吳麗華

摘 要：本文提出了證明敘拉古猜想成立應(yīng)遵循的基本思路。給出了糾纏數(shù)的概念，并指出了糾纏數(shù)是4n+3不能經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單飛行而小于其本身的主要成因。之后又按照敘拉古猜想命題基本原理，對(duì)奇數(shù)4n+3飛行后可以小于其本身進(jìn)行了證明。最終給出了敘拉古猜想成立的簡(jiǎn)易證明。

關(guān)鍵詞：敘拉古猜想 飛行 糾纏數(shù)

第一節(jié) 前言

雜志《科學(xué)世界》2004第9期刊登題為《世紀(jì)難題敘拉古猜想》的文章，闡述了敘拉古猜想問(wèn)題，即：取一個(gè)任意正整數(shù)，連續(xù)進(jìn)行系列運(yùn)算，如果是偶數(shù)，除以2;如果是奇數(shù)乘3加1再除2;在得到的結(jié)果上重復(fù)以上的計(jì)算操作，最終結(jié)果均為1。舉例來(lái)說(shuō)，如果n=5，可以得到：5、16、8、4、2、1;如果n=6，可以得到：6、3、10、5、16、8、4、2、1，等等。如下圖所示：

這個(gè)問(wèn)題很撓頭，因?yàn)樗年愂龇浅：?jiǎn)單，讓人覺(jué)得它似乎同樣容易論證。然而，事實(shí)上并非如此。雖然經(jīng)過(guò)了數(shù)百億個(gè)數(shù)的計(jì)算都得到了正確的結(jié)果，但這并不意味著它就得到了證明，因?yàn)閿?shù)是無(wú)窮的。需要找到一個(gè)推導(dǎo)，確定所有的計(jì)算結(jié)果最終都要回到1。

學(xué)者們還用一組詞來(lái)形容它：從給定的正整數(shù)開(kāi)始經(jīng)過(guò)連續(xù)計(jì)算獲得的數(shù)字稱(chēng)為“飛行”;最后得到1所經(jīng)歷的計(jì)算步數(shù)稱(chēng)作“飛行時(shí)間”;飛行中所得到的最大的數(shù)叫“最大高度”;連續(xù)得到的超過(guò)起始數(shù)的步數(shù)稱(chēng)作“高空飛行時(shí)間”。

運(yùn)用計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)原理，譬如，運(yùn)用計(jì)算機(jī)程序不必完成所有數(shù)的“飛行”。實(shí)事上，當(dāng)“飛行”操作到達(dá)一個(gè)低于起始數(shù)n的數(shù)時(shí)，計(jì)算可停止下來(lái)，因?yàn)樗行∮趎的數(shù)都已經(jīng)驗(yàn)算過(guò)了。這樣不僅可以省去所有k=4n的驗(yàn)算，因?yàn)樗鼈兂?后仍是偶數(shù)，可以過(guò)度到小于k的數(shù);而且還包括了所有k=4n+1的數(shù)。因?yàn)?n+1是奇數(shù)，經(jīng)過(guò)第一步計(jì)算，得到的數(shù)為3×（4n+1）+=12n+4，然后是6n+2，再以后是3n+1，顯然小于k。同樣地，驗(yàn)算k=4n+2也沒(méi)有用，因?yàn)樗?jīng)過(guò)一步計(jì)算得到2n+1，小于k。于是就只剩下所有k=4n+3的數(shù)了。這些推導(dǎo)由葡萄牙人托馬斯.奧利韋拉（Tomas Oliveira）和席爾瓦（Silva）提出。

第二節(jié) 證明敘拉古猜想成立的基本思路

其實(shí)，計(jì)算經(jīng)濟(jì)學(xué)原理及《科學(xué)世界》2004第9期最后由數(shù)學(xué)家杰弗里.拉格尼阿斯（Jeffrey ?Lagarias）提出概率方法均不適用于敘拉古猜想，它不符合敘拉古猜想命題基本要求（論證略）。

證明敘拉古猜想成立的基本思路是：僅僅4n、4n+1、4n+2經(jīng)過(guò)飛行后小于其本身還不夠，我們還必須證明4n+3經(jīng)過(guò)飛行后也能得到小于其本身的數(shù)。這樣，對(duì)于一個(gè)正整數(shù)K，K∈{4n，4n+1，4n+2，4n+3}，當(dāng)其第一次飛行后會(huì)得到一個(gè)小于其本身的數(shù)N，N∈{4m，4m+1，4m+2，4m+3}，我們把N作為新的起始數(shù)再進(jìn)行飛行，又可以得到小于其本身的數(shù)M，M∈{4q，4q+1，4q+2，4q+3}┄┄，這樣飛行的總的趨勢(shì)是向下的，最終會(huì)得到一個(gè)有限的接近1的數(shù)，比如100，而這個(gè)有限的數(shù)是符合敘拉古猜想的，最終可以證明敘拉古猜想最終成立。

依照以上思路，我們來(lái)進(jìn)行敘拉古猜想成立證明。

第三節(jié) 4n+3的分解

我們來(lái)看一下4n+3具體組成。4n+3=3、7、11、15、19、23、31、35、39、43、47、51、55、59……。它可以表述為四個(gè)等差數(shù)列，即：

4n+3∈{16n+3，16n+7，16n+11，16n+15}

={4（4n）+3，4（4n+1）+3，4（4n+2）+3，4（4n+3）+3}

16n+3 16n+7 16n+11 16n+15

3 7 11 15

19 23 27 31

35 39 43 47

┅┅ ┅┅ ┅┅ ┅┅

事實(shí)上，{16n+3，16n+7，16n+11，16n+15}中的四個(gè)等差數(shù)列，也可以看作“4n+3”中的n分別取“4m、4m+1、4m+2、4m+3”值時(shí)得到，即可以表述為：

4n+3∈{16m+3，16m+7，16m+11，16m+15}。

證明4n+3經(jīng)過(guò)飛行后可以得到小于其本身的數(shù)，需要分別證明“{}”中四個(gè)等差數(shù)列經(jīng)過(guò)飛行后均分別小于其本身。

第四節(jié) 16n+系列16n+3的飛行

16n+3飛行后小于其本身。16n+3↗48n+10↘24n+5↗72 n+16↘36 n+8↘18 n+4↘9 n+2<16n+3。其中“↗”代表“乘3加1”，“↘”代表“除2”，以下同。

第五節(jié) 16n+系列16n+7的飛行

16n+7初步飛行不小于其本身。16n+7↗48n+22↘24 n+11↗72 n+34↘36 n+17↗108n+52↘54n+26↘27n+13≮16n+7

第六節(jié) 16n+系列16n+7分解飛行

16n+7∈{64n+7，64n+23，64n+39，64n+55}。

64n+7↗192 n+22↘96 n+11↗288n+34↘144 n+17↗432n+52↘216 n+26↘108 n+13↘324n+40↘162n+20↘81 n+10≮64n+7。

64n+23↗192 n+70↘96 n+35↗288n+106↘144 n+53↗216 n+160↘108 n+40↘54n+20↘27n+10<64n+23

64n+39↗192n+118↘96 n+59↗288n+178↘144 n+89↗432 n+268↘216 n+134↘108n+67↗54n+202↘27n+101≮64n+39

64n+55↗192n+166↘96 n+83↗288n+250↘144 n+125↗432 n+376↘216 n+188↘108n+94↘54n+47<64n+55

我們注意到， 16n+7分解后有50%的數(shù)經(jīng)過(guò)飛行可以小于其本身。

第七節(jié) 16n+系列16n+11初步飛行

16n+11初步飛行不小于其本身。16n+11↗48n+34↘24n+17↗72 n+52↘36 n+26↘18 n+13↘54 n+40↘27n+20≮16n+11。

第八節(jié) 16n+11分解飛行

16n+11∈{64n+11，64n+27，64n+43，64n+59}。

64n+11↗192n+34↘96 n+17↗288n+52↘144 n+26↘72 n+13↗216 n+40↘108 n+20↘54n+10↘27n+5<64n+11

64n+27↗192n+82↘96 n+41↗288n+124↘144 n+62↘72 n+31↗216 n+94↘108 n+47↗324n+142↘162n+71↗486n+214↘243 n+107≮64n+27

64n+43↗192n+130↘96 n+65↗288n+196↘144 n+98↘72 n+49↗216 n+148↘108 n+74↘54n+37<64n+43

64n+59↗192n+178↘96 n+89↗288n+268↘144 n+134↘72 n+67↗216 n+202↘108 n+101↗324n+304↘162n+152↘81n+76≮64n+59

我們注意到64n+27、64n+59飛行后不小于其本身，而64n+11、64n+43飛行后均小于其本身。也就是說(shuō)當(dāng)n取不同的值時(shí)，16n+11經(jīng)過(guò)飛行有50%的可能小于其本身。

我們注意到64n+27的尾數(shù)為27。在小于100的數(shù)中，飛行紀(jì)錄是由27保持的：飛行時(shí)間是111，達(dá)到的最大高度是9232，高空飛行時(shí)間是95。

下面我們對(duì)尾數(shù)為27的數(shù)做飛行檢驗(yàn)。

我們給尾數(shù)27前的變量配以296，它是由294n+27分解所得。我們比照64n+系列64n+27=26n+27∈{256n+27，256n+91，256n+155，256n+219}={28n+27，28n+26+27，28n+27+27，28n+28+27}，拓出294 n+27分解式為：

294n+27∈{296n+27，296n+294+27，296n+295+27，296n+296+27}

可以看出，由于變量前的數(shù)和尾數(shù)具有相同的乘3加1和除2的次數(shù)，當(dāng)尾數(shù)小于27時(shí)，變量前的偶數(shù)也將比起始數(shù)小，即小于294。這樣，對(duì)于296n+27、296n+294+27，經(jīng)過(guò)飛行即可以小于其本身。而對(duì)于296n+294+27、296n+295+27由于尾數(shù)中的294、295在27飛行還未小于27時(shí)，偶數(shù)2已經(jīng)耗盡，使飛行在該分解階內(nèi)不能通過(guò)，需進(jìn)行再次分解。

第九節(jié) 16n+系列16n+15飛行及糾纏數(shù)

16n+15初步飛行不小于其本身。16n+15↗48n+46↘24n+23↗72n+70↘36n+35↗108n+106↘54n+53↗162n+160↘71n+80≮16n+15。

一般地，對(duì)于4n+3系列數(shù)，我們把形如“16n+15”的數(shù)稱(chēng)為糾纏數(shù)。糾纏數(shù)具有無(wú)窮個(gè)。根據(jù)不同級(jí)別的分解，糾纏數(shù)如：

4n+3、6n+5、8n+7、12n+11、16n+15、20n+19、64n+63、128n+127、4096n+4095、16384n+16383┅┅等等。其通式為：2qn+2q-1

我們注意到16n+15在飛行過(guò)程中，產(chǎn)生了很多的較大的糾纏數(shù)，使飛行很難小于其本身。

第十節(jié) 4n+3最終飛行可以小于其本身 ?敘拉古猜想最終成立

如前所述，4n+3飛行很難小于其本身的重要原因是尾數(shù)存在類(lèi)似于27的數(shù)，這些數(shù)高空飛行時(shí)間較長(zhǎng)，致使飛行中耗盡了n前偶數(shù)，飛行操作失去了方向;而4n+3飛行很難小于其本身的主要原因是存在糾纏數(shù)，這些糾纏數(shù)在飛行中產(chǎn)生很多逐漸增大的糾纏數(shù)，使飛行很難小于其本身。那么，4n+3飛行是否會(huì)小于其本身呢？答案是肯定的。下面證明4n+3最終飛行可以小于其本身。

如前所述，4n+3∈{16n+3，16n+7，16n+11，16n+15}。其中，16n+3飛行可以小于其本身，16n+7飛行有50%的數(shù)可以小于其本身，16n+11飛行后有50%的數(shù)可以小于其本身，而糾纏數(shù)16n+15飛行小于其本身最困難。

我們以飛行最困難的16n+15為例，最終證明4n+3飛行可以小于其本身。

我們返過(guò)來(lái)再看一下4n+3的初步分解。

4n+3∈{16n+3，16n+7，16n+11，16n+15}，如下表，16n+15可以寫(xiě)成4（4n+3）+3的形式。很明顯，它是形如“4n+3”。

16n+3 16n+7 16n+11 16n+15

3 7 11 15

19 23 27 31

35 39 43 47

┅┅ ┅┅ ┅┅ ┅┅

4（4n）+3 4（4n+1）+3 4（4n+2）+3 4（4n+3）+3

我們可以看出，形如“16n+15”的等差數(shù)列，他可以寫(xiě)成“4n+3”的形式，即設(shè)：16n+15=4m+3，則：m=4n+3。4m+3又可以分解為形如“16n+3”、“16n+7”、“16n+11”、“16n+15”的等差數(shù)列數(shù)，且可以重復(fù)進(jìn)行，直至無(wú)窮。

4m+3∈{16m+3，16m+7，16m+11，16m+15}，這里m=4n+3。證明4m+3經(jīng)過(guò)飛行后可以得到小于其本身的數(shù)，需要分別證明以上四個(gè)等差數(shù)列經(jīng)過(guò)飛行后均分別小于其本身。

16m+3 16m+7 16m+11 16m+15

3 7 11 15

19 23 27 31

35 39 43 47

51 55 59 63

67 71 75 79

┅┅ ┅┅ ┅┅ ┅┅

4（4m）+3 4（4m+1）+3 4（4m+2）+3 4（4m+3）+3

4（4[4n+3]）+3 4（4[4n+3]+1）+3 4（4[4n+3]+2）+3 4（4[4n+3]+3）+3

16n（4n+3）+3 16[4n+3]+4+3 16[4n+3]+8+3 16[4n+3]+12+3

64n+51 64n+55 64n+59 64n+63

51 55 59 63

115 119 123 127

179 183 187 191

┅┅ ┅┅ ┅┅ ┅┅

16m+3飛行小于其本身 16m+7飛行后有50%的數(shù)可以小于其本身 16m+11飛行后有50%的數(shù)可以小于其本身 16m+15飛行不小于其本身

這樣，對(duì)于糾纏數(shù)“16n+15”，其可以不斷地分解為“16n+3”、“16n+7”、“16n+11”、“16n+15”的形式的數(shù)，其中，“16n+3”飛行小于其本身、“16n+7”、“16n+11”飛行均后有50%的數(shù)可以小于其本身。這種分解可以重復(fù)進(jìn)行，直至無(wú)窮。“16n+7”、“16n+11”也是形如“4n+3”的數(shù)，對(duì)于其飛行不能小于其本身的數(shù)，可以像“16n+15”一樣進(jìn)行分解、飛行，這種分解、飛行同樣直至無(wú)窮。

這樣，對(duì)于K∈{4n+3}，經(jīng)過(guò)分解、飛行最終可以得到一個(gè)小于糾纏數(shù)的數(shù)，這個(gè)數(shù)或經(jīng)過(guò)飛行小于其本身，或經(jīng)過(guò)再分解后飛行小于其本身，最終使得4n+3經(jīng)過(guò)飛行也小于其本身。

則，對(duì)于K∈{4n、4n+1、4n+2、4n+3}，經(jīng)過(guò)飛行均可以小于其本身，敘拉古猜想最終成立。

參考文獻(xiàn)：

《科學(xué)世界》2004第9期