證明二元函數(shù)極限不存在的方法與技巧

楊萬娟 楊子艷 木紹良

摘 要：本文主要解決在證明二元函數(shù)極限不存在的問題時選擇特殊路徑的方法和技巧。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù)極限;無窮小量;無窮小量的階;特殊路徑

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.19.196

1 二元函數(shù)極限概念分析

二元函數(shù)的極限存在，是指點沿任意路徑無限接近某一點時，函數(shù)總是無限接近某一固定的數(shù)。此時稱為二元函數(shù)在時的極限，記作。

定理（1）設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，則;（2）設(shè)函數(shù)在有定義，且，則。

由定理可知，在求二元函數(shù)極限時，通過選擇特殊的路徑可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限問題，所以，當沿著不同的路徑趨于時（即當時，沿著不同的趨近于）函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定此函數(shù)的極限不存在。但是找到特殊路徑對學生來說不是一件容易的事，因此很有必要探究該問題。本文對常見的兩種類型作了討論，其思路為：考慮分母中的最高次冪與分子中的最低次冪保持一致，通過化解可知極限是否與有關(guān)，若與有關(guān)，則可知極限不存在。

2 證明二元函數(shù)極限不存在時找特殊路徑的方法

2.1 類型一：證明極限不存在時找特殊路徑的方法

2.2 類型二：證明極限不存在時找特殊路徑的方法

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