◇張齊華

一 回顧梳理，提出問(wèn)題

師：今天這節(jié)課，我們一起來(lái)研究“正方形中的圓”（板書(shū)課題）。如何在正方形中畫(huà)盡可能大的圓，相信同學(xué)們已經(jīng)有了自己的認(rèn)識(shí)。誰(shuí)愿意和大家分享？

……

師：那么,你們能在正方形中畫(huà)2 個(gè)盡可能大的圓嗎？2個(gè)圓必須同樣大，還不能有重合的部分。想不想試一試？

生：想！

二 嘗試探究，遭遇挫折

師：拿出作業(yè)單，先想象一下這2 個(gè)圓可能在哪里，大概有多大。有思路了，再動(dòng)手試一試。如果獨(dú)立完成有困難，也可以四人小組共同商量思路，然后給出你們的答案。

（學(xué)生獨(dú)立思考后，組內(nèi)交流，嘗試著給出答案。隨后，全班展示）

師：誰(shuí)愿意帶著你們小組的作品，和大家分享？

生：我們小組是這樣的。先把這個(gè)正方形分成2 個(gè)同樣的長(zhǎng)方形，然后，在每個(gè)長(zhǎng)方形里畫(huà)了一個(gè)最大的圓（如圖1）。這2 個(gè)圓不可能更大，而且也一樣大。我們覺(jué)得，這就是正方形里能夠畫(huà)的2 個(gè)最大的圓。

圖1

師：還有不一樣的思路嗎？

生：我們小組是這樣的。因?yàn)檎叫尾豢赡芊殖? 個(gè)同樣大小的小正方形，所以，我們先把正方形分成了4 個(gè)同樣的小正方形，然后，我們?cè)谄渲? 個(gè)小正方形里畫(huà)了最大的圓。我們覺(jué)得，這就是正方形里能夠畫(huà)出的最大的2個(gè)圓。（如圖2）

圖2

師：還有不同的思路嗎？（沒(méi)有學(xué)生再舉手。教師巡視全班，剩下的小組要么作業(yè)紙上一片空白，要么有一些畫(huà)過(guò)的痕跡，但也被擦掉了）那行，關(guān)于屏幕上的這兩種思路，有什么想法？誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)？

生：我覺(jué)得這兩種思路都很好，畫(huà)出來(lái)的圓，也都是正方形里最大的2 個(gè)圓。

生：我有不同意見(jiàn)。我覺(jué)得第一種方法不對(duì)，畫(huà)出來(lái)的圓不是最大的。 如果我們把這個(gè)圓（下面的）移到最右邊，這時(shí)，2 個(gè)圓之間就會(huì)有很大的空隙。這樣，我們就可以把這2 個(gè)圓畫(huà)得更大一些！

師：閉上眼睛，在頭腦里想象一下，你們覺(jué)得他的想法有道理嗎？

生：有！

師：看來(lái)，這2 個(gè)圓，肯定不是正方形里所能畫(huà)的最大的2 個(gè)圓。還有誰(shuí)想繼續(xù)評(píng)價(jià)？

生：我覺(jué)得第二種方法也不對(duì)。大家看，如果我們把這個(gè)大正方形中間的十字線去掉，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這2 個(gè)圓中間也有很大的空隙。也就是說(shuō)，這2 個(gè)圓實(shí)際上還可以畫(huà)得更大！

生：而且，第二種方法畫(huà)出的圓和第一種方法畫(huà)出的圓一樣大。第一種方法錯(cuò)了，第二種方法肯定也是錯(cuò)的！

師：現(xiàn)在看來(lái)，這兩種方法都是錯(cuò)誤的。不過(guò)，老師希望大家先給這兩個(gè)小組最熱烈的掌聲?。▽W(xué)生掌聲）大膽猜一猜，明明錯(cuò)了，為何我們還要給他們熱烈的掌聲？

生：因?yàn)樗麄兏矣趪L試。

生：因?yàn)槔蠋熞郧罢f(shuō)過(guò)，錯(cuò)誤也是一種資源，我們可以從別人的錯(cuò)誤中學(xué)到東西。

生：我覺(jué)得至少他們已經(jīng)開(kāi)始思考了。

師：是的！剛才，張老師巡視了一圈，全班同學(xué)中，除了這兩個(gè)小組給出了自己的思考，剩下小組的學(xué)習(xí)單上，要么什么都沒(méi)有，要么只留了一些畫(huà)過(guò)的痕跡，但最終也給擦掉了。老師很好奇，為何你們的作品上什么都沒(méi)有？

生：因?yàn)槲覀儾恢肋@個(gè)問(wèn)題到底該怎么解答。

生：我們覺(jué)得，要想畫(huà)出最大的2 個(gè)圓，必須得找到正方形。就像前面我們說(shuō)的，正方形里之所以能夠畫(huà)出4 個(gè)或9 個(gè)圓，是因?yàn)檎叫慰梢苑殖? 個(gè)或9 個(gè)小正方形。但現(xiàn)在，正方形怎么都不能分成2 個(gè)同樣的小正方形。

生：我們小組其實(shí)一開(kāi)始的思路和屏幕上的第二種方法一樣。 但畫(huà)完以后，同桌就提出來(lái)，這2 個(gè)圓不是最大的，還有比它們更大的圓，就像剛才那位同學(xué)所說(shuō)的那樣。所以，我們最后還是把它們給擦了。

三 再度探索，多樣表達(dá)

師：因?yàn)檎也坏酱_切的思路而交了白卷；或者發(fā)現(xiàn)原有的思路不合適，又找不到更好的思路，而最終選擇了放棄。這無(wú)疑是非常遺憾的！張老師送大家兩點(diǎn)建議。第一，如果你實(shí)在找不到解決問(wèn)題的確切思路，不妨回到最原始的方法——嘗試，不合適就調(diào)整，再?lài)L試，再調(diào)整。慢慢地，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，答案離你越來(lái)越近。第二，如果你實(shí)在找不到最準(zhǔn)確的答案，沒(méi)關(guān)系，你至少可以先找一個(gè)比較接近的答案。請(qǐng)大家一定記住，有總比沒(méi)有好。愿意接受張老師的這兩點(diǎn)忠告嗎？

生：愿意！

師：那行，帶著這兩點(diǎn)忠告，再一次回到你們的學(xué)習(xí)單上，看看這一回，你們又可以獲得哪些新的進(jìn)展。

（學(xué)生再一次小組合作展開(kāi)研究。研究過(guò)程中，有一個(gè)小組提出，想借助電腦進(jìn)行探索，教師同意了他們的請(qǐng)求。 研究結(jié)束后，全班匯報(bào)）

生：我們小組經(jīng)過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)這2 個(gè)最大的圓，它們的半徑應(yīng)該比2.8 厘米要大一點(diǎn)點(diǎn)。 我們先畫(huà)了2 個(gè)半徑2.5厘米的圓，但發(fā)現(xiàn)它們還不是最大的，中間還有空隙。于是，我們把圓規(guī)的兩腳稍微張大了一點(diǎn)，又畫(huà)了2 個(gè)圓，發(fā)現(xiàn)好像還有點(diǎn)小。然后，我們又把圓規(guī)的兩腳稍微張大了一點(diǎn)，這一次，我們感覺(jué)很接近了。我們量了一下，這2 個(gè)圓的半徑大約是2.9 厘米。（如圖3）

圖3

生：我們小組也是這樣嘗試的。但是在調(diào)整的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，一不小心，我們的圓就畫(huà)到正方形外面去了。然后，我們就再調(diào)整，爭(zhēng)取把圓畫(huà)在正方形的里面。經(jīng)過(guò)嘗試，我們最后畫(huà)出的圓，半徑是2.8 厘米左右。

生： 我們小組經(jīng)過(guò)嘗試發(fā)現(xiàn)，這2 個(gè)圓的圓心，肯定在正方形的對(duì)角線上。所以，我們就先畫(huà)了一條對(duì)角線，然后在上面嘗試著確定圓心（如圖4）。畫(huà)完后，發(fā)現(xiàn)不行，還嫌小，然后我們繼續(xù)調(diào)整。最后，我們發(fā)現(xiàn)，這2個(gè)圓的半徑都在2.9 厘米左右。

圖4

生：我們的方法和他們有點(diǎn)類(lèi)似。 通過(guò)前面兩個(gè)小組的交流，我們發(fā)現(xiàn)，這2 個(gè)圓的直徑肯定比5 厘米大。 于是我們就決定先試一試直徑6 厘米。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，直徑6 厘米稍微大了點(diǎn)。于是，我們又決定試一試直徑5.5 厘米，發(fā)現(xiàn)直徑5.5 厘米又小了點(diǎn)。 然后再試一試直徑5.7 厘米。結(jié)果發(fā)現(xiàn)大小差不多了。所以，我們覺(jué)得，這2 個(gè)圓的直徑差不多是5.7 厘米。

生：通過(guò)觀察前面幾個(gè)小組的匯報(bào)，我發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律。其實(shí)，我們只要把這個(gè)正方形分成2 個(gè)同樣大的三角形，（如圖5）然后，只要想辦法在每個(gè)三角形里畫(huà)出最大的圓就可以了。

圖5

師：把在正方形中畫(huà)最大的2 個(gè)圓，轉(zhuǎn)化成了在等腰直角三角形中畫(huà)最大的1 個(gè)圓。真好！當(dāng)然，只憑我們現(xiàn)在所學(xué)的知識(shí)，這個(gè)問(wèn)題還是沒(méi)辦法解決。但是到了初中，利用平面幾何的有關(guān)知識(shí)，這個(gè)問(wèn)題就變得非常簡(jiǎn)單了！回顧剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，從一開(kāi)始大家都無(wú)所適從，到現(xiàn)在，每一個(gè)小組都找到了屬于自己的答案。雖然這個(gè)答案離準(zhǔn)確的答案還有一點(diǎn)點(diǎn)距離，但至少已經(jīng)相當(dāng)接近了！張老師真心為大家點(diǎn)贊！不過(guò)，剛才還有一個(gè)小組借用了我的筆記本電腦，說(shuō)可以在電腦上進(jìn)行探索。 你們又是如何探索的，有結(jié)論了嗎？

生： 我們?cè)赪ord 文檔里先畫(huà)了一個(gè)邊長(zhǎng)10 厘米的正方形，這個(gè)尺寸是可以通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)設(shè)置的。然后，我們又畫(huà)了2 個(gè)直徑5 厘米的圓。畫(huà)完后，我們一調(diào)整位置，果然發(fā)現(xiàn)直徑5 厘米的圓不是最大的。于是，我們又通過(guò)調(diào)整數(shù)據(jù)，畫(huà)了2 個(gè)直徑5.5 厘米的圓，發(fā)現(xiàn)好像還不夠大，還有空隙。然后，我們又繼續(xù)調(diào)整數(shù)據(jù)，最終，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓的直徑差不多是5.85 厘米時(shí)，這2 個(gè)圓才是最大的。

師：厲害！電腦作圖，調(diào)整起來(lái)特別方便，數(shù)據(jù)也更精準(zhǔn)。當(dāng)然，這里的5.85 厘米可能還不是最后的答案，真正的答案究竟是多少，也許還有待于我們繼續(xù)進(jìn)行深入的研究。

四 反思回顧，拓展延伸

師：回顧今天的學(xué)習(xí)過(guò)程，有收獲嗎？

生：我覺(jué)得，遇到難題，如果實(shí)在找不到思路，可以用最笨的方法來(lái)嘗試。 試完發(fā)現(xiàn)不對(duì)，可以再調(diào)整。

生：我覺(jué)得我們已經(jīng)越學(xué)越笨了。一遇到?jīng)]見(jiàn)過(guò)的題，就不知道該怎么辦了。 今天的學(xué)習(xí)，讓我明白了一個(gè)道理，有比沒(méi)有好！ 實(shí)在找不到最準(zhǔn)確的結(jié)果，哪怕找一個(gè)比較接近的結(jié)果也好！

生：我有一個(gè)問(wèn)題。這道題的答案到底是多少，確定是5.85 厘米嗎？

師：?jiǎn)柕煤茫∫酝臄?shù)學(xué)問(wèn)題，最終總會(huì)有一個(gè)準(zhǔn)確的答案。但是，這道題到底有沒(méi)有精確的答案？如果有，又會(huì)是多少呢？有興趣的同學(xué)，課后可以繼續(xù)研究。課的最后，張老師想留一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，還是關(guān)于正方形中的圓。猜猜看，這一回，又會(huì)讓你在正方形里畫(huà)幾個(gè)同樣大的圓呢？

生：我覺(jué)得是3 個(gè)。

生：我覺(jué)得是5 個(gè)。

師：可不要小看這兩個(gè)數(shù)哦。個(gè)數(shù)每增加1，問(wèn)題的復(fù)雜程度有可能會(huì)增加很多很多哦。

生：不一定！從3 個(gè)增加到4 個(gè)，問(wèn)題反而會(huì)變簡(jiǎn)單！

生：我發(fā)現(xiàn)，隨著個(gè)數(shù)的變化，問(wèn)題的難度就像一幅折線統(tǒng)計(jì)圖，先是低，然后是高，再高，然后又低，接著再高，更高……

師：當(dāng)圓的個(gè)數(shù)變成3 或5，問(wèn)題的難度究竟會(huì)有多高？希望同學(xué)們能夠把今天課堂的學(xué)習(xí)所獲，用到新的探索中去。最后，別忘了把你的研究過(guò)程，撰寫(xiě)成一篇數(shù)學(xué)小論文哦。