尹 文，祖鐵軍，賀清明，曹良志

(西安交通大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 ，陜西 西安 710049)

全陶瓷微密封(FCM)燃料是一種彌散顆粒燃料，也是一種事故容錯燃料(ATF)，燃料區(qū)由基質(zhì)和TRISO燃料顆粒組成[1]。FCM燃料存在雙重非均勻性，分別是燃料棒內(nèi)燃料顆粒的非均勻性和燃料棒的非均勻性。傳統(tǒng)的共振計算方法[2-5]無法處理FCM燃料的雙重非均勻性。針對雙重非均勻性效應(yīng)對自屏計算提出的挑戰(zhàn)，國際上開展了大量研究[6]。第1類方法是基于雙重非均勻系統(tǒng)輸運理論的方法，該方法由Hébert[7]和Sanchez等[8]分別提出，由于該方法需要建立三維的輸運方程進(jìn)行求解，因此計算代價較大。第2類方法是采用常規(guī)燃料的自屏計算方法計算顆粒的有效自屏截面，然后采用丹可夫修正因子對截面進(jìn)行修正，考慮雙重非均勻性對有效自屏截面的影響，但該方法不能對顆粒和基質(zhì)進(jìn)行均勻化處理，一般直接采用體積權(quán)重得到自屏截面，會引入計算偏差[9]。第3類方法是采用缺陷因子方法對顆粒和基質(zhì)進(jìn)行均勻化處理，將雙重非均勻系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等效的單重非均勻系統(tǒng)，然后采用常規(guī)燃料的自屏計算方法計算等效系統(tǒng)的有效自屏截面，該方法最早由Jülich研究中心提出并應(yīng)用于VSOP程序，該方法通過求解超細(xì)群慢化方程或通過穿透概率及碰撞概率等價得到缺陷因子，并用缺陷因子修正超細(xì)群或多群截面從而將基質(zhì)和TRISO顆粒均勻化[10]，能方便地應(yīng)用于現(xiàn)有的程序中。

為能更加精確地對FCM燃料進(jìn)行自屏計算，本文基于超細(xì)群方法建立FCM燃料的有效多群截面計算方法，分別對雙重非均勻性進(jìn)行處理，通過缺陷因子修正所有核素的截面將燃料和基質(zhì)均勻化，均勻化后的FCM燃料組件即可視為普通壓水堆組件進(jìn)行共振計算，通過求解超細(xì)群慢化方程從而得到共振能量段的有效自屏截面。

1 理論模型

FCM燃料存在雙重非均勻性，在共振自屏計算中必須考慮。FCM燃料的雙重非均勻性分別指燃料棒內(nèi)TRISO顆粒的非均勻性以及FCM燃料棒的非均勻性。TRISO燃料顆粒不僅在共振能區(qū)有非常強(qiáng)烈的非均勻效應(yīng)，而且在熱能區(qū)也存在較強(qiáng)的非均勻效應(yīng)，因此必須對TRISO顆粒的熱能區(qū)也進(jìn)行自屏處理[11]。對于燃料棒內(nèi)TRISO顆粒的非均勻性采用缺陷因子方法對顆粒和基質(zhì)進(jìn)行均勻化處理。對于FCM燃料棒的非均勻效應(yīng)通過丹可夫修正因子等效得到等效一維棒模型來描述[12-13]。最后，對所有一維棒模型求解超細(xì)群慢化方程從而得到共振能量段的有效自屏截面。計算流程如圖1所示。

1.1 超細(xì)群方法

超細(xì)群中子慢化方程可寫為：

(1)

式中：Σi,g為第g群i區(qū)總截面；φi,g為第g群i區(qū)中子通量密度；Vi和Vj分別為第i和第j區(qū)體積；Qj,g為第g群j區(qū)的源項，可采用遞推計算得到；Pj,i,g為第g群中子從j區(qū)到i區(qū)的碰撞概率，可通過數(shù)值積分得到。

圖1 FCM燃料有效多群截面計算流程圖

求解方程(1)即可得到超細(xì)群中子通量。采用下式即可歸并得到有效自屏截面：

(2)

式中：σi,k,g為第i區(qū)、k核素、多群g的有效自屏截面；σi,k,h為第i區(qū)、k核素、超細(xì)群h的截面；φi,h為第i區(qū)、超細(xì)群h的中子通量密度。

1.2 等效均勻化方法

1) 共振能區(qū)等效均勻化模型

為將共振能區(qū)燃料區(qū)均勻化，首先需計算得到共振能區(qū)超細(xì)群缺陷因子，可采用包含TRISO顆粒的一維球模型計算得到。為推導(dǎo)方便，假設(shè)燃料區(qū)只填充有一種類型的顆粒，當(dāng)存在多種類型顆粒時也可采用類似方法推導(dǎo)得到。

包含TRISO顆粒的一維球模型由TRISO顆粒及顆粒外的基質(zhì)組成?；|(zhì)半徑可由下式計算：

Rm=Rt/F1/3

(3)

式中：Rm為一維球模型的基質(zhì)半徑；Rt為TRISO顆粒半徑；F為TRISO顆粒填充率。在顆粒的一維球模型基礎(chǔ)上，將邊界條件設(shè)置為白邊邊界條件，求解一維超細(xì)群中子慢化方程即可得到顆粒各層及基質(zhì)的通量分布。

用反應(yīng)率守恒將顆粒的一維球模型進(jìn)行均勻化，得到的超細(xì)群缺陷因子表達(dá)式如下：

(4)

(5)

2) 熱能區(qū)等效均勻化模型

熱能區(qū)均勻化處理同樣采用缺陷因子修正的方法，但由于熱能區(qū)存在上散射，不能通過求解慢化方程得到缺陷因子。因此本文通過穿透概率及碰撞概率等價得到熱能區(qū)的缺陷因子。

圖2 三維圓柱體模型

穿透概率及碰撞概率等價求解缺陷因子方法采用三維圓柱體模型(圖2)。在該模型中，TRISO顆粒位于圓柱中心，圓柱直徑是TRISO顆粒直徑，中子均勻地從圓柱的底部沿平行于圓柱中心軸方向射入，圓柱高度L可由下式計算得到：

L=4Rt/3F

(6)

通過積分求解可得到中子在該模型中的穿透概率及在TRISO顆粒各層以及基質(zhì)中的碰撞概率。通過下式即可求得多群缺陷因子[14]：

(7)

(8)

(9)

(10)

采用式(5)修正燃料區(qū)各核素的多群截面即可將基質(zhì)與燃料均勻化。

1.3 等效一維圓柱模型

為將復(fù)雜的二維組件問題簡化為一維棒問題，基于丹可夫修正因子守恒將燃料組件中的燃料柵元等效為一維圓柱柵元。丹可夫修正因子定義式為：

C=(I0-I)/I0

(11)

式中：C為丹可夫修正因子；I0為孤立系統(tǒng)中進(jìn)入燃料區(qū)的中子數(shù)；I為真實問題中進(jìn)入燃料區(qū)的中子數(shù)。將整個燃料區(qū)假設(shè)為黑體，采用中子流方法計算可得到每根燃料棒的丹可夫修正因子。同時，丹可夫修正因子也可通過碰撞概率定義為：

(12)

通過等效過程，可將二維燃料組件等效為多個互相獨立的等效一維棒模型，通過求解等效一維棒模型的超細(xì)群慢化方程即可得到有效多群截面。

2 數(shù)值結(jié)果

本文采用的評價核數(shù)據(jù)庫為ENDF/B-Ⅶ.0，能群結(jié)構(gòu)采用WLUP-69，參考解由連續(xù)能量的蒙特卡羅程序計算得到。以下計算問題中任意區(qū)域的溫度為600 K，基質(zhì)材料為碳化硅，幾何與材料參考文獻(xiàn)[15]。

2.1 FCM單柵元問題

1) 燃料柵元問題

FCM單柵元燃料問題如圖3所示，該問題的幾何尺寸和材料組分列于表1，TRISO燃料顆粒的幾何尺寸和材料組分列于表2，各材料的核素組成列于表3。TRISO燃料顆粒填充率為30%。

圖3 FCM單柵元燃料問題

區(qū)域半徑或柵距/cm材料燃料0.6252TRISO顆粒+SiC基質(zhì)氣隙0.6337He包殼0.6907FeCrAl慢化劑1.65H2O

表2 TRISO燃料顆粒幾何尺寸和材料組分

表3 材料核素組成

圖4為FCM單柵元燃料區(qū)等效均勻化后共振核素238U和235U的有效自屏吸收截面及其與參考解的相對誤差?？煽闯?，有效自屏吸收截面計算結(jié)果與參考結(jié)果的相對誤差較小，238U的有效自屏吸收截面在大部分能群的相對誤差小于1%，最大相對誤差不超過2.3%；235U的有效自屏吸收截面在大部分能群的相對誤差小于1%，最大相對誤差不超過1.9%。圖5為FCM單柵元燃料問題燃料區(qū)熱能區(qū)修正前后宏觀吸收截面誤差，可看出，未修正時，燃料區(qū)熱能區(qū)宏觀吸收截面誤差較大。這是由于在等效均勻化方法中，在燃料區(qū)進(jìn)行了均勻化處理，若熱能區(qū)不采用缺陷因子進(jìn)行修正，相當(dāng)于在熱能區(qū)采用體積打混均勻化，這樣無法精確描述在熱能區(qū)的TRISO燃料顆粒的自屏效應(yīng)，會引入較大計算誤差。從圖5還可看出，采用多群缺陷因子修正能得到較好的熱能區(qū)自屏截面，能較精確地處理熱能區(qū)TRISO燃料顆粒的自屏效應(yīng)。單柵元燃料問題的無限介質(zhì)增殖因數(shù)計算值為1.512 62，參考值為1.513 68，偏差為-106 pcm。計算結(jié)果表明，基于超細(xì)群方法的FCM燃料的有效多群截面計算方法對于FCM單柵元燃料問題能取得較好的計算結(jié)果。

2) 毒物柵元問題

FCM單柵元毒物問題如圖6所示，該問題的幾何尺寸和材料組分列于表1，TRISO毒物顆粒的幾何尺寸和材料組分列于表4，各材料的核素組成列于表3。TRISO毒物顆粒填充率為30%。

圖7為FCM單柵元毒物問題燃料區(qū)等效均勻化后共振核素238U和235U的有效自屏吸收截面及其相對誤差?？煽吹?，有效自屏吸收截面計算值與參考值誤差較小，238U的有效自屏吸收截面在大部分能群的相對誤差小于1%，最大相對誤差不超過1.6%；235U的有效自屏吸收截面在大部分能群的相對誤差小于1%，最大相對誤差不超過2.5%。圖8為FCM單柵元毒物問題燃料區(qū)熱能區(qū)修正前后宏觀吸收截面的相對誤差，可看出，未修正時，燃料區(qū)熱能區(qū)宏觀吸收截面誤差較大，最大相對誤差超過50%。而采用多群缺陷因子修正能得到較好的熱能區(qū)自屏截面，熱能區(qū)自屏截面的相對誤差基本能控制在2%以內(nèi)，能較精確地處理TRISO毒物顆粒熱能區(qū)的自屏效應(yīng)。單柵元毒物問題的無限介質(zhì)增殖因數(shù)計算值為0.582 58，參考值為0.583 33，偏差為-75 pcm。計算結(jié)果表明，基于超細(xì)群方法的FCM燃料的有效多群截面計算方法對于FCM單柵元毒物問題也能取得較好的計算結(jié)果。

圖4 238U和235U有效自屏吸收截面及相對誤差(FCM單柵元燃料問題)

圖5 燃料區(qū)熱能區(qū)修正前后宏觀吸收截面及相對誤差(FCM單柵元燃料問題)

圖6 FCM單柵元毒物問題

材料半徑/cm材料半徑/cm燃料0.0242IPyC0.0380B4C0.0250SiC0.0415緩沖區(qū)0.0340OPyC0.0455

圖7 238U和235U有效自屏吸收截面及相對誤差(FCM單柵元毒物問題)

2.2 FCM組件問題

FCM燃料組件問題如圖9所示，該問題的幾何尺寸和材料組分取自文獻(xiàn)[15]，TRISO燃料顆粒填充率為30%。

圖10為FCM組件問題1號柵元的燃料區(qū)共振核素238U和235U的有效自屏吸收截面及其誤差，可看到，計算結(jié)果與參考結(jié)果誤差較小，238U的有效自屏吸收截面在大部分能群的相對誤差小于1%，最大相對誤差不超過2.3%；235U的有效自屏吸收截面在大部分能群的相對誤差小于1%，最大相對誤差不超過2.3%。圖11為FCM組件問題1號柵元的燃料區(qū)熱能區(qū)修正前后宏觀吸收截面相對誤差，可看出，未修正時，燃料區(qū)熱能區(qū)宏觀吸收截面誤差較大，最大相對誤差超過20%。而采用多群缺陷因子修正能得到較好的熱能區(qū)自屏截面，熱能區(qū)自屏截面相對誤差基本能控制在1%以內(nèi)，能較精確地處理熱能區(qū)TRISO顆粒的自屏效應(yīng)。FCM組件問題的無限介質(zhì)增殖因數(shù)計算值為1.501 398，參考值為1.502 490，偏差為-109 pcm。計算結(jié)果表明，基于超細(xì)群方法的FCM燃料的有效多群截面計算方法對于FCM組件問題能取得較好的計算結(jié)果。

圖8 FCM單柵元毒物問題燃料區(qū)熱能區(qū)修正前后宏觀吸收截面相對誤差

圖9 FCM組件問題

圖10 238U和235U有效自屏吸收截面及相對誤差(FCM組件問題1號柵元)

圖11 FCM組件問題1號柵元燃料區(qū)熱能區(qū)修正前后宏觀吸收截面相對誤差

3 結(jié)論

針對FCM燃料的雙重非均勻性問題，建立了基于超細(xì)群方法的FCM燃料的有效多群截面計算方法，該方法可適用于大規(guī)模自屏計算，數(shù)值結(jié)果表明：

1) 基于超細(xì)群方法的FCM燃料的有效多群截面計算方法能很好地處理FCM燃料的雙重非均勻效應(yīng)，得到精確的有效自屏截面；

2) 由于TRISO顆粒在熱能區(qū)有很強(qiáng)的自屏效應(yīng)，尤其在TRISO毒物顆粒中，自屏效應(yīng)更強(qiáng)，因此必須對FCM燃料的熱能區(qū)進(jìn)行自屏計算，計算結(jié)果表明，采用缺陷因子能很好地處理FCM燃料的熱能區(qū)自屏效應(yīng)。