吳冬梅，豐建文，王勁毅，趙 毅

深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東深圳518060

復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)是由數(shù)量巨大的節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)間連邊所構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)、動(dòng)力學(xué)演化及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征與節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)間關(guān)系等的復(fù)雜性，使其成為非線性科學(xué)的研究熱點(diǎn)之一，特別是網(wǎng)絡(luò)同步現(xiàn)象受到多個(gè)學(xué)科的廣泛關(guān)注[1-3]，這主要是由于它不僅在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[4]、生物學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)[5]、安全通信[6]、圖像處理[7]及自動(dòng)控制[8]等許多現(xiàn)實(shí)人造系統(tǒng)領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用，而且在理論上具有極強(qiáng)的挑戰(zhàn)性. 迄今為止，網(wǎng)絡(luò)同步的研究已提出多種同步模式，如指數(shù)同步[9]、完全同步[10]、簇同步[11]、相位同步[12]、擬同步[13]、廣義同步[14]及有限時(shí)間同步[15]等，并涌現(xiàn)大量?jī)?yōu)秀研究成果.

隨著對(duì)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步問題的深入研究，網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型也在不斷改進(jìn)，日趨符合現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)，在網(wǎng)絡(luò)同步的相關(guān)研究中，人們不僅考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化，且越來越關(guān)注網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行因素的影響. CHEN等[16]研究帶有多時(shí)滯的反應(yīng)耗散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；ZHOU等[17]討論帶有輸入和輸出時(shí)滯的線性系統(tǒng)；LI等[15]研究帶有時(shí)變時(shí)滯非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間同步，但忽略了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間時(shí)滯的影響，這主要是由于網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行中信道不暢導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)間傳遞信息產(chǎn)生的滯后，并與時(shí)間密切相關(guān). 本研究的網(wǎng)絡(luò)模型同時(shí)考慮網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間信息傳遞無時(shí)滯和有時(shí)滯的情形，所考慮的時(shí)滯是時(shí)變的.

網(wǎng)絡(luò)同步一般通過對(duì)其實(shí)施外部控制實(shí)現(xiàn)，各種控制策略，如狀態(tài)反饋控制[17]、自適應(yīng)控制[18]、脈沖控制[19]及間歇控制[20]等已成功用于網(wǎng)絡(luò)同步中．間歇控制由于其控制成本低，容易實(shí)施且具有較強(qiáng)的魯棒性，而頗受青睞. LIU等[21]基于周期間歇牽制控制策略研究有向網(wǎng)絡(luò)的簇步．但周期間歇在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用是不合理或不必要的，非周期間歇更符合實(shí)際系統(tǒng)，如風(fēng)能發(fā)電或太陽(yáng)能發(fā)電系統(tǒng)是經(jīng)典的非周期間歇控制系統(tǒng)．因此，將非周期間歇策略應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)同步研究，具有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義．2015年，LIU等[22]成功將非周期間歇控制用于一類帶有時(shí)滯非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題. LIU等[23]利用非周期間歇牽制控制，研究混合耦合動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步. 為進(jìn)一步節(jié)省通信通道和帶寬，提出對(duì)數(shù)量化控制器用來研究各種不同類型耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定和同步問題. 對(duì)數(shù)量化控制器是一類比較特殊的非線性量化器，由于其具有密度小等優(yōu)點(diǎn)，近年受到學(xué)界關(guān)注. XIAO等[24]基于量化數(shù)據(jù)采樣控制研究混沌Lur’s系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題；SONG等[25]通過量化輸出反饋控制考慮非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性；XU等[26]基于量化間歇牽制控制考慮網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步.充分考慮到非周期間歇和量化控制的優(yōu)勢(shì)，將它們有機(jī)結(jié)合來研究網(wǎng)絡(luò)同步可以有效減少系統(tǒng)的量化誤差、降低消耗、減少成本和提高效率等，具有重要理論意義和應(yīng)用價(jià)值.

受到上述分析及相關(guān)研究的啟發(fā)，本研究利用非周期量化間歇控制，討論一類節(jié)點(diǎn)間同時(shí)具有無時(shí)滯和時(shí)變時(shí)滯耦合網(wǎng)絡(luò)的同步問題，該網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)也具有時(shí)變時(shí)滯．通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)臅r(shí)間依賴Lyapunov函數(shù)，經(jīng)過嚴(yán)格理論分析，得到實(shí)現(xiàn)該類網(wǎng)絡(luò)同步的若干充分條件．通過數(shù)值模擬驗(yàn)證結(jié)果有效．

1 模型描述

考慮含N個(gè)節(jié)點(diǎn)且?guī)в芯€性耦合耗散的時(shí)變時(shí)滯動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，

(1)

(2)

系統(tǒng)(1)滿足初值：xi(s)=φi(s),s∈[-τ,0]. 為實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步，記ei(t)=xi(t)-π(t)為網(wǎng)絡(luò)同步誤差，設(shè)計(jì)非周期間歇量化控制器，

(3)

其中，ki為狀態(tài)反饋控制增益；S={±?i:?i=ρi?0,i=0,±1,±2,…}∪{0},?0>0為量化水平集；q(·):R→S為量化器，q(ei(t))=(q(ei1(t)),q(ei2(t)),…,q(ein(t)))T是隨機(jī)且時(shí)變的，滿足q(-v)=-q(v).

對(duì)于任意的v∈R相應(yīng)的量化器設(shè)計(jì)如下，

記δ=(1-ρ)/(1+ρ)

(4)

其中， 0<ρ<1. 根據(jù)文獻(xiàn)[27]可知系統(tǒng)存在菲利泊夫解，即存在Δ∈[-δ,δ]滿足q(v)=(1+Δ)v.

注1控制器(3)通常被稱為量化控制器，與連續(xù)的間歇控制器相比更符合實(shí)際. 現(xiàn)有工作中的控制器大多為線性連續(xù)的，這將導(dǎo)致所得結(jié)果比較保守. 如文獻(xiàn)[11]采用一般的比較傳統(tǒng)的控制策略，即

(5)

由于實(shí)際的控制系統(tǒng)和信息交流通道有限，使得信號(hào)量化在實(shí)際使用中非常必要.為敘述方便，記

τ1(t)))-f(t,π(t),π(t-τ1(t))).

由系統(tǒng)(1)和式(2)可得誤差系統(tǒng)為

(6)

式(6)又可改寫為Kronecker積的整體形式，

(7)

其中，W(t)=κ1T-K(I+Λ(t))；Λ(t)=diag(Λ1(t),Λ2(t),…,ΛN(t))；Λi(t)=diag(Δi1(t),Δi2(t),…,Δin(t))，Δij(t)是菲利泊夫解滿足Δij(t)∈[-δ,δ].

令F(t)=Λ(t)δ-1， 則有F(t)FT(t)≤I.

與本研究相關(guān)的假設(shè)、定義及引理如下．

假設(shè)1對(duì)于向量值函數(shù)f(t,x(t),x(t-τ(t)))，存在正常數(shù)ε1和ε2和正定矩陣P， 使得對(duì)于任意的x(t),π(t)∈Rn， 有(x(t)-π(t))TP[f(t,x(t),x(t-τ(t))-f(t,π(t),π(t-τ(t)))]≤ε1(x(t)-π(t))TP(x(t)-π(t))+ε2(x(t-τ(t))-π(t-τ(t)))TP(x(t-τ(t))-π(t-τ(t))).

假設(shè)2[22]存在2個(gè)正數(shù)θ及ω， 滿足0<θ<ω， 則對(duì)于l=0,1,2,3…， 有

注2假設(shè)2表明每個(gè)控制區(qū)間的時(shí)間長(zhǎng)度不會(huì)小于θ， 而休息區(qū)間的長(zhǎng)度不會(huì)大于ω-θ．

引理1[28]若給定合適維度的對(duì)稱矩陣E和G， 矩陣F滿足FTF≤I， 且存在標(biāo)量ε>0， 則有GFE+ETFTGT<εGGT+ε-1ETE.

引理2[24]若對(duì)于給定具有合適維度的矩陣ψ、F、E及G滿足FTF≤I, 且存在標(biāo)量ε>0， 若Ψ+εGGT+ε-1ETE<0， 則Ψ+GFE+ETFTGT<0.

引理3[23]若函數(shù)y(t)連續(xù)且非負(fù)，t∈[-τ,+∞)， 滿足

其中，a1,a3,b及c為正常數(shù).對(duì)于非周期間歇控制，存在常數(shù)0≤ψ<1， 若滿足ρ=a1+a3>0，a1>b*=max{b,c}>0，?=λ-ρψ>0，則

其中，λ>0是方程λ-a1+b*eλτ=0的唯一正解.

2 非周期間歇量化控制的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步分析

利用非周期量化間歇控制實(shí)現(xiàn)所討論的網(wǎng)絡(luò)同步問題. 為便于表述和計(jì)算，記*表示對(duì)稱矩陣中的對(duì)稱部分. 采用適當(dāng)?shù)臅r(shí)間依賴?yán)钛牌章宸蚝瘮?shù)，首先，定義分段線性函數(shù)

定理1若假設(shè)1和假設(shè)2成立，并且存在正常數(shù)a1、a3、b1、b2、c1、c2、η， 及給定的正定矩陣P1和P2滿足

(8)

(9)

(10)

(11)

a1>b*,ρ=a1+a3,?=λ-ρψ>0

(12)

Φ11=2ε2P1-b1λI；Φ12=2ε2P2-b1λI；

Φ21=2ε2P1-c1λI；Φ22=2ε2P2-c1λI；

λ=min{λmin(P1),λmin(P2)}.

【證】定義時(shí)間依賴的Lyapunov函數(shù)

V(t)=eT(t)P(t)e(t)

V(t)沿著誤差系統(tǒng)(7)求導(dǎo)，當(dāng)t∈(tl,sl)時(shí)，

κ2He(t-τ2(t))]

(13)

根據(jù)假設(shè)1，可得

ε1eT(t)P(t)e(t)+

ε2eT(t-τ1(t))P(t)e(t-τ1(t))

則式(13)可寫為

2ε1eT(t)P(t)e(t)+

2ε2eT(t-τ1(t))P(t)e(t-τ1(t))+

2κ2eT(t)P(t)He(t-τ2(t))=

a1P(t)]e(t)+eT(t-τ1(t))[2ε2P(t)-

b1P(t-τ1(t))]×e(t-τ1(t))-b2eT(t-

τ2(t))P(t-τ2(t))e(t-τ2(t))+

2κ2eT(t)P(t)He(t-τ2(t))-

a1eT(t)P(t)e(t)+b1eT(t-τ1(t))P(t-

τ1(t))e(t-τ1(t))+b2eT(t-τ2(t))P(t-

τ2(t))e(t-τ2(t))≤

eT(t)Ξ1(t)e(t)+eT(t-

τ1(t))Φ1(t)e(t-τ1(t))-b2λeT(t-

τ2(t))e(t-τ2(t))+2κ2eT(t)P(t)He(t-

τ2(t))-a1V(t)+b1V(t-τ1(t))+

b2V(t-τ2(t))

(14)

進(jìn)一步將式(14)改寫為

b1V(t-τ1(t))+b2V(t-τ2(t))≤

ξT(t)Ξ(t)ξ(t)-a1V(t)+

(15)

根據(jù)引理1，有

εM(t)MT(t)+ε-1EET

(16)

記

α1(t)ΞP1+(1-α1(t))ΞP2

(17)

結(jié)合Schur補(bǔ)引理和定理中條件(8)和(9)有

εM(t)MT(t)+ε-1EET<0.

于是，根據(jù)引理2可得Ξ(t)<0. 因此，式(15)變?yōu)?/p>

(18)

同理，當(dāng)t∈[sl,tl+1)時(shí)，

2ε1P(t)-a3P(t)]e(t)+

eT(t-τ1(t))[2ε2P(t)-c1P(t-τ1(t))]

e(t-τ1(t))-c2eT(t-τ2(t))P(t-τ2(t))

e(t-τ2(t))+2κ2eT(t)P(t)He(t-τ2(t))+

a3eT(t)P(t)e(t)+c1eT(t-τ1(t))P(t-

τ1(t))e(t-τ1(t))+c2eT(t-τ2(t))P(t-

τ2(t))e(t-τ2(t))≤

eT(t)Ξ2(t)e(t)+eT(t-τ1(t))Φ2(t)e(t-

τ1(t))-c2λeT(t-τ2(t))e(t-τ2(t))+

2κ2eT(t)P(t)He(t-τ2(t))+a3V(t)+

c1V(t-τ1(t))+c2V(t-τ2(t))≤

ξT(t)Ξ*2(t)ξ(t)+a3V(t)+

c1V(t-τ1(t))+c2V(t-τ2(t))≤

ξT(t)Ξ*2(t)ξ(t)+a3V(t)+

(19)

其中，

(20)

注意到由式(10)和式(11)可得

(21)

最后，根據(jù)引理3，以及條件(12)、(18)和(21)，當(dāng)t>0,ω=λ-ρψ>0時(shí)，有

由定義可知，系統(tǒng)(1)達(dá)到同步. 證畢.

當(dāng)系統(tǒng)不含耦合時(shí)滯時(shí)，即τ2(t)=0， 系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(22)

則得到以下推論.

3 數(shù)值模擬

考慮由10個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的帶有時(shí)變時(shí)滯的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，且每個(gè)節(jié)點(diǎn)的維數(shù)為2，系統(tǒng)模型為

i=1,2,…, 10

(23)

其中，xi(t)=[xi1(t),xi2(t)]T,i=1,2,…,10； 耗散耦合矩陣T和H分別為

系統(tǒng)初值條件是隨機(jī)的，內(nèi)部耦合矩陣Γ=diag{1,1}， 耦合時(shí)滯分別為

k=diag{18,13,15,9,24,21,47,32,16,8}為量化控制增益矩陣.考慮非周期間歇控制，這里θ=2，ω=2.7，ψ=0.08， 為滿足定理中的條件，通過Matlab計(jì)算，得到a1=0.3、a3=20、b1=12、b2=3、c1=37、c2=30、κ1=0.01、κ2=0.03及ε1=ε2=1, 由λ-a1+b*eλτ=0, 可得λ=1.98>0. 根據(jù)計(jì)算可知滿足同步條件a1>b*=15>0.ρ=a1+a3=20.3>0,?=λ-ρψ=0.356>0. 給定正定矩陣P1和P2為

P1=diag(3.04,3.00,4.70,2.00,6.50,4.30,1.00,9.00,5.09,10.00,1.20,3.60)

P1=diag(4.00,0.20,9.70,3.00,0.65,3.00,1.80,9.40,0.09,1.00,2.00,5.60)

由計(jì)算可得λ=3.07. 圖1(a)和(b)分別為節(jié)點(diǎn)誤差量化控制器q(ei1(t))和q(ei2(t))隨時(shí)間的演變圖，且最終趨于同步. 圖2為系統(tǒng)最終同步誤差e(t)隨時(shí)間演變軌跡圖. 可見，系統(tǒng)誤差e(t)最后趨于同步. 所以，復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(23)在非周期量化間歇控制器下最終達(dá)到同步.

圖1 量化控制器q(ei(t))隨時(shí)間的演變Fig.1 (Color online) Evolution of quantization controller q(ei(t)) over time

圖2 同步誤差e(t)隨時(shí)間的演變Fig.2 Evolution of synchronization error e(t) with time

結(jié) 語(yǔ)

本研究考慮一類帶有多重時(shí)變時(shí)滯的非線性耦合復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步．將非周期間歇控制和量化控制相結(jié)合，采用非周期量化間歇控制策略，結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論、矩陣?yán)碚摰戎R(shí)，設(shè)計(jì)與時(shí)間依賴的Lyapunov函數(shù)，通過嚴(yán)格的理論分析和證明，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步．最后，通過Matlab數(shù)值模擬，驗(yàn)證所得結(jié)果的有效性.