高翔,王林軍,杜義賢

(1.三峽大學(xué)水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,443002,湖北宜昌;2.三峽大學(xué)機(jī)械與動力學(xué)院,443002,湖北宜昌)

在工程實(shí)際中,由于受材料屬性、制造精度、安裝誤差等各種不確定因素的影響,結(jié)構(gòu)的實(shí)際參數(shù)會偏離設(shè)計(jì)參數(shù)。為了在設(shè)計(jì)階段有效度量及控制不確定因素對結(jié)構(gòu)的影響,需要通過可靠性分析來預(yù)先評估結(jié)構(gòu)的失效風(fēng)險。

關(guān)于結(jié)構(gòu)的可靠性分析,國內(nèi)外很多學(xué)者都進(jìn)行了積極地探索和研究。Dempster和Shafer提出了證據(jù)理論,并且廣泛應(yīng)用于非概率結(jié)構(gòu)可靠性分析及可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)[1-2]。Zadeh等對基于元模型的多目標(biāo)多學(xué)科優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究,提出了求解多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)(multi-disciplinary design optimization,MDO)問題的EMOPSO法,該方法類似于MOPSO法,引入了SQP法和元模型,從而做出了位于Pareto解處的模糊邏輯決策[3]。Wang等對基于非概率集合理論的多學(xué)科可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了研究,提出了一種基于MDO策略的單循環(huán)算法,并且指出MDO策略主要包括MDF法、CSSO法、CO法、BLISS法[4]。Hao等對求解非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的混沌控制方法進(jìn)行了研究,提出了一種初期使用HL-RF法、振蕩時使用ECC法進(jìn)行迭代的方法,并使用混沌動力學(xué)理論加速可靠指標(biāo)的收斂速度[5]。為了提高ECC法的收斂性,在內(nèi)層嵌套了Wolfe-Powell準(zhǔn)則,用來檢查以及更新控制因子[5]。Hao等對桁架結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究,提出了一種高效的IGA法,并且通過ESLA法和SSORASORM法提高了IGA法的計(jì)算效率[6]。Moon等對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不足情況下的基于信度的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究,通過貝葉斯模型的核密度估計(jì)法計(jì)算概率密度函數(shù),并由基于馬爾可夫鏈蒙特卡羅取樣器的MH算法計(jì)算后驗(yàn)分布,最終利用Diracδ測度計(jì)算失效概率;由于Hellinger相似性的靈敏度不能用有限差分法計(jì)算,所以引入了復(fù)變量法;此外,指出DKG法是最準(zhǔn)確的代理模型方法之一[7]。杜秀云等對基于Bregman距離函數(shù)的可靠性分析進(jìn)行了研究,引入Bregman距離函數(shù)來計(jì)算可靠指標(biāo)β,根據(jù)不動點(diǎn)同倫映射的思想構(gòu)造同倫方程組進(jìn)行計(jì)算,對極限狀態(tài)函數(shù)為非線性方程的可靠指標(biāo)計(jì)算取得了良好的效果,尤其是極限狀態(tài)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的情況[8]。吉猛等對基于同倫分析的結(jié)構(gòu)可靠性功能度量法進(jìn)行了研究,使用KKT條件構(gòu)造同倫方程組,并采用β-cone搜索方法追蹤到最可能點(diǎn)(most probable point,MPP),且使用優(yōu)于可靠指標(biāo)法的功能度量法來分析可靠性[9]。李彬等研究了基于改進(jìn)自適應(yīng)混沌控制的逆可靠性分析方法,運(yùn)用自適應(yīng)混沌控制方法進(jìn)行了逆可靠性分析[10]。黃曉旭等對基于主動學(xué)習(xí)Kriging模型和子集模擬的可靠性分析進(jìn)行了研究,提出了AK-SS法,對具有隱式功能函數(shù)的小失效概率計(jì)算取得了良好的效果[11]。孟增等對基于修正混沌控制的一次二階矩(first order second moment,FOSM)法進(jìn)行了研究,運(yùn)用混沌理論對迭代震蕩的情況進(jìn)行修正,解決了極限狀態(tài)函數(shù)非線性程度較高時的迭代振蕩問題[12]。

盡管FOSM法在結(jié)構(gòu)可靠性分析方面的理論已經(jīng)很成熟,然而在實(shí)際工程的結(jié)構(gòu)可靠性分析中卻很少使用,原因如下:①如果功能函數(shù)比較復(fù)雜,將會導(dǎo)致雅可比矩陣的計(jì)算變得煩瑣,從而整個過程效率低下;②如果雅可比矩陣的條件數(shù)過大,將會導(dǎo)致結(jié)果誤差較大;③通過極限狀態(tài)方程求解雅可比矩陣的過程中涉及到單位換算,極易得到錯誤的雅可比矩陣,這將導(dǎo)致可靠指標(biāo)及失效概率計(jì)算錯誤。因此,如何避免雅可比矩陣的求解成了一個亟待解決的問題。

將有約束模型轉(zhuǎn)換為無約束模型的常用方法為罰函數(shù)法。內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法的罰因子逐步減小,常用于不等式約束;外點(diǎn)罰函數(shù)法的罰因子逐步增大,常用于等式約束。由于罰函數(shù)法是一種序列無約束極小化方法,所以收斂較慢,且兩種罰函數(shù)法的收斂性均依賴于罰因子的初值[13]。如果初始罰因子選取不當(dāng),就可能會導(dǎo)致兩種罰函數(shù)法中構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)均不收斂。因此,如何避免罰函數(shù)法初始罰因子的選取成了一個亟待解決的問題。

針對以上兩個技術(shù)難點(diǎn),本文提出了一種采用增廣乘子法與模擬退火法的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法,通過增廣乘子法將等式約束優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化模型,采用模擬退火法求解結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)。此外,本文研究了各參數(shù)的不確定度對可靠指標(biāo)的影響,并與FOSM法和蒙特卡羅模擬(Monte Carlo simulation,MCS)法進(jìn)行了對比,數(shù)值算例和懸臂梁算例的結(jié)果表明,本文方法迭代次數(shù)比MCS法少,且所得結(jié)果比FOSM法更接近于MCS法。

1 可靠性理論

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f(x)和累積分布函數(shù)F(x)的公式[14]分別為

(1)

(2)

式中μx和σx分別為變量x的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

拉科維茨·菲斯萊法可以實(shí)現(xiàn)正態(tài)分布到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換,公式[14]為

y=(x-μx)/σx

(3)

μy=x-φ-1[F(x)]σx

(4)

σy=φ{(diào)φ-1[F(x)]}/f(x)

(5)

(6)

(7)

式中:y為轉(zhuǎn)換后的x;μy和σy分別為變量y的均值和標(biāo)準(zhǔn)差;φ(y)為y的概率密度函數(shù);φ(y)為y的累積分布函數(shù);t為積分變量。

誤差函數(shù)erf(y)和互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(y)的公式[15]分別為

(8)

(9)

引入誤差函數(shù)后,累積分布函數(shù)φ(y)變?yōu)?/p>

(10)

可靠指標(biāo)β和失效概率Pf的公式[14]分別為

β=(x-μx)/σx=μy/σy

(11)

(12)

變異系數(shù)V的公式[14]為

V=σx/μx

(13)

由大數(shù)定理中的Bernoulli定理可知,進(jìn)行N次模擬之后,若功能函數(shù)g(x)<0的次數(shù)為nf,則直接抽樣蒙特卡羅法的失效概率Pf[14]為

(14)

式中:xu為第u次模擬時的變量;I[x]為示性函數(shù),公式為

(15)

(16)

為提高直接抽樣蒙特卡羅法的精度,將抽樣中心改為MPP。重要抽樣蒙特卡羅法的失效概率Pf[14]為

(17)

式中fMPP(x)表示將概率密度函數(shù)f(x)中變量x的均值替換為MPP后的概率密度函數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)空間中坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)面的最短距離就是可靠指標(biāo)β[14],此時對應(yīng)的極限狀態(tài)面上的點(diǎn)就是MPP[14]。

(18)

2 優(yōu)化算法理論

2.1 等式約束的增廣乘子法理論

根據(jù)可靠性理論,可建立優(yōu)化模型為

subject togj(X)=0,j=1,2,…,m

(19)

式中:M為適應(yīng)度;X=[X1,X2,…,Xn];μv和σv分別為Xv的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

式(19)為具有m個等式約束gj(X)的模型,可以由增廣乘子法轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化模型,公式[13]為

(20)

式中:Mλ為無約束優(yōu)化模型的適應(yīng)度;r為外罰函數(shù)法的罰因子;λ=[λ1,λ2,…,λm],為拉格朗日乘子。式(20)右端第二項(xiàng)為懲罰項(xiàng),第三項(xiàng)為乘子項(xiàng)。

使用增廣乘子法時,并不要求罰因子趨于無窮大,只需取一個比較大的值或按照一定的比例遞增[14]。此方法同時應(yīng)用于外點(diǎn)罰函數(shù)法及拉格朗日乘子法,避開了外罰函數(shù)法的初始罰因子選取。

2.2 模擬退火法理論

1983年,IBM公司的Kirkpatrick等提出了一種基于物理學(xué)正則系統(tǒng)的模擬退火法,該算法使用了輔助分布和多重馬爾科夫鏈,且類似于吉布斯采樣器[16-18]。吉布斯分布又稱玻爾茲曼分布,表達(dá)式為

(21)

式中:i為迭代次數(shù);P為概率;Z為配分函數(shù)或正則化常數(shù);U(i)為勢能;k為玻爾茲曼常數(shù);T為溫度;E(i)為系統(tǒng)的能量。

Creutz在研究物理學(xué)的伊辛模型時,提出了基于微正則系統(tǒng)的微正則退火法,其配分函數(shù)[18-19]為

(22)

式中:E0為初始能量值;ED為熱系統(tǒng)中具有能量交換能力的“妖”(Demon)的能量,更新規(guī)則為

(23)

式(21)中的溫度T有很多種計(jì)算方法。經(jīng)過查閱相關(guān)資料,收集了以下3種常見的第i次迭代時的溫度Ti的計(jì)算方法。

(1)文獻(xiàn)[17]指出,若目標(biāo)函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差為σf(x)、接受概率p>3σf(x),則溫度Ti為

(24)

(2)文獻(xiàn)[17]指出,為保證接受新解的概率大于設(shè)定值a0,應(yīng)設(shè)定溫度Ti為

(25)

式中:Δ+為目標(biāo)函數(shù)值上升的平均值;m1、m2分別為先前實(shí)驗(yàn)中使目標(biāo)函數(shù)下降、上升的解的數(shù)量。

(3)文獻(xiàn)[20]指出,設(shè)定一個足夠大的常數(shù)γ,使γ等于或者大于函數(shù)圖形的深度,則溫度Ti為

(26)

分析上述方法可知:方法(1)需要統(tǒng)計(jì)目標(biāo)函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差,比較煩瑣;方法(2)需要設(shè)定初始概率值a0;方法(3)需要知道函數(shù)圖像的深度。由于以上3種方法的參數(shù)設(shè)置均比較困難,所以本文沒有采用。

模擬退火法利用μ-1原理[21]計(jì)算迭代步長,公式為

(27)

式中:gμ-1=[gμ-1,1,gμ-1,2,…,gμ-1,n]為計(jì)算迭代步長的中間變量;μ0=10100η,η=(i/imax)q,q為退火因子,必須大于0,q越大則退火速度越快[21];變量Xrand=[Xrand,1,Xrand,2,…,Xrand,n]與變量X的元素數(shù)量相同,且所有元素均是位于[-1,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù);sgn為符號函數(shù)。

模擬退火法利用Metropolis準(zhǔn)則[13]來判斷是否接受新解,Metropolis準(zhǔn)則為:當(dāng)適應(yīng)度的變化ΔMλ<0或隨機(jī)數(shù)p滿足一定的條件時,接受新解。p需要滿足的具體條件為

(28)

式中:ε是算法的精度;ε0是極小數(shù)常量,分母加上ε0是為了防止分母為零。在MATLAB軟件中,p由RAND函數(shù)生成,ε0由eps函數(shù)生成。

為避免式(28)中的指數(shù)函數(shù)計(jì)算,文獻(xiàn)[22]提出了Demon算法,具體如下:若ΔE≤D,則接受新解,同時更新Demon值D,即D=D-ΔE。但是,文獻(xiàn)[22]提出的Demon算法的初始Demon值如何設(shè)置,文獻(xiàn)[17]中并未記載,故本文未采用。

采用模擬退火法求解無約束優(yōu)化問題的步驟如下。

步驟1 初始化X,并求出函數(shù)Mλ的函數(shù)值。

步驟2 開始迭代,設(shè)i為迭代次數(shù)。

步驟3 對每個Xν,計(jì)算迭代步長dXν=gμ-1,ν·(Bu,ν-Bl,ν),式中Bu,ν和Bl,ν分別為變量Xν的上下界。

步驟4 通過迭代步長求得新解X′=X+dX,如果X′不在范圍內(nèi)則隨機(jī)賦予新值。

步驟5 首先求函數(shù)的變化值ΔMλ,然后根據(jù)Metropolis準(zhǔn)則選擇是否接受新解。

步驟6 保留適應(yīng)度最小的解。

步驟7 判斷是否達(dá)到循環(huán)終止條件。當(dāng)i小于迭代上限imax時,返回步驟2;當(dāng)i達(dá)到imax時,循環(huán)終止。

文獻(xiàn)[23]指出,為了在后期能夠跳出局部最優(yōu)解,有學(xué)者提出了在后期提高溫度(即回火)的回火退火法,也有學(xué)者提出反復(fù)執(zhí)行退火降溫和回火升溫的計(jì)算方法。若采用文獻(xiàn)[23]的回火退火法,則式(28)變?yōu)?/p>

(29)

本文將文獻(xiàn)[13]的增廣乘子法與文獻(xiàn)[13,21]的模擬退火法和文獻(xiàn)[23]的回火退火法結(jié)合,并將其應(yīng)用于可靠指標(biāo)的計(jì)算,分析結(jié)構(gòu)的可靠性,本文方法的流程圖如圖1所示。

圖1 本文算法的流程圖

3 數(shù)值算例分析

設(shè)變量X=[X1,X2]服從正態(tài)分布,X1和X2均值分別為10和2.5,標(biāo)準(zhǔn)差分別為2和0.375,某個結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)g(X)為

(30)

設(shè)算法的終止條件為‖X(i)-X0‖/‖X0‖≤1×10-6,X0為最優(yōu)解,X(i)為第i次迭代時的解。分別采用設(shè)計(jì)點(diǎn)法、JC法和簡化加權(quán)分位值法3種FOSM法[14]求解此問題,所得結(jié)果如下。

(1)3種方法的迭代次數(shù)均為12次,且功能函數(shù)g均等于8.689 9×10-12。

(2)3種方法所得可靠性參數(shù)幾乎相同,MPP約等于(11.185 490,1.654 912),可靠指標(biāo)β≈2.330 217,失效概率Pf≈0.009 897。

(3)設(shè)計(jì)點(diǎn)法和JC法所得失效概率相同,而簡化加權(quán)分位值法的失效概率略小。文獻(xiàn)[14]指出,簡化加權(quán)分位值法的精度低于JC法,但是此次的計(jì)算結(jié)果表明,簡化加權(quán)分位值法與JC法的失效概率誤差僅為1×10-17。

取退火因子q=1,M0為當(dāng)前函數(shù)值,Mv為最優(yōu)函數(shù)值,設(shè)|M0-Mv|<1×10-6或迭代次數(shù)小于等于12作為終止條件。本文方法迭代4次得:MPP為(11.746 19,1.683 011),g=0.029 489,β=2.348 96,Pf=0.009 413。

設(shè)計(jì)點(diǎn)法、JC法和簡化加權(quán)分位值法3種FOSM法所得的可靠指標(biāo)β=2.330 217,本文所得可靠指標(biāo)β=2.348 96。兩種方法的可靠指標(biāo)幾乎相同,證明本文方法可行。

經(jīng)過1×107次模擬,直接抽樣蒙特卡羅法求得參數(shù)如下:β=2.346 2,Pf=0.009 5,σPf=3.064 7×10-5。

設(shè)重要抽樣蒙特卡羅法的抽樣中心為設(shè)計(jì)點(diǎn)(11.185 5,1.654 9),經(jīng)過1×107次模擬,重要抽樣蒙特卡羅法求得參數(shù)如下:β=2.344 3,Pf=0.009 5,σPf=4.942 0×10-6。由此可見,與直接抽樣蒙特卡羅法相比,在模擬次數(shù)相同時,重要抽樣蒙特卡羅法的失效概率標(biāo)準(zhǔn)差σPf明顯偏小,說明重要抽樣蒙特卡羅法的改進(jìn)效果較好。

將FOSM法、MCS法和本文方法的計(jì)算量和計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比,結(jié)果見表1和表2,其中,FOSM法取JC法的數(shù)據(jù),MCS法取重要抽樣蒙特卡羅法的數(shù)據(jù)。

表1 數(shù)值算例下FOSM法、MCS法和本文方法

表2 數(shù)值算例下FOSM法、MCS法和本文方法

由表1和表2可以看出:本文方法的迭代次數(shù)少于MCS法,計(jì)算結(jié)果比FOSM法更接近MCS法。由此可得出,本文方法比MCS法效率更高,比FOSM法更精確。

在不同確定度下，X1、X2的均值μX1、μX2以及標(biāo)準(zhǔn)差σX1、σX2會有不同的變化范圍，此時通過本文方法計(jì)算得到的對應(yīng)可靠指標(biāo)β也會有不同的變化范圍和不確定度。不同不確定度下的μX1、μX2、σX1、σX2、β的變化范圍以及β的不確定度如表3和表4所示。

表3 不同均值不確定度下μX1、μX2、β的變化范圍及β的不確定度

表4 不同標(biāo)準(zhǔn)差不確定度下σX1、σX2、β的變化范圍及β的不確定度

由表3和表4可知均值和標(biāo)準(zhǔn)差的不確定度與β的不確定度之間的關(guān)系,如圖2所示。

(a)均值的不確定度與β的不確定度的關(guān)系

(b)標(biāo)準(zhǔn)差的不確定度與β的不確定度的關(guān)系圖2 均值和標(biāo)準(zhǔn)差的不確定度與β的不確定度的關(guān)系

對表3、表4、圖2進(jìn)行分析,可得如下結(jié)論:

(1)β與均值呈正比關(guān)系,與標(biāo)準(zhǔn)差呈反比關(guān)系;

(2)β的不確定度與均值、標(biāo)準(zhǔn)差的不確定度分別呈現(xiàn)線性關(guān)系;

(3)均值的不確定度為8%時,β的不確定度為43.34%,標(biāo)準(zhǔn)差的不確定度為20%時,β的不確定度為40.07%,證明均值對β的影響比標(biāo)準(zhǔn)差對β的影響大一倍。

4 懸臂梁的可靠性分析

懸臂梁[24]長度為L,矩形橫截面的寬和高分別為b和h。懸臂梁末端承受的水平載荷和豎直載荷分別為Ph、Pv,末端許可撓度[ω]=3 mm。懸臂梁的材料為45號鋼,彈性模量E=210 GPa,屈服極限σs=350 MPa。此時,變量X=[b,h,L,Ph,Pv]。

設(shè)寬度b/mm～N(100,52),高度h/mm～N(200,52),Ph/kN∈[45,75],Pv/kN∈[22,28]。長度L的均值為1 000 mm,變異系數(shù)V=0.01,由式(13)可知L/mm～N(1 000,102)。根據(jù)正態(tài)分布的3σ準(zhǔn)則可知,Ph/kN～N(60,52),Pv/kN～N(25,12)。

4.1 考慮撓度失效的可靠性分析

矩形截面的梁彎曲變形時,橫截面對中性軸的慣性矩IZ為

(31)

當(dāng)懸臂梁的一端承受集中力Pv時,最大撓度ωmax為

(32)

所以,當(dāng)懸臂梁的一端承受Ph、Pv兩個集中載荷時,產(chǎn)生的最大撓度為

(33)

考慮撓度失效時,功能函數(shù)g1為

(34)

由于此功能函數(shù)比較復(fù)雜,求導(dǎo)煩瑣,雅可比矩陣較難獲取,此處不再與FOSM法進(jìn)行對比。

經(jīng)過50次迭代,本文方法求得參數(shù)如下:MPP為(111.27,202.32,994.48,51.34,25.01),g1=-0.488 3,β=3.303 6,Pf=4.77×10-4。求解過程中β和Pf的變化如圖3所示。

圖3 撓度失效求解過程中β和Pf的變化

由圖3可知,本文方法在前10次迭代中收斂較快,而在后40次迭代中收斂較慢。

4.2 考慮應(yīng)力失效的可靠性分析

矩形截面的梁彎曲變形時,梁的抗彎截面系數(shù)WZ為

(35)

式中ymax為懸臂梁中性層到橫截面兩端的最大距離。

當(dāng)懸臂梁一端承受Ph、Pv兩個集中載荷時,矩形截面上產(chǎn)生的最大應(yīng)力σmax為

(36)

考慮應(yīng)力失效時,功能函數(shù)g2為

(37)

經(jīng)過1 000次迭代,JC法求得參數(shù)如下:MPP為(84.97,195.93,100 2.76,60.0,25.0),g2=48.756 6,β=3.126 1,Pf=8.857 2×10-4。

經(jīng)過500次迭代,本文方法求得參數(shù)如下:MPP為(85.4,192.9,100 4.0,70.7,25.0),g2=-0.024 0,β=3.904 1,Pf=4.728 8×10-5。求解過程中β和Pf的變化如圖4所示。

圖4 應(yīng)力失效求解過程中β和Pf的變化

由圖4可知,本文方法在前70次迭代中收斂較快,而在后430次迭代中收斂較慢。

采用式(28)的模擬退火法及式(29)的回火退火法計(jì)算可靠指標(biāo),分別運(yùn)行6次后得到兩組結(jié)果,分別為:3.896 6、3.920 5、3.983 8、3.911 4、3.931 4、3.949 6,以及3.914 0、3.988 3、3.916 4、3.955 7、3.952 9、3.889 2?？煽恐笜?biāo)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)見表5。

表5 可靠指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

分析表5可知,在相同的迭代次數(shù)下,回火退火法的算術(shù)平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和極差都較大,回火退火法的改進(jìn)效果較差。這是因?yàn)榛鼗鹜嘶鸱m然提高了全局搜索能力,但是犧牲了局部搜索能力。如果將其應(yīng)用于強(qiáng)欺騙性、多模態(tài)、多漏斗的函數(shù),情況可能相反。

經(jīng)過1×107次模擬,直接抽樣蒙特卡羅法求得參數(shù)如下:β=3.828 0,Pf=6.460 0×10-5,σPf=2.541 6×10-6。

設(shè)重要抽樣蒙特卡羅法的抽樣中心為設(shè)計(jì)點(diǎn)(84.97,195.93,1 002.7,60,25),經(jīng)過1×107次模擬,重要抽樣蒙特卡羅法求得參數(shù)如下:β=3.835 4,Pf=6.267 7×10-5,σPf=4.120 8×10-8。與直接抽樣蒙特卡羅法相比,在模擬次數(shù)相同時,重要抽樣法的失效概率標(biāo)準(zhǔn)差σPf明顯偏小,說明重要抽樣蒙特卡羅法的改進(jìn)效果較好。

FOSM法、MCS法和本文方法的計(jì)算量見表6,計(jì)算結(jié)果見表7。

分析表6和表7可知,本文方法的迭代次數(shù)比MCS法更少,所以本文方法比MCS法效率更高。FOSM法的失效概率與MCS法相比相差一個數(shù)量級,誤差非常大,而本文算法的失效概率4.8×10-5更接近MCS法的失效概率6.3×10-5,說明本文方法比FOSM法更精確。由于本文方法和MCS法都不需要計(jì)算雅可比矩陣,所以FOSM法的結(jié)果誤差較大極有可能是由于雅可比矩陣條件數(shù)過大導(dǎo)致的。

表6 懸梁臂可靠性分析時FOSM法、MCS法和本文方法的計(jì)算量

表7 懸梁臂可靠性分析時FOSM法、MCS法和本文方法的計(jì)算結(jié)果

根據(jù)考慮撓度和應(yīng)力失效的雙失效模式系統(tǒng)的迭代結(jié)果可知,撓度的失效概率比應(yīng)力大,且雙失效模式的串聯(lián)系統(tǒng)的失效概率Pf=5.24×10-4。

4.3 均值的不確定度對可靠指標(biāo)的影響

改變均值的不確定度,并保持標(biāo)準(zhǔn)差不變,本文方法所得的可靠指標(biāo)及可靠指標(biāo)的不確定度見表8。

表8 不同均值不確定度下的可靠指標(biāo)及可靠指標(biāo)的不確定度

由表8可知均值的不確定度與撓度失效和應(yīng)力失效可靠指標(biāo)的不確定度之間的對應(yīng)關(guān)系,如圖5所示。

圖5 可靠指標(biāo)受均值不確定度的影響

由表8和圖5可以看出:

(1)在均值不確定度為2%時,撓度失效可靠指標(biāo)的不確定度為3.12%,應(yīng)力失效可靠指標(biāo)的不確定度為13.88%,撓度與應(yīng)力可靠指標(biāo)的不確定度分別呈1.5倍和6倍的關(guān)系;

(2)觀察其他均值不確定度的情況可看出,撓度與應(yīng)力可靠指標(biāo)的不確定度分別呈線性關(guān)系,而且分別呈近似1.5倍和5倍的關(guān)系;

(3)均值的不確定度對應(yīng)力的影響是對撓度的影響的4～5倍。

5 結(jié) 論

(1)FOSM法需要計(jì)算雅可比矩陣,而病態(tài)的雅可比矩陣會導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果誤差大大增加。分析懸臂梁應(yīng)力失效時,FOSM法的結(jié)果異于MCS法和本文方法,這極有可能是由雅可比矩陣為病態(tài)矩陣引起的。

(2)傳統(tǒng)的罰函數(shù)法的收斂性依賴于罰因子初始值的選取,而本文方法的收斂性并不依賴于拉格朗日乘子和罰因子的初始值。本文采用增廣乘子法將有約束優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換成無約束優(yōu)化問題,成功避免了罰因子初始值的選取。

(3)本文方法的迭代次數(shù)介于FOSM法和MCS法之間,且結(jié)果更接近于MCS法。本文方法有望拓展到具有多個極限狀態(tài)方程的多學(xué)科可靠性分析及優(yōu)化問題中。