關(guān)于草原合理放牧的數(shù)學(xué)模型及其定性分析
——以烏蘭布統(tǒng)大草原為例

王崇奐，張樂予，陳曉玥，王秋爽

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 ,吉林 長春 130012 )

0 引言

假設(shè)在同一生境(烏蘭布統(tǒng)大草原)中，短期內(nèi)捕食者(牛、羊等食草性動(dòng)物)與食餌(草原上的牧草)的數(shù)量不受突發(fā)狀況如：疫情、生物入侵、自然災(zāi)害等影響。由于動(dòng)物出生、死亡，牧草生長、枯萎，兩種群的數(shù)量都會(huì)隨時(shí)間的變化而變化.本文運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法建立并研究兩種群數(shù)量的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。

在同一生境中的捕食者和食餌種群數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型[1]如下：

(1)

1 系統(tǒng)分析

模型(1)右端函數(shù)為0時(shí)，解得系統(tǒng)共有四個(gè)平衡點(diǎn)：

其中

(2)

令F1(x1,x2)=0；F2(x1,x2)=0，

定理1(零點(diǎn)定理)：若函數(shù)f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),且f(a)與f(b)異號(即f(a)·f(b)<0),那么函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即至少存在一點(diǎn)ξ，ξ(a<ξ

定理3當(dāng)Δ=α1β2>0時(shí),系統(tǒng)(2)的一切由第一象限出發(fā)的軌線是正向有界的.

在這些集合區(qū)域里,分別所對應(yīng)的系統(tǒng)(2)的向量場方向變化.如圖1.

圖1 系統(tǒng)(2)的向量場

由各區(qū)域方向場分析：以及平衡點(diǎn)的唯一性和無環(huán)性可得：系統(tǒng)(2)的一切由第一象限出發(fā)的軌線是正向有界，系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)C(x*,y*)是全局漸近穩(wěn)定的[4].

2 生物意義

生態(tài)系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定指的是生態(tài)系統(tǒng)的相對平衡,它是由生態(tài)系統(tǒng)自身的內(nèi)部平衡與外部平衡所構(gòu)成的,并且是一種動(dòng)態(tài)性質(zhì)的平衡[5].每個(gè)生態(tài)系統(tǒng)都具備著自身的一定范圍內(nèi)的彈性與可塑性,擁有著適應(yīng)外來干擾的一定限度的反饋能力.本文通過對系統(tǒng)(i)的分析討論，可以找到烏蘭布統(tǒng)大草原上的捕食者(牛、羊等食草性動(dòng)物)和食餌(牧草)最適合生存的數(shù)量C(x*,y*).由于兩種群之間存在捕食關(guān)系，可以通過調(diào)節(jié)捕食者或食餌數(shù)量來維持生態(tài)平衡[6]，即：當(dāng)食餌種群(牧草)繁殖較快或生長較為茂盛時(shí)，我們可以人為引入捕食者(牛、羊等食草性動(dòng)物)來控制其增長速度，既不會(huì)資源浪費(fèi)還可以帶來一定經(jīng)濟(jì)效益，但如果捕食者過量又會(huì)導(dǎo)致放牧過度食餌枯竭，也不利于捕食者生長，此時(shí)需要對捕食者進(jìn)行適量捕殺.只有兩種群數(shù)量達(dá)到C(x*,y*)時(shí)，才可以達(dá)到生態(tài)平衡穩(wěn)定[7]，從而實(shí)現(xiàn)保護(hù)牧草資源，又實(shí)現(xiàn)牧業(yè)經(jīng)濟(jì)最大化的目的.