李昌成
(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)
已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于兩點(diǎn)A,B.若∠AMB=90°,則k=.
圓錐曲線作為高考的重要內(nèi)容,每年必考,尤其是橢圓和拋物線.二者在每年的全國高考試卷和地方試卷中必然命制一大題一小題,作為大題和小題的壓軸題,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),特別是運(yùn)算能力.小題一般有一定的技巧性,需要“精打細(xì)算”,靈活應(yīng)對,2018年全國高考數(shù)學(xué)Ⅲ卷第16題就是一個典型代表.對于本題,不同的切入點(diǎn),將帶來不同解題效果和感受.
解法2 (從x=ty+a直線形式入手)設(shè)直線AB的方程為:x=ty+1,將其代入y2=4x得y2-4ty-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4t,y1y2=-4.由解法1得
取AB中點(diǎn)M′(x0,y0),分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線x=-1的垂線,垂足分別為A′,B′.
因?yàn)镸′為AB中點(diǎn),所以MM′平行于x軸.
由M(-1,1)得y0=1,則y1+y2=2.所以k=2.
解得k=tanα=2.
解法7(從MF⊥AB入手)首先證明結(jié)論:如果過拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線與C交于兩點(diǎn)A,B,以線段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于M,那么MF⊥AB.
點(diǎn)評高考題目是命題專家通過縝密思考,反復(fù)論證的精品試題.一些題看起來普普通通,但是卻暗藏著豐富的數(shù)學(xué)教學(xué)資源,尤其是解題方法,通過仔細(xì)的研究才能品出其味道.本題雖然是個小題,但是把解析幾何的常見技能技巧和特殊的解題方法都進(jìn)行了考查,只是我們的視角不同,切入點(diǎn)不同,導(dǎo)致解題感受大相徑庭.解法1是最常見的方法,卻是運(yùn)算量最大的,中途容易計(jì)算出錯;解法2在解法1的基礎(chǔ)上略有改進(jìn),運(yùn)算量下降;解法3利用了幾何位置關(guān)系,準(zhǔn)確率有保障;解法4、5巧妙地應(yīng)用了直線參數(shù)方程的概念,將參數(shù)t用活,斜率由k=tanα解出,很新穎;解法6運(yùn)用了整體代換的技巧,看似繁雜,實(shí)則簡捷;解法7、8是站在已有經(jīng)驗(yàn)上解題,非??旖?,前提是要知道這些結(jié)論,作為小題,這是最佳解法,又快又準(zhǔn),這也提醒我們平時要注意積累;解法9的代入方式很新穎,整體代入,運(yùn)算簡潔.數(shù)形結(jié)合的思想在本題中得到了淋漓盡致的考查,由MM′∥x軸得出yM=yM′多次用到.必修內(nèi)容和選修內(nèi)容相互支撐,甚至成為解題的亮點(diǎn),常規(guī)解法與創(chuàng)新解法形成了鮮明的對比,這也體現(xiàn)了高考的功能之一,選拔人才,鼓勵創(chuàng)新.本題知識間的融合達(dá)到相當(dāng)?shù)母叨?,對學(xué)生核心素養(yǎng)的考查全面到位.
本題蘊(yùn)含的知識與方法在平時也可做一些準(zhǔn)備和訓(xùn)練,以提高學(xué)生的實(shí)戰(zhàn)能力.下面我們再挖掘一些相關(guān)的題目,練習(xí)對應(yīng)的方法.讓教學(xué)更有針對性和實(shí)效性.
題2 (可仿照解法2解答)已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)(2,0)的直線交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓.證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.
題5 (可仿照解法7、8解答)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8.則l的方程為____.(答案y=x-1).