁動(dòng)力響應(yīng)的影響

此節(jié)，固定楔角為α = 2°，縱向長度L = 8 m、10 m、12 m、15 m，對(duì)樁尖直徑不為0的楔形樁，固定樁身1/2高度處的樁徑rm = 0.3 m. 圖7表明樁底樁徑為0時(shí)，始終無法觀察到樁底反射. 樁底樁徑不為0時(shí)，隨樁長增加，樁底反射信號(hào)峰漸弱，當(dāng)樁長L = 15 m時(shí)，幾乎無法判讀. 這是由于樁長的增加使得激振波能量在傳遞過程中受到更多樁側(cè)土阻力的影響，損耗增加，導(dǎo)致信號(hào)峰降低.

圖8中，樁底樁徑為0時(shí)，各樁長的楔形樁表現(xiàn)一致，在低頻區(qū)有明顯的共振現(xiàn)象，高頻區(qū)快速趨向穩(wěn)定. 這是因?yàn)闅w一化處理后屏蔽了部分幾何信息，對(duì)于大直徑楔形樁，應(yīng)考慮三維效應(yīng)修改模型. 當(dāng)樁底樁徑不為0時(shí)，隨著樁身長度的增加，頻域響應(yīng)曲線的震蕩幅度減小. 這是由于在相同的激振方式下，樁土作用增強(qiáng)抑制了樁身振動(dòng). 同時(shí)，當(dāng)樁長增加時(shí)，在低頻區(qū)，同階共振頻率會(huì)發(fā)生明顯的右移，在高頻區(qū)，同階共振頻率逐漸恢復(fù)同步.

2.4? ?均質(zhì)土體剪切波速對(duì)完整楔形樁動(dòng)力響應(yīng)的影響基樁嵌入地基土中工作，土體性質(zhì)將會(huì)影響樁身的動(dòng)力響應(yīng). 在本節(jié)中，通過改變土體的剪切波速來分析其對(duì)樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響. 基樁尺寸設(shè)置為樁長L = 10 m，楔角α = 2°.首先考慮為均質(zhì)土，根據(jù)常見土質(zhì)的剪切波速，設(shè)置剪切波速Vs = 100 m/s、150 m/s、200 m/s、250 m/s、300 m/s. 由圖9可知，當(dāng)樁底樁徑為0時(shí)，沒有出現(xiàn)樁底反射信號(hào)，對(duì)于初始激振信號(hào)之后的曲線段，土體剪切波速越大，曲線下沉越多，最終趨向一致. 在樁底樁徑不為0的情況下，土體剪切波速越大，樁底反射信號(hào)峰越低，當(dāng)剪切波速達(dá)到300 m/s時(shí)，樁底反射已極其微弱. 這是因?yàn)?，樁土相互作用?huì)引起與初始激振波反向的信號(hào)，在相同的楔形樁條件下，剪切波速越大，樁土相互作用越強(qiáng)，造成曲線下沉越多，另一方面，樁土相互作用的增大使得激振波能量損耗增加，反映在時(shí)域響應(yīng)曲線上即為樁底反射峰的下降. 在圖10頻域響應(yīng)曲線中反映出，土體的剪切波速越大，頻域響應(yīng)曲線的震蕩幅度越小，而且在低頻區(qū)域同階共振峰的共振頻率越大.當(dāng)樁底樁徑為0時(shí)，頻域響應(yīng)曲線更快地趨向穩(wěn)定. 這是由于更大的樁土作用抑制了樁的縱向振動(dòng).

2.5? ?非均質(zhì)土體剪切波速對(duì)完整楔形樁動(dòng)力響應(yīng)的影響

實(shí)際樁土系統(tǒng)中，土體的剪切波速并非均質(zhì). 因此，本節(jié)進(jìn)一步考慮土體剪切波速縱向線性漸變情況下的樁體縱向振動(dòng)響應(yīng). 為實(shí)現(xiàn)土體性質(zhì)的線性漸變，將土體劃分為100層，與樁體分層數(shù)一致. 控制土體剪切波速的算術(shù)平均值為150 m/s，根據(jù)樁頂土層剪切波速Vu和樁底土層剪切波速Vd的不同，分為4種變化程度考慮：①Vu = 0 m/s，Vd = 300 m/s;② Vu = 50 m/s，Vd = 250 m/s;③Vu = 100 m/s，Vd = 200 m/s;④Vu = 150 m/s，Vd = 150 m/s. 其中Case4即為均質(zhì)土的情況.

由圖11時(shí)域響應(yīng)曲線可知，對(duì)樁底樁徑為0的楔形樁，隨著土層剪切波速的差別變大，時(shí)域響應(yīng)曲線的浮動(dòng)也越大，但無論何種土體條件下，樁底反射信號(hào)均不可見. 樁底樁徑不為0的情況下，在曲線浮動(dòng)的基礎(chǔ)上，樁底反射信號(hào)都較為明顯，但會(huì)隨著曲線發(fā)生豎向的平移，土層剪切波速的差別越大，下沉越多. 這是因?yàn)?，上部土體剪切波速越小，樁土作用越小，曲線上抬越多，相應(yīng)地，下部土體的剪切波速越大，曲線下沉越多. 另一方面，由于計(jì)算中取土體剪切波速的算術(shù)平均值相同，因此激振在傳遞過程中的能量損耗相差無幾，所以樁底反射峰都較為明顯. 圖12顯示，隨著土層剪切波速差別增大，低頻區(qū)曲線震蕩幅值增大，對(duì)樁底樁徑為0的楔形樁，在短暫的波動(dòng)后快速趨向穩(wěn)定，對(duì)樁底樁徑不為0的楔形樁，同階共振頻率會(huì)右移，且高頻區(qū)震蕩幅度減小，同階共振頻率基本一致.

2.6? ?樁身縱波速對(duì)完整楔形樁動(dòng)力響應(yīng)的影響

事實(shí)上，樁身材料對(duì)樁頂縱向振動(dòng)響應(yīng)也有較大的影響. 實(shí)際工程中，由于采用不同標(biāo)號(hào)的混凝土等材料，樁身彈性模量和縱波速會(huì)發(fā)生一定的變化. 考慮到常見混凝土彈性模量在30～40 GPa，縱波速控制在3 000～ 4 000 m/s的范圍內(nèi)進(jìn)行討論.

計(jì)算結(jié)果如圖13～圖14所示. 分析可知，縱波速越大，時(shí)域響應(yīng)曲線上的波峰越高，對(duì)頻域響應(yīng)而言，曲線的震蕩幅度會(huì)隨之變大，共振頻率幾乎不發(fā)生變化. 這是由于，當(dāng)樁身模量（縱波速）提高時(shí)，相同的外力作用下發(fā)生的變形會(huì)更小，相應(yīng)地，樁土作用力弱化，激振波在傳遞過程中的損耗也更少. 在時(shí)域響應(yīng)曲線上表現(xiàn)為波峰的增大，在頻域響應(yīng)曲線上表現(xiàn)為震蕩幅度變大.

3? ?模型試驗(yàn)

為更好地驗(yàn)證上述楔形樁的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律，利用尼龍棒進(jìn)行模型試驗(yàn)，如圖15所示. 尼龍棒的彈性模量為4 000 MPa，密度為1 200 kg/m3，縱波傳播波速約為1 800 m/s. 在模型設(shè)計(jì)中，制作樁頂直徑分別為8 cm、10 cm、12 cm的模型樁，其長度均為100 cm，底部半徑均為2 cm. 同時(shí)，每根模型樁都由多個(gè)樁段拼接，從而實(shí)現(xiàn)多種楔角多種長度的樁型模擬，具體試驗(yàn)參數(shù)見表2. 試驗(yàn)采用福建標(biāo)準(zhǔn)砂模擬樁周土，干重度14.6 kN/m3，相對(duì)密實(shí)度41%，土粒比重2.63，泊松比取0.35，剪切模量取38 MPa.

如圖16、圖17所示，實(shí)測(cè)曲線與理論解符合良好，且反映出相同的規(guī)律. 當(dāng)樁長相同時(shí)，楔角越大，樁底反射信號(hào)越弱. 且當(dāng)楔角α=2.86°時(shí)，P1-3的樁底反射信號(hào)已十分微弱，而P2-3的樁底反射仍然顯著，驗(yàn)證了樁身越長，臨界楔角越小，臨界樁徑比越大. 因此上述原理和方法能較好地預(yù)測(cè)楔形樁的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律，在工程實(shí)踐中具有指導(dǎo)意義.

4? ?結(jié)? ?論

通過以上理論計(jì)算、模型試驗(yàn)可以得出：

1）對(duì)楔形樁引入樁徑比η的概念，表示樁底部樁徑d與頂部樁徑D的比值，即η = d/D. 隨著楔形樁的楔角增大，存在一個(gè)臨界樁徑比η0，使得楔形樁時(shí)域響應(yīng)曲線中樁底反射信號(hào)無法顯著地顯示，導(dǎo)致對(duì)樁長、樁身完整性等信息判斷不準(zhǔn)確. 且本文研究表明，樁長越長，臨界樁徑比越大.

2）楔角對(duì)楔形樁的縱向振動(dòng)響應(yīng)有較大影響.楔角越大，時(shí)域響應(yīng)曲線的上抬量越大，樁底反射信號(hào)越弱，頻域響應(yīng)曲線震蕩幅值越小，同階共振頻率會(huì)發(fā)生不同程度的偏移，且對(duì)于樁尖直徑為0的楔形樁，頻域響應(yīng)曲線會(huì)在短暫震蕩后快速衰減為水平直線. 另一方面，樁長的增加使楔形樁的樁底反射信號(hào)漸弱，且會(huì)造成頻域響應(yīng)曲線的震蕩幅值減小，特殊地，對(duì)樁尖直徑為0的小直徑楔形樁，樁長變化對(duì)縱向振動(dòng)響應(yīng)幾乎不產(chǎn)生影響. 大直徑楔形樁需考慮三維效應(yīng)重新建模.

3）土體條件會(huì)對(duì)基樁的縱向振動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生較大的影響. 均質(zhì)土下，土體剪切波速越大，時(shí)域響應(yīng)曲線下沉越多，樁底反射信號(hào)越弱，頻域響應(yīng)曲線的震蕩幅度越小，且在低頻區(qū)同階共振頻率越大，對(duì)于樁尖直徑為0的楔形樁，頻域響應(yīng)曲線會(huì)更快地趨向穩(wěn)定. 非均質(zhì)土條件下，土層剪切波速的差別越大，時(shí)域響應(yīng)曲線的浮動(dòng)也越大，樁底發(fā)射信號(hào)會(huì)發(fā)生縱向的平移，而其信號(hào)峰幾乎不受影響. 另一方面，隨著土層剪切波速的差異增大，低頻區(qū)頻域響應(yīng)曲線的震蕩幅值會(huì)變大，高頻區(qū)幅值減小. 4）通過模型試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)理論解和實(shí)測(cè)結(jié)果表現(xiàn)一致，驗(yàn)證了上述理論和方法的正確性.

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收稿日期：2018-05-05

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51779217），National Natural Science Foundation of China（51779217）

作者簡(jiǎn)介：王奎華（1982—），男，江蘇濱海人，浙江大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師

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