沙漏流動過程中重力變化現(xiàn)象

荊世宏,李川南,胡安平,尋之朋

(中國礦業(yè)大學(xué) a.孫越崎學(xué)院;b.物理學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

沙漏作為時(shí)間的度量工具,在古時(shí)非常常用. 當(dāng)沙漏中的沙子流動時(shí),沙漏的重力會發(fā)生變化[1-3],如圖1所示.

圖1 沙漏中沙子流動現(xiàn)象

沙漏的重力發(fā)生變化,主要是內(nèi)部沙粒運(yùn)動使得施加在沙漏上的力發(fā)生變化所致[4-8]. 本文采用理論和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法,重點(diǎn)對沙漏中沙子流動導(dǎo)致沙漏重力變化的物理現(xiàn)象進(jìn)行詳細(xì)的研究.

1 理論分析

實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)沙漏重力變化如圖2所示,沙漏重力變化過程大致可分為6個(gè)階段,分別為初始階段、重力減小階段、重力回升階段、重力穩(wěn)定階段、重力上升階段和恢復(fù)原始重力階段.

1.1 初始階段

提取關(guān)鍵因素,建立如圖3所示的簡化模型. 在初始階段,內(nèi)部沙子處于靜止?fàn)顟B(tài),裝置對底面的壓力為定值,稱為初始靜壓力. 此時(shí),裝置(包括沙子和沙漏)的重力即初始靜壓力為

(1)

其中M為容器質(zhì)量,mi為沙漏中第i粒沙子的質(zhì)量,n為沙粒總數(shù)量,g為萬有引力常量.

圖2 沙漏重力變化實(shí)驗(yàn)曲線

對于沙子,寫出質(zhì)心方程

(2)

其中m為沙子總質(zhì)量,yc為質(zhì)心高度,yi為第i粒沙子高度.

實(shí)驗(yàn)中使用的沙粒很小,故可將(2)式推廣為積分形式

(3)

式中ρ為沙子密度,S(y)為y高度時(shí)沙子整體的截面面積.

1.2 重力減小階段

(4)

顯然,此時(shí)重力小于靜止時(shí)重力,表現(xiàn)為失重.

圖3 初始階段示意圖 圖4 重力減小階段示意圖

1.3 重力回升階段

如圖5所示. 此時(shí),下落的沙子對沙漏底面產(chǎn)生沖擊,由動量定理有

Δmv=FΔt,

(5)

即沖力的大小為

(6)

式中v為沙粒下落速度,Δm為剛好與沙漏底部接觸的沙子質(zhì)量,Δt為接觸時(shí)間.

底面的壓力為

(7)

1.4 重力穩(wěn)定階段

如圖6所示. 沙子穩(wěn)定流動[9-12],此時(shí)的質(zhì)心方程為

(8)

式中,λ為沙子的質(zhì)量流密度,Sa(y)為沙漏上方沙子在y高度處的截面積,Sn(y)為沙漏下方沙子在y高度處的截面積.

沙流穩(wěn)定流動時(shí),式(8)第二項(xiàng)僅與沙子種類和裝置結(jié)構(gòu)有關(guān),即

(9)

其中ξ(ρ)為取決于沙子種類的函數(shù),ζ(h,σ)為取決于沙漏高度和孔徑大小的函數(shù).

圖5 重力回升階段示意圖 圖6 重力穩(wěn)定階段示意圖

將式(8)對時(shí)間求導(dǎo),得

(10)

沙子穩(wěn)定流動時(shí),顯然可以得到恒等關(guān)系，即

(11)

η為沙漏上方沙子總質(zhì)量對時(shí)間的變化率. 因此式(10)可以寫為

(12)

再對時(shí)間求導(dǎo),得到質(zhì)心的受力方程

(13)

由于是穩(wěn)定流動,故式(13)第一項(xiàng)為零,將其代入式(11)得到

(14)

顯然式(14)表征了沙子穩(wěn)定流動時(shí)裝置對底面的壓力變化數(shù)值.

1.5 重力上升階段

如圖7所示. 在這一階段,沙漏上部分的沙子全部漏完,下部分的沙子總重力不斷增大,而滯留在空中的沙子還在持續(xù)下落，即沙子對底面的沖力持續(xù)存在，此時(shí)裝置的總重力為

(15)

顯然,此階段重力數(shù)值將逐漸增大. 而當(dāng)a→n即沙子幾乎全部落完時(shí), 重力大小應(yīng)當(dāng)大于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的壓力,差值為F.

1.6 恢復(fù)初始重力階段

如圖8所示. 此時(shí)沙子全部落下,對底面沖量歸零,沙子對裝置的壓力完全由重力提供,數(shù)值與靜止初態(tài)壓力相同,即

(16)

圖7 重力上升階段示意圖 圖8 恢復(fù)初始重力階段示意圖

值得注意的是，重力隨時(shí)間變化的過程存在2個(gè)明顯的峰：

第一個(gè)峰出現(xiàn)在重力回升階段與重力穩(wěn)定階段之間. 重力回升階段沙子開始沖擊底面，裝置總重力迅速回升，最初始時(shí)是沙子與沙漏底面的直接碰撞，兩者之間無緩沖；而后續(xù)的沙子落在底面時(shí)，先前已經(jīng)落下的沙子起到緩沖作用，因此后續(xù)的沙子沖擊底面時(shí)，底面受到的沖力要小于最初始直接碰撞時(shí)的沖力，從而產(chǎn)生第一個(gè)重力變化峰.

(17)

當(dāng)滯留在空中的沙子全部落到沙漏底面，此時(shí)沖力F消失，裝置總重力變?yōu)?16)式. 裝置狀態(tài)從重力上升階段過渡到恢復(fù)初始重力階段. 這個(gè)過程中，裝置總重力經(jīng)歷了從(15)式到(17)式再到(16)式，從而產(chǎn)生第二個(gè)重力變化峰.

通過上述理論分析,可以做出如下理論預(yù)測：

2) 空中滯留沙粒的質(zhì)量與沙漏孔徑和沙漏高度有關(guān).

3) 沙漏粒徑大小可決定重力穩(wěn)定階段沙粒流所產(chǎn)生沖擊力的穩(wěn)定程度.

2 實(shí)驗(yàn)研究

從沙漏孔徑、沙子粒徑、漏斗高度3方面對沙漏重力變化進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究. 所使用的測量裝置及沙漏裝置如圖9～10所示. 實(shí)驗(yàn)過程用到了M400數(shù)據(jù)采集軟件、高精度電子天平以及Arduino微控制器[13]. 實(shí)驗(yàn)過程中所采集到的數(shù)據(jù)為裝置質(zhì)量數(shù)據(jù),由于實(shí)驗(yàn)過程中環(huán)境條件未發(fā)生變化，因此裝置重力與質(zhì)量為相互對應(yīng)關(guān)系.

圖9 測量裝置

圖10 實(shí)驗(yàn)裝置

2.1 沙漏孔徑的影響

圖11所示為沙漏孔徑為2.43 cm,2.76 cm,3.43 cm時(shí),沙漏重力與時(shí)間的關(guān)系曲線. 設(shè)定初始時(shí)刻為零重力參考點(diǎn),從圖11中可知,3.43 cm孔徑的沙漏在重力減小階段達(dá)到極小值時(shí)，裝置對外呈現(xiàn)的質(zhì)量為-129 g，以g=9.8 N/kg,則裝置重力為-1.264 N,而孔徑為2.76 cm和2.43 cm時(shí)裝置重力分別為0.608 N和0.412 N. 因此,沙漏孔徑越大,沙漏在重力減小階段所能達(dá)到的極小值越小;同樣，在重力上升階段,3.43 cm，2.76 cm和2.43 cm沙漏孔徑在極大值處對外呈現(xiàn)的重力為0.823 N，0.294 N和0.225 N. 因此,沙漏在重力上升階段所能達(dá)到的重力極大值越大;由圖11可知,沙漏在重力穩(wěn)定階段的時(shí)間越短.

圖11 改變沙漏孔徑后沙漏質(zhì)量與時(shí)間的關(guān)系圖

2.2 沙子粒徑

如圖12所示. 分別為2～4目、4～8目、10～20目和40～80目沙粒從沙漏落下時(shí),沙漏重力與時(shí)間的關(guān)系曲線. 從圖12可知,沙子粒徑越大,沙子對沙漏底部的沖擊越離散,沙漏重力曲線的振蕩現(xiàn)象越明顯;粒徑越小,沙子對沙漏底部的沖擊越趨近連續(xù),沙漏重力曲線越平滑.

(a)2～4目

(b)4～8目

(c)10～20目

(d)40～80目圖12 改變粒后沙漏質(zhì)量與時(shí)間的關(guān)系圖

2.3 漏斗高度

如圖13～15所示,沙漏在不同高度處,下落距離與裝置重力所達(dá)到的極值成線性關(guān)系. 分別對圖14和圖15中的沙漏最大重力、最小重力與下落高度的關(guān)系曲線進(jìn)行擬合，得到沙漏最小重力Gmin(N)與下落高度h(m)的關(guān)系為

Gmin=-0.99h+14.30，

(18)

沙漏最大重力Gmax與下落高度h的關(guān)系為

Gmax=0.65h+14.52.

(19)

由以上分析可知,沙子下落高度越高,離開體系的沙子(未與沙漏直接接觸的沙子)越多,沙漏所能達(dá)到的重力最小值越小,最大值越大.

圖13 改變漏斗高度后沙漏質(zhì)量與時(shí)間的關(guān)系圖

圖14 沙漏最小重力與下落高度的關(guān)系

3 結(jié) 論

對沙漏中沙子流動導(dǎo)致沙漏重力變化進(jìn)行了詳細(xì)的研究. 依據(jù)實(shí)驗(yàn)曲線,將下落過程分成6個(gè)階段并對每個(gè)階段沙漏的重力進(jìn)行了理論分析. 實(shí)驗(yàn)研究得出以下結(jié)論:

1)沙漏孔徑越大,離開體系的沙子越多,沙漏所能達(dá)到的重力最小值越小,最大值越大,同時(shí)沙子漏下的速度越快.

2)沙子下落高度越高,離開體系的沙子越多,沙漏所能達(dá)到的重力最小值越小,最大值越大.

3)沙子粒徑越大,沙子對沙漏底部的沖擊越離散,沙漏重力曲線的振蕩現(xiàn)象越明顯;粒徑越小,沙子對沙漏底部的沖擊越趨近連續(xù),沙漏重力曲線越平滑.

4)在考察的沙子粒徑范圍內(nèi),粒徑越小,沙漏的流速越快.