王穎俐,張麗萍

(1.長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011;2.太原師范學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部，山西 晉中 030619)

排隊(duì)，在我們的日常生活中是如此常見，任何時(shí)候，只要“顧客”要求某一設(shè)施提供“服務(wù)”，就會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)系統(tǒng)．排隊(duì)論在通信理論、制造過程和運(yùn)輸?shù)认到y(tǒng)中都有廣泛的應(yīng)用．近年來，隨機(jī)過程中的統(tǒng)計(jì)推斷，尤其是排隊(duì)過程中的統(tǒng)計(jì)推斷引起了研究者的廣泛關(guān)注．從隊(duì)列設(shè)計(jì)和排隊(duì)系統(tǒng)性能比較的角度來看，排隊(duì)過程中到達(dá)率、服務(wù)率、服務(wù)強(qiáng)度等參數(shù)的估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)問題是非常重要的．

隊(duì)列參數(shù)估計(jì)的最早工作是Clarke(1957)[1]，他得到單服務(wù)M/M/l排隊(duì)中到達(dá)率和服務(wù)率的MLE估計(jì)．Armero和Bayarri(1994)[2]獲得了M/M/l隊(duì)列中服務(wù)強(qiáng)度的Bayes估計(jì)．Mukherjee和Chowdhury(2005)[3]在平方誤差損失函數(shù)和線性加指數(shù)效用函數(shù)下得到了M/M/l隊(duì)列中服務(wù)強(qiáng)度的Bayes估計(jì)．Dey(2006)[4]在不同先驗(yàn)假設(shè)和一般平方誤差損失函數(shù)下，得到了服務(wù)強(qiáng)度和各種隊(duì)列特征的貝葉斯估計(jì)．

在本文中，我們討論一個(gè)非常簡單但經(jīng)常發(fā)生的排隊(duì)系統(tǒng)，即假定有無限個(gè)服務(wù)器，因而不會(huì)發(fā)生擁塞的排隊(duì)系統(tǒng)．當(dāng)然，在現(xiàn)實(shí)生活中不可能有無限的服務(wù)器,從技術(shù)上講，這是一種系統(tǒng).在這個(gè)系統(tǒng)中，客戶可以毫不延遲地立即收到服務(wù)，通常被建模為具有無限服務(wù)器的排隊(duì)系統(tǒng)．一般的例子是由緊急服務(wù)機(jī)構(gòu)(如救護(hù)車、警察、消防員等)和任何自助服務(wù)機(jī)構(gòu)提供的．無限服務(wù)系統(tǒng)也被用來模擬延遲到達(dá)，這是根據(jù)一個(gè)M/G/∞系統(tǒng)的輸出是泊松過程的結(jié)論得到的(相關(guān)實(shí)例子見Turnquist和Jordan，1986[5])．對(duì)于無限的服務(wù)器的排隊(duì)系統(tǒng)，經(jīng)常是用有限的、但非常大的、很少發(fā)生擁塞的服務(wù)器數(shù)量來近似隊(duì)列的行為；這實(shí)際上就是上面提到的救護(hù)車服務(wù)的例子.或者是一個(gè)非常重要的例子，其中“客戶”是在一個(gè)大型通信網(wǎng)絡(luò)中使用的線路．現(xiàn)實(shí)生活中的例子可以在Parikh(1977)[6]和Kao and Tung(1981)[7]中找到．最后，M/M/∞單隊(duì)列是具有無限個(gè)服務(wù)器隊(duì)列的多個(gè)網(wǎng)絡(luò)的輸入．這些都是研究和應(yīng)用的重要課題．Armero和Bayarri(1997)[8]獲得了M/M/∞隊(duì)列的Bayes估計(jì)．Ren Haiping和Wang Guofu[9]獲得了損失函數(shù)熵下的M/M/1排隊(duì)的貝葉斯估計(jì)．本文旨在獲得了預(yù)防損失函數(shù)熵下的M/M/∞排隊(duì)中到達(dá)率與服務(wù)率比值的貝葉斯估計(jì)．

1 排隊(duì)系統(tǒng)簡介

1.1 M/M/n排隊(duì)系統(tǒng)簡介

在一個(gè)M/M/n排隊(duì)系統(tǒng)中，顧客的到達(dá)過程是參數(shù)為λ的泊松過程(即到達(dá)間隔的時(shí)間序列為獨(dú)立同分布于均值為1/λ的指數(shù)分布的隨機(jī)變量序列)[10]．該系統(tǒng)有n個(gè)獨(dú)立且同分布于B～Γ(1,μ)的服務(wù)器．且到達(dá)與服務(wù)這兩個(gè)過程是相互獨(dú)立的．參數(shù)λ稱為到達(dá)率，μ稱為服務(wù)率．

設(shè)X(t)表示系統(tǒng)在t時(shí)刻的顧客總數(shù)，由排隊(duì)論基礎(chǔ)[10]知{X(t),t≥0}是生滅過程，且生率λi=λ,i=0,1,2,…，滅率

(1)

(2)

其中πk表示系統(tǒng)處于均衡時(shí)，有k個(gè)顧客的概率．

對(duì)于M/M/1，πk=(1-ρ)ρk,k=0,1,2,….

(3)

(4)

對(duì)于(4)式取極限可得M/M/∞系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長分布為

(5)

1.2 M/M/∞排隊(duì)系統(tǒng)簡介

我們現(xiàn)在討論n趨于無窮時(shí)的情況．這就是M/M/∞排隊(duì)，也稱為無限服務(wù)器、響應(yīng)服務(wù)器或有充足服務(wù)器隊(duì)列或無限服務(wù)器的隊(duì)列．假設(shè)隨機(jī)變量X為系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)下系統(tǒng)中的顧客數(shù)，令θ=λ/μ，則在該系統(tǒng)下0<θ<+∞，且由(5)式可知X的分布律為

(6)

由此可得其似然函數(shù)為

(7)

在貝葉斯方法中，我們進(jìn)一步假設(shè)研究人員可以從過去對(duì)底層排隊(duì)系統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)中獲得關(guān)于排隊(duì)參數(shù)θ的一些先驗(yàn)知識(shí)．先驗(yàn)知識(shí)通?？梢愿爬棣鹊膮?shù)空間上所謂的先驗(yàn)密度．在接下來的討論中，我們假設(shè)

(A)準(zhǔn)先驗(yàn):如果實(shí)驗(yàn)前沒有關(guān)于參數(shù)θ的先驗(yàn)信息的情況，可以使用如下式所示的準(zhǔn)密度

(8)

當(dāng)c=0會(huì)導(dǎo)致擴(kuò)散性先驗(yàn)，c=1導(dǎo)致非信息性先驗(yàn)．

(B)貝塔先驗(yàn):一般情況下，參數(shù)θ的先驗(yàn)分布是具有參數(shù)a、b的貝塔先驗(yàn)分布，它的密度函數(shù)形式為

(9)

2 貝葉斯估計(jì)

(10)

(11)

2.1 在準(zhǔn)先驗(yàn)下的貝葉斯估計(jì)

我們考慮當(dāng)θ具有準(zhǔn)先驗(yàn)密度(8)的情況．

在損失函數(shù)(10)下可得M/M/1排隊(duì)中服務(wù)強(qiáng)度θ的后驗(yàn)密度(12)及貝葉斯估計(jì)(13)為

(12)

(13)

接下來，我們考慮M/M/∞排隊(duì)中服務(wù)強(qiáng)度θ的先驗(yàn)密度為準(zhǔn)先驗(yàn)(8)的情形．由式(7)及(8)，利用Bayes定理可得θ的后驗(yàn)密度為

(14)

在式(10)下參數(shù)θ的貝葉斯估計(jì)量(11)為

(15)

2.2 在貝塔先驗(yàn)下的貝葉斯估計(jì)

在這部分，我們考慮參數(shù)θ的先驗(yàn)分布是含有參數(shù)a、b的貝塔先驗(yàn)密度(9)．

在損失函數(shù)(10)下可得M/M/1排隊(duì)中服務(wù)強(qiáng)度θ的后驗(yàn)密度(16)及貝葉斯估計(jì)(17)為

(16)

(17)

接下來，我們考慮M/M/∞排隊(duì)中服務(wù)強(qiáng)度θ的先驗(yàn)密度為準(zhǔn)先驗(yàn)(9)的情形．由式(7)及(9)，利用Bayes定理可得θ的后驗(yàn)密度為

(18)

在式(10)下參數(shù)θ的貝葉斯估計(jì)量(11)為

(19)

在(19)式中當(dāng)b=1時(shí)，其值為

(20)

3 結(jié)論

本文在兩種不同的先驗(yàn)分布的前提下，分別得到了加權(quán)平方誤差下關(guān)于M/M/∞隊(duì)列中參數(shù)λ/μ的貝葉斯估計(jì)．與頻率論方法不同，貝葉斯方法具有許多不受歡迎的特性，貝葉斯方法更適合于清晰的分析．在文中，我們僅考慮了在給定先驗(yàn)分布前提下得到參數(shù)θ的貝葉斯估計(jì)量，是否對(duì)于其他先驗(yàn)分布也有類似結(jié)論，可作為下一步工作目標(biāo)．另外，可通過仿真檢驗(yàn)估計(jì)值是否可靠．