陳欣

【摘要】通過對樂理的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，我認(rèn)識到憑借直覺來分辨不同的音樂風(fēng)格的技能并不是源自于我與眾不同的能力，而可能與作曲家在不同時(shí)期使用和弦的習(xí)慣有關(guān)。為此，我將深入研究不同音樂時(shí)期作曲家的和弦習(xí)慣中的差異。在我選定的曲目中，通過構(gòu)造合適的馬可夫鏈并計(jì)算穩(wěn)態(tài)分布，我將用數(shù)據(jù)的形式來展現(xiàn)我的假設(shè)是否成立，不同時(shí)期的樂曲是否有和弦運(yùn)用習(xí)慣上的差異，并結(jié)合我的音樂知識來進(jìn)一步分析。

【關(guān)鍵詞】音樂時(shí)期;音樂風(fēng)格;頻率

【中圖分類號】J624? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

序言

音樂是善變的。它由巴洛克時(shí)期的嚴(yán)格控制的旋律對位，演變成古典時(shí)期的抒情歌唱式的旋律，再演變到浪漫時(shí)期傾瀉感情的風(fēng)格。之所以不同時(shí)期的音樂風(fēng)格迥異，主要源于不同時(shí)期作曲家對和弦和和弦進(jìn)行的差異。為了更深入地了解這一現(xiàn)象，我通過6首曲子研究了音樂時(shí)期與和弦使用習(xí)慣上的關(guān)系。本文將對此次研究的成果加以展開分析。本文假設(shè)我所選取的6首曲子在各個(gè)時(shí)期都是具有代表性的。同一時(shí)期中的其他曲子應(yīng)有類似的和弦數(shù)據(jù)。然而，由于我們在每個(gè)時(shí)期只選擇了2首曲目，這些樣本可能無法涵蓋該時(shí)期所有和弦使用上的特征。

一、數(shù)學(xué)模型

以下是本文中會用到的定義：

概率向量-所有項(xiàng)相加得1，并且每一項(xiàng)在0到1之間（可取0，1）的向量。

隨機(jī)矩陣-行或列皆為概率向量的正方矩陣。

a.右隨機(jī)矩陣-行為概率向量的正方矩陣。

b.左隨機(jī)矩陣-列為概率向量的正方矩陣。

馬可夫鏈-由一個(gè)狀態(tài)變換到另一個(gè)狀態(tài)的隨機(jī)過程。

馬可夫鏈矩陣-一個(gè)包含馬可夫鏈中所有狀態(tài)間變換的概率的隨機(jī)矩陣。

穩(wěn)態(tài)向量-給定隨機(jī)矩陣S，穩(wěn)態(tài)向量p是一個(gè)滿足以下條件的概率向量：

（1）若S為右隨機(jī)矩陣，則p是一個(gè)列向量并且Sp=p。

（2）若S為左隨機(jī)矩陣，則p是一個(gè)行向量并且pS=p。

和弦進(jìn)行-和弦間的變換

這里我會討論數(shù)學(xué)上馬可夫鏈的方法是如何運(yùn)作的。馬可夫鏈根據(jù)于以下重要定理。該定理確保在大多數(shù)實(shí)際運(yùn)用的情況下，穩(wěn)態(tài)向量存在并是唯一的。

定理：每個(gè)元素都是正數(shù)的右隨機(jī)矩陣有一個(gè)唯一的穩(wěn)態(tài)向量。

本文將不會包括該定理的證明，因?yàn)樵摱ɡ淼淖C明包含與本調(diào)查目標(biāo)無關(guān)的復(fù)雜計(jì)算與數(shù)學(xué)知識。盡管如此，我會在這里給出一個(gè)證明的大概框架。

二、應(yīng)用

通過數(shù)曲目中和弦進(jìn)行出現(xiàn)的頻率，我們可以為每首曲目構(gòu)造一個(gè)馬可夫鏈。在每個(gè)馬可夫矩陣S中，ski代表該曲中由k和弦變換到i和弦的概率。舉個(gè)例子，s11=二分之一表明在該曲中，由I和弦開始，有一半的和弦變換到了另一個(gè)I和弦。

給定一個(gè)馬可夫鏈，我們可以計(jì)算它的穩(wěn)態(tài)向量。穩(wěn)態(tài)向量代表了每個(gè)和弦的出現(xiàn)概率。換句話說，pk告訴我們和弦k在曲目中出現(xiàn)了多少次。舉個(gè)例子，如果穩(wěn)態(tài)向量是（10…0），那么這個(gè)曲目中只有I和弦。p1=1告訴我們I和弦的出現(xiàn)概率是100%，也就是說所有的和弦是I和弦。p2=p3=…p7=0告訴我們其他的和弦沒有在曲目中出現(xiàn)一次，與之前有關(guān)p1的結(jié)論相符。

三、數(shù)據(jù)

我們通過一個(gè)在線穩(wěn)態(tài)向量計(jì)算器（2）來計(jì)算以上概率矩陣的穩(wěn)態(tài)向量。每一個(gè)元素代表該時(shí)期中該和弦出現(xiàn)的概率。

四、分析

總體來說，I和弦和I-I和弦進(jìn)行在三個(gè)時(shí)期中都有較高的出現(xiàn)頻率。這可以體現(xiàn)作曲家使用I和弦的習(xí)慣是不受音樂時(shí)期所影響的。在音樂中，I和弦是建立在曲目基調(diào)的音上的主和弦，因此有著不可替代的重要性。正是如此，在很多和弦進(jìn)行中I和弦都會被用到，所以它的出現(xiàn)頻率是不受音樂時(shí)期的演變而影響的。

五、結(jié)論

三個(gè)時(shí)期的穩(wěn)態(tài)向量展示了和弦運(yùn)用在不同時(shí)期里的顯著差異。巴洛克和古典音樂家喜歡用大調(diào)和弦，比如I，IV和V，而浪漫時(shí)期的音樂則包含了相對平衡的和弦使用，包括一些非尋常的和弦，如減七。這樣的差異讓巴洛克和古典音樂帶有一種嚴(yán)格的感覺，而浪漫時(shí)期的音樂則更具有創(chuàng)造力與感染力。也許這就是為什么我能夠通過聽一首曲子就直接判斷該曲子所處的音樂時(shí)期。馬可夫鏈僅僅代表了有限的曲目樣本與變量，僅能找到和弦與時(shí)期的相關(guān)性，但不能說明與作曲家有沒有相關(guān)性。這可能會導(dǎo)致本文的結(jié)論不一定一直成立。盡管如此，馬可夫鏈給予了我精確而簡短的展示并分析和弦數(shù)據(jù)的方式。自始至終，和弦的使用一直在變遷，而這導(dǎo)致的就是不同音樂時(shí)期的形成，并幫助音樂學(xué)家將過去的音樂分類成三個(gè)時(shí)期：巴洛克、古典與浪漫。