王靜　伍慧玲

[提要] 考慮到很多退休者不愿意在退休時(shí)立刻年金化，選擇在未來的時(shí)刻進(jìn)行年金化，以期購買到更好的年金，獲得更好的退休保障，本文在離散時(shí)間模型框架下，研究確定繳費(fèi)養(yǎng)老計(jì)劃退休后期最優(yōu)投資——年金化時(shí)刻決策問題。采用目標(biāo)定位型模型，根據(jù)退休者設(shè)定的投資目標(biāo)值，通過最小化實(shí)際財(cái)富與投資目標(biāo)的累積差距，求出最優(yōu)的投資策略。進(jìn)而通過最大化退休者終身消費(fèi)均值之和，求出最優(yōu)化年金時(shí)刻。最后通過數(shù)值分析手段，研究風(fēng)險(xiǎn)偏好、折現(xiàn)率、終端偏差系數(shù)、年金價(jià)格對最優(yōu)化年金時(shí)刻的影響。

關(guān)鍵詞：確定繳費(fèi)養(yǎng)老計(jì)劃;退休后期;離散模型;年金化時(shí)刻;最優(yōu)投資策略

中圖分類號：F840.67 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

收錄日期：2019年5月5日

一、引言

目前我國老齡化情況甚為嚴(yán)重，據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局《2018年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2018年全國60周歲及以上人口高達(dá)24，949萬人，占總?cè)丝诘?7.9%，其中65周歲及以上人口16，658萬人，占總?cè)丝诘?1.9%7。然而，國際上通常認(rèn)為當(dāng)60歲以上人口占總?cè)丝诘?0%，或65歲以上人口占總?cè)丝诘?%，這個(gè)國家就處于老齡化社會。根據(jù)這個(gè)評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，我國已經(jīng)進(jìn)入老齡化社會，且老齡化程度遠(yuǎn)高于世界標(biāo)準(zhǔn)。在老齡化程度越來越嚴(yán)重的同時(shí)，養(yǎng)老金缺口也不斷增大。根據(jù)世界經(jīng)濟(jì)論壇的一項(xiàng)分析顯示，2015年包括中國在內(nèi)的8個(gè)主要經(jīng)濟(jì)體養(yǎng)老金缺口共計(jì)超過70萬億美元，而且每年還在繼續(xù)擴(kuò)大中。在這樣的背景下，如何選擇養(yǎng)老計(jì)劃類型以及如何將養(yǎng)老基金進(jìn)行優(yōu)化投資變得異常重要，對于維持社會的健康持續(xù)發(fā)展，緩解國家的財(cái)政壓力都有積極的影響。目前，養(yǎng)老計(jì)劃主要分為兩種：一種是確定收益養(yǎng)老計(jì)劃，一種是確定繳費(fèi)養(yǎng)老計(jì)劃。在確定收益型養(yǎng)老計(jì)劃里，養(yǎng)老金參與者的養(yǎng)老權(quán)益是事先確定的，養(yǎng)老金的投資運(yùn)營風(fēng)險(xiǎn)由雇主承擔(dān)。在確定繳費(fèi)養(yǎng)老計(jì)劃里，參與者的繳費(fèi)水平是事先給定的，在退休時(shí)獲得的投資回報(bào)取決于養(yǎng)老基金的投資表現(xiàn)，也就是說，投資過程的風(fēng)險(xiǎn)由參與者承擔(dān)。由兩種養(yǎng)老計(jì)劃的對比可以看出，確定繳費(fèi)養(yǎng)老計(jì)劃將養(yǎng)老基金的投資風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)嫁到參與者身上，可以緩解政府的財(cái)政壓力，有利于解決老齡化問題帶來的社會危機(jī)。因此，目前大部分國家都采取確定繳費(fèi)養(yǎng)老計(jì)劃。

確定繳費(fèi)養(yǎng)老計(jì)劃，以退休時(shí)刻為分界點(diǎn)，可以分為累積期和退休后期兩個(gè)階段。在累積期，養(yǎng)老計(jì)劃參與者將其工資按一定的比例交到養(yǎng)老基金賬戶里進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資，試圖選擇最優(yōu)的投資策略使得退休時(shí)刻的財(cái)富效用得到最大。在累積期，養(yǎng)老金參與者面臨金融市場價(jià)格的波動、通貨膨脹等各種風(fēng)險(xiǎn)。在退休時(shí)刻，在允許的前提下，退休者可以選擇將其在累積期積累的財(cái)富進(jìn)行終身年金化，獲得一個(gè)終身的消費(fèi)保障，也可以選擇延遲購買年金，在政府規(guī)定的強(qiáng)制年金化時(shí)刻之前，選擇一個(gè)合適的時(shí)刻購買終身年金。然而，Milchell and Poterba（1999），Mirer（1994）和Brown（2001）的研究都表明，雖然在退休時(shí)刻立馬進(jìn)行終身年金化可以獲得一個(gè)終身保障，但絕大多數(shù)的退休者卻很少在退休時(shí)刻就主動購買年金，進(jìn)行累積財(cái)富年金化，這種現(xiàn)象被稱為“年金之謎”。究其原因，歸納為以下三點(diǎn)：第一，強(qiáng)烈的遺產(chǎn)動機(jī)。退休者購買終身年金以后，一旦死亡，賬戶中的資金將不能作為遺產(chǎn)被后代繼承。因此，對于有遺產(chǎn)動機(jī)的退休者來說，退休后立刻年金化顯然是不合適的。第二，較差的身體狀況。對于身體較差的人來說，參與者預(yù)期自己的壽命將低于平均壽命，購買終身年金只能領(lǐng)取幾年的收益，這是不劃算的。第三，年金化后收益率較低。正如Warshawsky（1988）和Mitchell et al（1999）發(fā)現(xiàn)的那樣，用相同的資金投資其他金融產(chǎn)品相比，年金產(chǎn)品的回報(bào)率要低很多。投資能力較好的參與者更希望自行投資，提高年金化時(shí)的財(cái)富。確定繳費(fèi)養(yǎng)老計(jì)劃的兩個(gè)階段重要性都是平等的，對于退休后期，因?yàn)楹芏嗤诵菡卟辉敢庠谕诵輹r(shí)立刻年金化，因此研究退休后期的資金管理和年金購買是十分重要的。

目前，已經(jīng)有很多學(xué)者對確定繳費(fèi)養(yǎng)老計(jì)劃退休后期管理問題進(jìn)行了深入的研究。按照優(yōu)化目標(biāo)不同，退休后期管理可以分為三類：第一類是最小化財(cái)富水平低于抽取消費(fèi)金額的概率，代表作可以參考Milevsky and Robinson（2000）和Bayraktar and Young（2009）。Bayraktar and Young（2009）還發(fā)現(xiàn)推遲年金化可以得到最小破產(chǎn)概率，肯定了延遲化年金的作用。第二類是最大化整個(gè)退休后期的財(cái)富和消費(fèi)的CARA或CRRA效用均值之和，代表作可以參考Milevsky and Young（2007）和Stabile（2006）。第三類是目標(biāo)定位型模型。一些學(xué)者認(rèn)為，推遲年金化的一個(gè)重要原因是退休者希望在年金化時(shí)能買到更好的產(chǎn)品，因此采用以目標(biāo)為導(dǎo)向的模型。在目標(biāo)定位型模型里，退休者會事先設(shè)定一系列的投資目標(biāo)值，通過最小化財(cái)富與目標(biāo)間的差距，找到最佳的年金化時(shí)間、投資和消費(fèi)策略。由于本文采取的目標(biāo)定位型模型，為了說明本文工作與現(xiàn)有研究的不同，突出本文創(chuàng)新之處，在此我們重點(diǎn)回顧采取目標(biāo)定位型模型的退休后期最優(yōu)管理問題的已有研究。Gerrard Haberman and Vigna（2004）不考慮死亡隨機(jī)率，在連續(xù)時(shí)間框架下研究了確定繳費(fèi)型養(yǎng)老計(jì)劃的最優(yōu)投資策略。該模型假定退休者所提取的消費(fèi)金額為常數(shù)，并沒有遺產(chǎn)動機(jī)，得到了最優(yōu)的投資策略。Gerrand et al.（2004）將Gerrard Haberman and Vigna（2004）的研究進(jìn)行了拓展，假設(shè)消費(fèi)和年金化時(shí)刻是固定的，對有遺產(chǎn)動機(jī)的最優(yōu)策略進(jìn)行討論。Gerrard Haberman and Vigna（2006）進(jìn)一步研究了在死亡率隨機(jī)的情況下，固定年金化時(shí)刻的退休者的最優(yōu)投資和消費(fèi)策略。Dadashi（2018）同樣假設(shè)年金化時(shí)刻固定，為了最終能購買到更好的年金，退休者消費(fèi)率也被限制，同時(shí)對最終年金設(shè)定最低保證以消除破產(chǎn)概率，然后研究最優(yōu)的投資-消費(fèi)問題。Gerrard H jgaard and Vigna（2012）討論了在政策允許的條件下，從退休到強(qiáng)制年金時(shí)刻之間，退休者可選擇的最優(yōu)年金化時(shí)刻、消費(fèi)和投資策略。Wolfram（2008）對選擇延遲購買年金的退休者最佳的年金化時(shí)間進(jìn)行了研究，還得出若退休者具有中等風(fēng)險(xiǎn)厭惡的性質(zhì)，在80歲至85歲之間年金化更合適的結(jié)論。

上述目標(biāo)定位型模型，不管其模型設(shè)定如何，其共同點(diǎn)歸納為：（1）他們都是連續(xù)時(shí)間模型;（2）他們認(rèn)為，最佳年金時(shí)刻為財(cái)富水平和財(cái)富目標(biāo)值的差距以及消費(fèi)水平和消費(fèi)目標(biāo)值的差距累積和達(dá)到最小的時(shí)刻。到目前為止，只有Lin Zeng and Wu（2019）采取目標(biāo)定位型模型，在離散時(shí)間框架下研究了退休后期的最優(yōu)投資策略，但他們沒有研究最優(yōu)的年金時(shí)刻。然而，在何時(shí)購買年金，不管是政府部門還是個(gè)人退休者，都非常關(guān)心這個(gè)問題。與連續(xù)時(shí)間模型相比，離散模型的研究也很重要。首先，離散模型在現(xiàn)實(shí)生活中更加實(shí)用，因?yàn)槲覀儾荒苓B續(xù)地調(diào)整決策。其次，離散模型和連續(xù)模型在研究結(jié)果上有許多不同，例如，離散模型中最優(yōu)投資金額與連續(xù)模型中的不完全一致等。最后，離散時(shí)間模型和連續(xù)時(shí)間模型采取的理論基礎(chǔ)截然不同，也就是說，我們無法借鑒連續(xù)時(shí)間模型的求解方法和步驟，去解決離散時(shí)間模型決策問題。另外，最佳年金時(shí)刻，按照正常的思維理解，應(yīng)該是使得退休者終身（年金化前和年金化后）消費(fèi)保障之和達(dá)到最大的時(shí)刻。鑒于上述原因以及現(xiàn)有的研究現(xiàn)狀，本文擬求解退休后期的離散時(shí)間動態(tài)多期最優(yōu)投資-購買年金決策模型。

本文的創(chuàng)新之處在于：（1）采取目標(biāo)定位型模型，首次在離散時(shí)間框架下對最優(yōu)年金時(shí)刻進(jìn)行了討論;（2）在目標(biāo)定位模型框架下，摒棄傳統(tǒng)的最優(yōu)年金時(shí)刻的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，以最大化累積消費(fèi)為目標(biāo)，建立了全新的最優(yōu)年金時(shí)刻的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn);（3）詳細(xì)分析了風(fēng)險(xiǎn)偏好、折現(xiàn)率、終端偏差系數(shù)、年金價(jià)格對最優(yōu)化年金時(shí)刻產(chǎn)生的影響，結(jié)果能和年金之謎的現(xiàn)象吻合。

本文結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié)介紹了本文所使用的模型，第3節(jié)詳細(xì)論述如何求解最優(yōu)化年金時(shí)刻，第4節(jié)進(jìn)行數(shù)值分析，探討當(dāng)影響因素發(fā)生變化時(shí)，最優(yōu)年金時(shí)刻如何變化，然后是全文的總結(jié)。

二、模型介紹

（一）消費(fèi)倍數(shù)（即風(fēng)險(xiǎn)偏好）對最優(yōu)年金化時(shí)刻的影響

1、年金價(jià)格不帶附加費(fèi)用。消費(fèi)倍數(shù)k代表著退休者的風(fēng)險(xiǎn)偏好程度，若k取值比較小，說明退休者對退休后的投資目標(biāo)值設(shè)置較低，不喜歡承受太高的投資風(fēng)險(xiǎn)。然而，退休者之所以延遲退休，是希望在退休后期通過投資活動，在最終的年金化時(shí)刻得到更好的消費(fèi)保障，因此一般來說，k是大于1的。表1表明，哪怕消費(fèi)倍數(shù)只有1.06的低值，退休者都不會在退休時(shí)刻立馬將其財(cái)富年金化，這個(gè)結(jié)果和年金之謎呈現(xiàn)的結(jié)果完全一致。另外，隨著消費(fèi)倍數(shù)的增加，最優(yōu)時(shí)刻向后推遲。消費(fèi)倍數(shù)越高，消費(fèi)者對未來消費(fèi)的目標(biāo)設(shè)定越高，對未來財(cái)富期待越高，喜愛風(fēng)險(xiǎn)的退休者不會在60歲年金化，獲取固定收益，更愿意自己投資。另外，年金化后收益率較低，退休者若想達(dá)到更高目標(biāo)，獲取更高收益，將會推遲年金化時(shí)刻。但隨著目標(biāo)繼續(xù)升高，退休者最遲愿意在68歲年金化，可能受限于身體狀況和自身的投資水平，年紀(jì)大了更愿意依靠年金保障自己的生活，因此設(shè)定過高的目標(biāo)不會繼續(xù)推遲年金化。（表1）

2、年金價(jià)格帶附加費(fèi)用。年金價(jià)格帶附加費(fèi)用，隨著消費(fèi)倍數(shù)增加，最優(yōu)時(shí)刻也向后推遲，與不帶附加費(fèi)用的結(jié)論一致。隨著目標(biāo)繼續(xù)升高，退休者同樣最遲愿意在68歲進(jìn)行年金化，設(shè)定過高的目標(biāo)不會繼續(xù)推遲年金化。（表2）

將是否帶附加費(fèi)用的兩種情況進(jìn)行對比，帶附加費(fèi)用的年金價(jià)格較高。在其他條件不變的情況下，年金價(jià)格越低，退休者越會提前購買年金。年金的低價(jià)格會讓退休者在年金化后，實(shí)現(xiàn)更多消費(fèi)，更容易達(dá)到設(shè)定的目標(biāo)，因此提前年金化。

（二）終端系數(shù)？著對最優(yōu)年金化時(shí)刻的影響

1、年金價(jià)格不帶附加費(fèi)用。當(dāng)消費(fèi)倍數(shù)k=1.2時(shí)，ε=1～6時(shí)，退休者最優(yōu)年金化時(shí)刻都是在67歲;當(dāng)消費(fèi)倍數(shù)k=1.02時(shí)，ε=1～6時(shí)，退休者最優(yōu)年金化時(shí)刻都是在60歲。這說明，年金價(jià)格較低時(shí)，無論消費(fèi)倍數(shù)取較大值還是較小值，終端系數(shù)對最優(yōu)年金化時(shí)刻的影響都較小。當(dāng)退休者的終端系數(shù)發(fā)生小范圍變化時(shí)，其最優(yōu)的年金化時(shí)刻不變。

2、年金價(jià)格帶附加費(fèi)用。當(dāng)k=1.2時(shí)，ε=1～6，退休者最優(yōu)年金化時(shí)刻都是在67歲;當(dāng)k=1.02時(shí)，最優(yōu)年金化時(shí)刻見表3。（表3）

年金價(jià)格較高時(shí)，只有當(dāng)消費(fèi)倍數(shù)的數(shù)值較低時(shí)，終端系數(shù)的影響才會敏感一點(diǎn)，說明終端偏差系數(shù)對年金時(shí)刻的影響較小。消費(fèi)倍數(shù)數(shù)值較大時(shí)，改變終端系數(shù)，不足以影響退休者選擇終身年金化的時(shí)刻，退休者最優(yōu)年金化時(shí)刻都是在67歲。但當(dāng)消費(fèi)倍數(shù)數(shù)值較低時(shí)，終端系數(shù)越大，退休者對最后一期是否達(dá)到目標(biāo)越看重，會推遲年金化。

將年金價(jià)格的兩種情況進(jìn)行對比，較高的年金價(jià)格，會讓最優(yōu)年金化時(shí)刻對終端系數(shù)更敏感一些。同時(shí)，年金價(jià)格越高，退休者越傾向于推遲購買年金。因?yàn)樵谀杲鸹?，退休者均自行投資，終端系數(shù)會對其選擇年金化時(shí)刻產(chǎn)生影響。

（三）折現(xiàn)率對最優(yōu)年金化時(shí)刻的影響

1、年金價(jià)格不帶附加費(fèi)用。當(dāng)k=1.2時(shí)，得到表4。（表4）

消費(fèi)倍數(shù)取值較高時(shí)，當(dāng)折現(xiàn)率越高，退休者對等待未來回報(bào)的耐心越小，他就越偏向于提前購買年金。當(dāng)折現(xiàn)率在4.17%附近進(jìn)行波動時(shí)，退休者的最優(yōu)年金化時(shí)刻在67歲。

當(dāng)k=1.02時(shí)，無論折現(xiàn)率取何值，最優(yōu)年金化時(shí)刻都是60歲，不敏感。消費(fèi)倍數(shù)值較低，說明退休者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，希望提前購買年金，而不帶附加費(fèi)用的年金價(jià)格也較低，退休者很容易達(dá)成設(shè)定目標(biāo)，所以會在退休時(shí)就選擇年金化。

2、年金價(jià)格帶附加費(fèi)用。當(dāng)消費(fèi)倍數(shù)k=1.2時(shí)，我們得到表5。（表5）

表5表明，消費(fèi)倍數(shù)取值較高時(shí)，當(dāng)折現(xiàn)率越高，退休者越偏向于提前購買年金。當(dāng)折現(xiàn)率在4.17%附近進(jìn)行波動時(shí)，退休者的最優(yōu)年金化時(shí)刻在67歲。當(dāng)消費(fèi)倍數(shù)k=1.02時(shí)，我們得到表6。（表6）

表6表明，消費(fèi)倍數(shù)取值較低時(shí)，最優(yōu)化年金時(shí)刻對折現(xiàn)率的不敏感，當(dāng)折現(xiàn)率在4.17%附近進(jìn)行波動時(shí)，退休者的最優(yōu)年金化時(shí)刻在63歲。將年金價(jià)格是否帶附加費(fèi)用的兩種情況進(jìn)行對比，較高的年金價(jià)格讓最優(yōu)化年金時(shí)刻對折現(xiàn)率更敏感一些。同時(shí)仍能得出結(jié)論，年金價(jià)格越低，退休者越傾向于提前購買年金。在年金化之前，退休者均自行投資，折現(xiàn)率的大小會對其選擇年金化時(shí)刻產(chǎn)生影響。

五、結(jié)語

本文研究了在離散時(shí)間模型下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老計(jì)劃最優(yōu)的年金化時(shí)刻，采用目標(biāo)定位型模型，通過最小化實(shí)際財(cái)富與目標(biāo)的差距，求出了最優(yōu)的投資策略。進(jìn)而通過最大化退休者終身消費(fèi)均值的積累和，求出最優(yōu)化年金時(shí)刻。通過數(shù)值分析，證明了幾乎很少人在時(shí)刻0就立馬年金化累計(jì)財(cái)富?？隙搜舆t化年金的優(yōu)勢。并對會影響年金時(shí)刻的變量進(jìn)行分析，探討其敏感性。得到的相關(guān)結(jié)果如下：（1）隨著消費(fèi)倍數(shù)k增加，最優(yōu)時(shí)刻向后推遲，退休者最遲愿意在8時(shí)刻年金化，設(shè)定過高的目標(biāo)不會繼續(xù)推遲年金化。（2）只有當(dāng)k的數(shù)值較低時(shí)，終端系數(shù)的影響才會敏感一點(diǎn)，說明終端偏差系數(shù)對年金時(shí)刻的影響較小。當(dāng)k較低時(shí)，終端系數(shù)越大，退休者越會推遲年金化。（3）當(dāng)k取較大值時(shí)，折現(xiàn)率會對最優(yōu)年金化時(shí)刻產(chǎn)生影響。折現(xiàn)率越大，退休者對等待未來回報(bào)的耐心越小，就越偏向于提前購買年金。k取值較小時(shí)，折現(xiàn)率不敏感。（4）將年金價(jià)格是否帶附加費(fèi)率的兩種情況進(jìn)行對比，較高的年金價(jià)格，會讓最優(yōu)化年金時(shí)刻對終端系數(shù)和折現(xiàn)率更敏感一些。并且年金價(jià)格越低，越會提前買年金。

雖然本文對離散時(shí)間模型下最優(yōu)年金化時(shí)刻及其敏感性進(jìn)行了分析，但仍存在一些局限，比如本文提到的目標(biāo)形式，會造成上方懲罰，未對沒有上方懲罰的目標(biāo)形式進(jìn)行討論，這也是接下來要繼續(xù)研究的方向。

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