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(1.湖北輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，武漢 430070；2.武漢工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，武漢 430205；3.武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，武漢 430205)

0 引言

計(jì)算超高壓圓筒容器爆破壓力公式的精度，是指公式的理論值與實(shí)測爆破壓力的符合程度，反映了理論值與實(shí)測值的重現(xiàn)性，公式的精度高是指爆破壓力理論值與實(shí)測值的符合程度高。

對于設(shè)計(jì)壓力大于100 MPa的超高壓圓筒容器，可用流變應(yīng)力公式(Rheological stress formula)或者福貝爾公式(Faupel formula)計(jì)算其爆破壓力，并采用不同的爆破安全系數(shù)確定容器的壁厚[1-4]。構(gòu)建超高壓圓筒容器爆破壓力計(jì)算公式精度的比較方法，分析流變應(yīng)力公式與福貝爾公式在其應(yīng)用范圍的精度，拓展公式應(yīng)用范圍或者選擇高精度的公式改進(jìn)超高壓圓筒容器設(shè)計(jì)方法，是值得學(xué)術(shù)界與工程界關(guān)心的課題。

文中應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識[5-6]，構(gòu)建超高壓容器爆破壓力計(jì)算公式精度的比較方法，基于36組超高壓圓筒容器實(shí)測爆破壓力范圍為220.7～1 326.3 MPa的試驗(yàn)數(shù)據(jù)[4,7-11]，對流變應(yīng)力公式與福貝爾公式的精度進(jìn)行分析與比較。

1 建立模型

1.1 總體、樣本與個(gè)體

1.1.1 計(jì)算超高壓圓筒容器爆破壓力兩個(gè)公式

計(jì)算超高壓圓筒容器爆破壓力的流變應(yīng)力公式與福貝爾公式分別為[1-4]:

(1)

(2)

式中u1——爆破壓力的流變應(yīng)力公式計(jì)算值，MPa；

Rm——材料抗拉強(qiáng)度，MPa；

η——材料屈強(qiáng)比，η=Rp0.2/Rm；

Rp0.2——材料屈服強(qiáng)度，MPa；

K——容器徑比；

u2——爆破壓力的福貝爾公式計(jì)算值，MPa。

1.1.2 兩個(gè)公式的應(yīng)用范圍

流變應(yīng)力公式與福貝爾公式的應(yīng)用范圍是設(shè)計(jì)壓力不低于100 MPa的超高壓圓筒容器，即P≥100 MPa。超高壓圓筒容器的設(shè)計(jì)壓力P、爆破壓力Pb與爆破安全系數(shù)nb之間存在如下關(guān)系：Pb=nbP≥100nbMPa；采用流變應(yīng)力公式時(shí)，爆破安全系數(shù)nb≥2.20[2]，對應(yīng)的爆破壓力Pb≥220 MPa；采用福貝爾公式時(shí)，爆破安全系數(shù)nb≥2.50[1,4]，對應(yīng)的爆破壓力Pb≥250 MPa。

根據(jù)以上分析，從設(shè)計(jì)壓力的角度流變應(yīng)力公式與福貝爾公式的應(yīng)用范圍是相同的，但是從超高壓圓筒容器爆破壓力的角度，流變應(yīng)力公式與福貝爾公式的應(yīng)用范圍不相同，并且流變應(yīng)力公式的應(yīng)用范圍比福貝爾公式廣。

1.1.3 總體、樣本與個(gè)體及其關(guān)系

從概率論的角度，總體是指在公式應(yīng)用范圍內(nèi)，所有超高壓容器爆破壓力實(shí)測值與理論值的重現(xiàn)性關(guān)系；從數(shù)理統(tǒng)計(jì)角度，個(gè)體是指在滿足總體要求時(shí)，單個(gè)超高壓容器爆破壓力實(shí)測值與理論值的重現(xiàn)性關(guān)系，可通過試驗(yàn)得到；符合總體要求的個(gè)體集合稱為樣本，其中個(gè)體數(shù)量稱為樣本容量。

顯然，總體討論的對象是無限的，得到的結(jié)論具有普適性；雖然樣本容量有限，但是構(gòu)成樣本的個(gè)體滿足總體的要求，因此，通過樣本可以對總體的性質(zhì)(概率分布規(guī)律與分布參數(shù)等)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)或者估計(jì)。

1.1.4 采用比值法構(gòu)建隨機(jī)變量

為了比較流變應(yīng)力公式與福貝爾公式的精度，在公式應(yīng)用范圍內(nèi)采用比值法建立如下隨機(jī)變量：

Ri=Pb/ui(i=1,2)

(3)

式中R1——流變應(yīng)力公式對應(yīng)的隨機(jī)變量；

R2——福貝爾公式對應(yīng)的隨機(jī)變量；

Pb——容器實(shí)際爆破壓力，MPa；

ui——爆破壓力的計(jì)算值，MPa，當(dāng)i=1，2時(shí)，u1與u2分別為爆破壓力的流變應(yīng)力公式計(jì)算值與福貝爾公式計(jì)算值。

1.1.5 樣本統(tǒng)計(jì)

根據(jù)以上分析，可將滿足公式應(yīng)用范圍的所有超高壓容器實(shí)際爆破壓力視為總體，其中,單個(gè)超高壓容器實(shí)測爆破壓力視為個(gè)體，若干個(gè)個(gè)體數(shù)據(jù)組成樣本。雖然流變應(yīng)力公式與福貝爾公式的應(yīng)用范圍都是設(shè)計(jì)壓力不低于100 MPa的超高壓容器，但是兩個(gè)公式的爆破安全系數(shù)不一樣，其總體、樣本與個(gè)體的實(shí)際爆破壓力范圍顯然不一樣。

對于流變應(yīng)力公式，總體、樣本與個(gè)體的實(shí)測爆破壓力必須滿足：Pb≥220 MPa；對于福貝爾公式，總體、樣本與個(gè)體的實(shí)測爆破壓力必須滿足：Pb≥250 MPa。

用r1與r2分別表示R1與R2的樣本，對于第j個(gè)個(gè)體實(shí)測爆破壓力，根據(jù)式(1)～(3)可得統(tǒng)計(jì)量：

ri,j=Pj/ui,j

(4)

式中Pj——第j個(gè)個(gè)體實(shí)測爆破壓力，MPa；

ui,j——用第i個(gè)公式得到的第j個(gè)個(gè)體爆破壓力的理論值，MPa。

對于容量為mi的樣本ri進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到樣本的準(zhǔn)確度及精密度，即:

(5)

(6)

mi——樣本ri的容量;

Si——樣本ri的精密度。

1.2 公式精度的評價(jià)

1.2.1 評價(jià)指標(biāo)

公式精度根據(jù)總體的性質(zhì),即R1和R2的概率分布規(guī)律與分布參數(shù)進(jìn)行評價(jià)。當(dāng)R1與R2基本符合正態(tài)分布時(shí)，R1的分布參數(shù)分別為均值μ1、標(biāo)準(zhǔn)差σ1與變異系數(shù)C1，其中：

C1=σ1/μ1

(7)

R2的分布參數(shù)分別為均值μ2、標(biāo)準(zhǔn)差σ2與變異系數(shù)C2，其中:

C2=σ2/μ2

(8)

準(zhǔn)確性與集中性是評價(jià)計(jì)算公式在其應(yīng)用范圍內(nèi)精度的兩個(gè)方面；均值μ1與μ2分別是式(2)與式(3)準(zhǔn)確性度量指標(biāo)，其期望值為“1”；變異系數(shù)C1與C2分別是式(1)與式(2)集中性度量指標(biāo)，其期望值為“0”，由于各種因素的影響，其實(shí)際期望值只能是接近“0”的某個(gè)正數(shù)。變異系數(shù)小是均值接近“1”的前提，即其是評價(jià)公式精度的最重要指標(biāo)。

1.2.2 標(biāo)準(zhǔn)差無顯著差異的假設(shè)檢驗(yàn)

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識，用樣本r1和r2的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與F假設(shè)檢驗(yàn)[5-6,12-14]，可判斷流變應(yīng)力公式與福貝爾公式在其應(yīng)用范圍的標(biāo)準(zhǔn)差是否有顯著差異。顯著度為α?xí)r，比較σ1與σ2是否有顯著差異的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F為:

(9)

假設(shè)R1與R2的標(biāo)準(zhǔn)差無顯著差異：σ1=σ2；若F滿足:

F1-0.5α(m1-1,m2-1)≤F≤F0.5α(m1-1,m2-1)

(10)

接受標(biāo)準(zhǔn)差無顯著差異即σ1=σ2的假設(shè)。其中:

(11)

當(dāng)α=0.02時(shí)，文中所用F臨界值見表1[5-6]。

表1 分布系數(shù)

1.2.3 均值無顯著差異的假設(shè)檢驗(yàn)

當(dāng)R1與R2的標(biāo)準(zhǔn)差無顯著差異時(shí)，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識，采用樣本數(shù)據(jù)與t假設(shè)檢驗(yàn)[5-6]，可判斷R1與R2的均值是否有顯著差異。在公式相同應(yīng)用范圍內(nèi)及雙側(cè)置信度為1-α?xí)r，比較均值μ1與μ2是否有顯著差異的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t為：

(12)

假設(shè)均值無顯著差異：μ1=μ2；如果t滿足:

∣t∣

(13)

接受μ1與μ2無顯著差異即μ1=μ2的假設(shè)。

當(dāng)α=0.01時(shí),文中所用t臨界值見表1[5-6]。

1.2.4 兩個(gè)隨機(jī)變量同一性評價(jià)

當(dāng)R1與R2的分布參數(shù)同時(shí)滿足式(10)與式(13)時(shí)，表明其標(biāo)準(zhǔn)差σ1與σ2和均值μ1與μ2分別無顯著差異，由式(7)與式(8)可知，R1與R2的變異系數(shù)也無顯著差異，即式(1)與式(2)在相同應(yīng)用范圍的精度相等。

由于R1與R2的標(biāo)準(zhǔn)差σ1與σ2、均值μ1與μ2以及變異系數(shù)無顯著差異，因此，R1與R2是同一個(gè)基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

1.3 概率分布

R1與R2分別基本符合正態(tài)分布,是進(jìn)行公式精度評價(jià)的基礎(chǔ)，分析其概率分布包括3個(gè)內(nèi)容:一是試驗(yàn)個(gè)體的有效性;二是根據(jù)樣本r1與r2的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分析R1與R2的分布規(guī)律;三是分析R1與R2的分布參數(shù)。

1.3.1 試驗(yàn)個(gè)體的有效性

試驗(yàn)個(gè)體有效性的比較依據(jù)[15-16]為:

(14)

式中ti,j——第i個(gè)公式第j個(gè)個(gè)體有效性的比較依據(jù)。

雙側(cè)置信度為1-α?xí)r，試驗(yàn)個(gè)體有效性的判據(jù)為：

∣ti,j∣

(15)

如果ti,j滿足式(15)，則ri,j在雙側(cè)置信度為1-α?xí)r有效。

當(dāng)α=0.005時(shí),文中所用的t分布臨界值見表1[5-6]。

1.3.2 分布規(guī)律

假設(shè)檢驗(yàn)是判斷R1與R2分布規(guī)律的常用方法，具體步驟見參考文獻(xiàn)[5-6,17-23]。

1.3.3 分布參數(shù)

在自由度為m-1與雙側(cè)置信度為1-α?xí)r，可根據(jù)樣本r1與r2的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析隨機(jī)變量R1與R2分布參數(shù)的取值區(qū)間。

(1)R1分布參數(shù)取值區(qū)間。

R1均值μ1的取值區(qū)間[5-6]為：

μ1∈[μ1min,μ1max]

(16)

其中:

(17)

(18)

式中t1-0.5α,m1-1——單側(cè)置信度為1-0.5α?xí)r的t分布系數(shù)。

r1標(biāo)準(zhǔn)差σ1的取值區(qū)間[5-6]為:

σ1∈[σ1min,σ1max]

(19)

其中:

(20)

(21)

當(dāng)α=0.02時(shí)，文中所用的t與χ2分布系數(shù)見表1[5-6]。

(2)R2分布參數(shù)取值區(qū)間。

R2均值μ2的取值區(qū)間[5-6]為:

μ2∈[μ2min,μ2max]

(22)

其中：

(23)

(24)

式中t1-0.5α,m2-1——單側(cè)置信度為1-0.5α?xí)r的t分布系數(shù)。

R2標(biāo)準(zhǔn)差σ2的取值區(qū)間[5-6]為:

σ2∈[σ2min,σ2max]

(25)

其中:

(26)

(27)

(3)分布參數(shù)的優(yōu)化。

當(dāng)R1與R2的分布參數(shù)同時(shí)滿足式(10)與式(15)時(shí)，表明R1與R2是同一個(gè)基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量R，R分布參數(shù)的取值區(qū)間應(yīng)是R1與R2取值區(qū)間的公共部分。

根據(jù)以上分析，R均值μ的取值區(qū)間為：

μ∈[μmin,μmax]

(28)

其中:

μmin=max(μ1min,μ2min)

(29)

μmax=min(μ1max,μ2max)

(30)

R標(biāo)準(zhǔn)差σ的取值區(qū)間為:

σ∈[σmin,σmax]

(31)

其中:

σmin=max(σ1min,σ2min)

(32)

σmax=min(σ1max,σ2max)

(33)

R變異系數(shù)C的取值區(qū)間為:

C∈[Cmin,Cmax]

(34)

其中：

Cmin=σmin/μmax

(35)

Cmax=σmax/μmin

(36)

2 試驗(yàn)樣本與個(gè)體有效性

2.1 試驗(yàn)樣本與統(tǒng)計(jì)

文獻(xiàn)[4，7-11]中提供的36組超高壓圓筒容器實(shí)測爆破壓力范圍為220.7～1 326.3 MPa的樣本，依次按實(shí)測爆破壓力從小到大列入表2。

表2 超高壓圓筒容器爆破壓力試驗(yàn)樣本及統(tǒng)計(jì)

2.2 個(gè)體有效性分析

對于流變應(yīng)力公式，將36組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度與精密度數(shù)據(jù)代入式(14)與式(15)，可知∣t1,j∣

對于福貝爾公式，將序號為4～36的33組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度與精密度數(shù)據(jù)代入式(14)與式(15)，可知∣t2,j∣

3 分布規(guī)律

表3 分布規(guī)律的統(tǒng)計(jì)

取顯著度為0.05，由自由度3查表1，可得到皮爾遜統(tǒng)計(jì)量臨界值為7.815。

由于樣本r1與r2的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和分別為6.690 8與6.023 5，均小于臨界值7.815，因此假設(shè)成立，即R1與R2分別是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

4 精度的比較與評價(jià)

根據(jù)以上分析，在顯著度為0.05時(shí)，R1與R2是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，可用式(9)～(13)進(jìn)行R1與R2均值與標(biāo)準(zhǔn)差比較。

4.1 精度比較

4.1.1 標(biāo)準(zhǔn)差比較

假設(shè)R1與R2的標(biāo)準(zhǔn)差無顯著差異：σ1=σ2；將表2統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)代入式(9)，可得:F=0.896。

由m1=36與m2=33，查表1得F0.99(35,32)=0.443，F(xiàn)0.01(35,32)=2.290，因此，F(xiàn)滿足式(10)，即:

F0.99(35,32)

在α=0.02,即雙側(cè)置信度為98%時(shí)，接受假設(shè)，R1與R2的標(biāo)準(zhǔn)差σ1與σ2無顯著差異。

4.1.2 均值比較

因?yàn)镽1與R2的標(biāo)準(zhǔn)差無顯著差異，由式(12)可得:t=1.290。

由m1=36與m2=33以及α=0.01，查表1可得：t0.99,67=2.654；均值μ1與μ2是否存在顯著差異比較依據(jù)t滿足判據(jù)式(13)，即滿足∣t∣≤2.654，因此，在α=0.01，即雙側(cè)置信度為98%時(shí)，R1與R2的均值μ1與μ2無顯著差異。

4.2 精度評價(jià)

在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，用流變應(yīng)力公式與福貝爾公式計(jì)算超高壓圓筒容器的爆破壓力，隨機(jī)變量R1與R2的均值μ1與μ2以及標(biāo)準(zhǔn)差σ1與σ2分別無顯著差異。根據(jù)式(7)，(8)可知，其變異系數(shù)C與C1或C2無顯著差異，因此，在對應(yīng)的應(yīng)用范圍內(nèi)，流變應(yīng)力公式與福貝爾公式的精度相同。

以上分析還表明，R1與R2是同一個(gè)基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

5 分布參數(shù)的取值區(qū)間及其優(yōu)化

將表1，2數(shù)據(jù)代入式(16)～(27)，在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，可得到R1與R2分布參數(shù)的取值區(qū)間。

R1均值與標(biāo)準(zhǔn)差的取值區(qū)間分別為：

μ1∈[1.004 4，1.069 0]

(37)

σ1∈[0.061 24，0.107 8]

(38)

R2均值與標(biāo)準(zhǔn)差的取值區(qū)間分別為:

μ2∈[0.975 4，1.047 2]

(39)

σ2∈[0.064 05，0.115 8]

(40)

由于R1與R2可視為基本符合正態(tài)分布的同一隨機(jī)變量R，因此，將式(37)～(40)代入式(28)～(36)，可分別得到R均值、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)的取值區(qū)間:

μ∈[1.004 4，1.047 2]

(41)

σ∈[0.061 24，0.107 8]

(42)

C∈[0.058 48，0.107 3]

(43)

6 結(jié)語

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論知識，構(gòu)建了超高壓圓筒容器爆破壓力計(jì)算公式精度的評價(jià)指標(biāo)與比較方法。基于36組超高壓圓筒容器實(shí)測爆破壓力樣本，分析比較了流變應(yīng)力公式與福貝爾公式在其應(yīng)用范圍的精度。

(1)雙側(cè)置信度為99.5%時(shí)，對于流變應(yīng)力公式，文中超高壓圓筒容器實(shí)測爆破壓力范圍為220.7～1 326.3 MPa的樣本,36組個(gè)體試驗(yàn)數(shù)據(jù)是有效的；對于福貝爾公式，文中超高壓圓筒容器實(shí)測爆破壓力范圍為255.1～1 326.3 MPa的樣本,33組個(gè)體試驗(yàn)數(shù)據(jù)是有效的。

(2)顯著度為0.05時(shí)，36組超高壓圓筒容器實(shí)測爆破壓力與流變應(yīng)力公式之比，以及33組超高壓圓筒容器實(shí)測爆破壓力與福貝爾公式理論值之比，分別是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

(3)雙側(cè)置信度為98%時(shí)，以上兩個(gè)隨機(jī)變量分布參數(shù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別無顯著差異，可視為同一個(gè)基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量；該隨機(jī)變量的均值位于1.004 4～1.047 2之間，標(biāo)準(zhǔn)差位于0.061 24～0.107 8之間，變異系數(shù)位于0.058 48～0.107 3之間。

(4)對于設(shè)計(jì)壓力不低于100 MPa的超高壓圓筒容器，采用流變應(yīng)力公式(爆破安全系數(shù)不小于2.20)與福貝爾公式(爆破安全系數(shù)不小于2.50)進(jìn)行基于爆破壓力的壁厚設(shè)計(jì)計(jì)算具有相同的精度。