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      走近等角螺線

      2019-06-28 13:28:12楊元韡
      新高考·高二數(shù)學(xué) 2019年1期
      關(guān)鍵詞:螺線極坐標(biāo)蜘蛛

      楊元韡

      謎曰:小小諸葛亮,穩(wěn)坐軍中帳.擺下八卦陣,只等飛來將.

      聰明的你肯定可以猜出講的是蜘蛛,后兩句講的是蜘蛛織網(wǎng)捕蟲的生動(dòng)情形.讓我們再來好好觀察一下蜘蛛的杰作:從外圈走向中心的那根螺旋線,越接近中心,每周間的距離越密,直到中斷.只有中心部分的輔助線一圈密似一圈,向中心繞去.小精靈所畫出的曲線,就是幾何學(xué)中的等角螺線.

      自然界還有很多蘊(yùn)藏著等角螺線的事物,最典型的是鸚鵡螺(如圖2),它的貝殼的幾何順序,竟是標(biāo)準(zhǔn)的等角螺線.令人驚奇的是,貝殼新增生出來的每一部位,都嚴(yán)格按照原先已有的等角螺旋結(jié)構(gòu)增生,從不會(huì)改變.同樣,如果你仔細(xì)觀察雛菊花蕊和向日葵籽的排列,你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們在花盤上也排列出左右兩組相互交織的等角螺線.

      等角螺線在自然界已經(jīng)神秘地存在了上萬年,但真正引起人們的研究興趣還是從1638年笛卡兒(R.Descartes,1596-1650)描述了等角螺線并給出了螺旋線的解析式開始的.此后的很多數(shù)學(xué)家對它進(jìn)行了深人的研究,研究成果最為豐碩的是數(shù)學(xué)家伯努利(J.Bernouli,1654-1705).他對等角螺線在作某些變換后的曲線仍然是不變的性質(zhì)非常驚嘆,以至于在遺囑中要求后人將等角螺線刻在自己的墓碑上,并賦以頌詞:“縱然變化,依舊故我.”數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的癡迷可見一斑.

      小伙伴們不禁要問,等角螺線究竟是怎樣的螺線呢?有什么特征呢?

      首先,我們給它下一個(gè)定義.若一條曲線在每個(gè)點(diǎn)P處的切向量PT都與某定點(diǎn)O到此點(diǎn)P所成的向量OP夾角為一定角a,且定角a不是直角,我們把這樣的曲線稱為一條等角螺線(如圖3),其中0稱為它的極點(diǎn).等角螺線的極坐標(biāo)方程為r=aeθcota,其中θ稱為輻角,r稱為向徑,a,a為常數(shù),且a>0(該方程推導(dǎo)過程較復(fù)雜,我們在進(jìn)人大學(xué)后有可能會(huì)學(xué)習(xí)到).由于此方程的推導(dǎo)過程中用到了自然對數(shù),所以等角螺線也被稱為對數(shù)螺線.

      有了等角螺線的極坐標(biāo)方程后,就可以很容易解釋開頭所提到的蜘蛛網(wǎng)所體現(xiàn)出的螺線的特征.等角螺線是一-條無盡的曲線,向內(nèi)側(cè)方向,它永遠(yuǎn)向著極點(diǎn)繞,越繞越靠近極點(diǎn),但又永遠(yuǎn)達(dá)不到極點(diǎn),向外側(cè)方向,它向外無限延伸.

      等角螺線還有著很有意思的數(shù)列性質(zhì).若輻角θ1,θ2,…,θn,…成等差數(shù)列,根據(jù)指數(shù)的性質(zhì),對應(yīng)的向徑r1,r2,…,rn,…成等比數(shù)列換句話說,若設(shè)Pn的極坐標(biāo)為(aeθncota,n,),則|OP1|,|OP2|,…,|OPn|,…成等比數(shù)列.如果又注意到

      ∠P1OP2,∠P2OP3,…,∠PnOPn+1,…這些角都相等,我們有△P1OP2,△P2OP3,…,△PnOPn+1,…都是相似的三角形,從而可以發(fā)現(xiàn)|P1P2|,|P2P3|,…,|PnPn+1|,…也成等比數(shù)列(如圖4).

      等角螺線還有一個(gè)有意思的幾何性質(zhì).對于一般的幾何圖形,若我們選定某個(gè)點(diǎn)為伸縮中心將圖形放大或者縮小,則可得到一個(gè)與原圖相似的圖形.在等角螺線中,若選極點(diǎn)為伸縮中心,則不論放大多少倍,或者縮小多少倍,所得的圖形是與原等角螺線全等!

      美妙的等角螺線除了上面兩個(gè)有趣的性質(zhì)之外,還有很多其他有趣的性質(zhì),小讀者們可以參考《數(shù)學(xué)文化素質(zhì)教育資源庫·數(shù)學(xué)之美》中有關(guān)資料來探究.正是由于它有很多特殊的性質(zhì),在很多方面都有著極其重要的應(yīng)用.例如,在工業(yè)生產(chǎn)中,把抽水機(jī)的渦輪葉片的曲面做成等角螺線的形狀,抽水就很均勻;在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中,把軋刀的刀口彎曲成等角螺線的形狀,它就會(huì)按特定的角度來切割草料,又快又好.

      自然界中除了等角螺線之外,還有很多有意思的螺線,比如阿基米德螺線、費(fèi)馬螺線等等,這些螺線也同樣有著迷人的地方值得你去欣賞、探究、發(fā)現(xiàn)!

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