杜玉平

(山西朔州師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與計算機(jī)系,山西 朔州 036000)

Eberhart和Kennedy通過觀察鳥類、魚類種群的捕食活動，總結(jié)出了一種優(yōu)化算法——粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)[1].后來，它被廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化等領(lǐng)域.

粒子群算法存在缺陷：過早局部收斂，解的精度也不高.因此，文中在基于原始PSO算法，在粒子位置每一次更新時，引入一個增長因子，得到一種基于增長因子的粒子群算法(G-PSO).新算法在提高收斂進(jìn)度和尋優(yōu)成功率方面是可行的，全局搜索性能強(qiáng).

1 粒子群優(yōu)化算法(PSO)

PSO算法開始需隨機(jī)給出一個群落，即設(shè)在D維空間，隨機(jī)給出m個粒子， 粒子i的位置是xi=(xi1,xi2,…,xiD)，i=1,2,…,m.xi所獲取的目標(biāo)函數(shù)值為粒子i的適應(yīng)度值.粒子i的行進(jìn)速度是vi=(vi1,vi2,…,viD) ，粒子i目前的最好位置是pbi=(pbi1,pbi2,…,pbiD)， 目前整個群體中的最佳位置gb=(gb1,gb2,…,gbD) .(1)、(2)式是粒子的速度、位置的計算公式[2]：

(1)

(2)

其中，k=1,2,…,n是運(yùn)行代數(shù)，i=1,2,…,m是粒子數(shù)，c1和c2是學(xué)習(xí)系數(shù)，d=1,2,…,D是向量維數(shù)；vid∈[vmin,vmax]，vmin和vmax是常數(shù)，R1和R2是介于[0，1]之間的隨機(jī)數(shù).

2 基于增長因子的粒子群算法(G-PSO)

文獻(xiàn)[3]給出一種新的遺傳算法，使算法的尋優(yōu)成功率得到提高.從這種算法得到啟發(fā)，給出了一種基于增長因子的粒子群算法(G-PSO).具體做法如下:

1)增長因子：

(3)

其中：step(0)，step(∞)為增長因子的初始數(shù)和結(jié)束數(shù)，α為冷卻速度，為0時就是固定概率.

2)概率p(k)：

(4)

圖1 G-PSO算法流程圖

其中：p(0)，p(∞)為初始概率數(shù)和最終概率數(shù)，γ為冷卻速度，等于0時相當(dāng)于固定概率.

3) 粒子位置的變更計算公式如下： 以概率p(k)變更粒子位置

(5)

(6)

由此，我們提出的基于增長因子的粒子群算法(G-PSO)，是在修正粒子位置時適當(dāng)加了一個增長因子，其實(shí)質(zhì)是增加一次局部方向搜索以加速收斂.通常在算法的早期階段，采用較大的增長因子讓最優(yōu)解離粒子很近，而在算法進(jìn)行的末期，需在小范圍內(nèi)搜索，進(jìn)而設(shè)計較小的增長因子，這樣可以提高解的精度性.這種算法的流程圖見圖1.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

將G-PSO算法和另外兩種算法(收縮因子的PSO、慣性因子的PSO)相結(jié)合進(jìn)行結(jié)果對比.選取四個多峰函數(shù)(求最小值)來測試 .

1)Griewank函數(shù)

(7)

2)Rosenbrock函數(shù)

(8)

3)Ackley函數(shù)

(9)

4)Rastrigrin函數(shù)

(10)

以上函數(shù)都是D維，函數(shù)(7)、(9)、(10)有許多局部極值點(diǎn)，函數(shù)(8)是很難得出最小值的，我們知道，零是他們的最小值[4].

帶收縮因子的PSO[5]如下所示：

帶慣性因子的PSO[6]如下所示：

從表1、圖2、圖3、圖4、圖5可以看出，在解的精確性和全局收斂性方面，算法G-PSO較其他兩種算法優(yōu)勢更加明顯.具有慣性因子和具有收縮因子的PSO算法全局優(yōu)化成功率低，而G-PSO算法全局尋優(yōu)成功率較高.

表1 三種算法迭代30次的函數(shù)解得平均最優(yōu)值

圖2 Griewank函數(shù)xi∈-50,50 ,D=30,30次平均最佳適應(yīng)度進(jìn)化曲線圖3 Rosenbrock函數(shù)xi∈-100,100 ,D=30,30次平均最佳適應(yīng)度進(jìn)化曲線

圖4 Ackley函數(shù)xi∈-50,50 ,D=30,30次平均最佳適應(yīng)度進(jìn)化曲線圖5 Rastrigrin函數(shù)xi∈-5.12,5.12 ,D=30,30次平均最佳適應(yīng)度進(jìn)化曲線

4 結(jié)論

本文給出了一種基于增長因子的粒子群算法(G-PSO).實(shí)驗(yàn)表明，G-PSO算法與具有收縮因子和具有慣性因子PSO算法相比，改善了G-PSO算法的優(yōu)化能力和尋優(yōu)成功率.本文作者結(jié)合自己所學(xué)知識提出了一種簡單的增長因子，因子不同，算法操作也會不同，進(jìn)而優(yōu)化效果也不同，希望同行們繼續(xù)對粒子群算法進(jìn)行研究.