適用于連續(xù)拐角高速加工的中點(diǎn)約束算法

王 勇，張立強(qiáng)，郭景浩

（上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620）

0 引言

在復(fù)雜曲面的高速加工中，通常根據(jù)允許誤差、機(jī)床動(dòng)力學(xué)等約束條件使用CAD/CAM把復(fù)雜曲面離散成一系列連續(xù)微小線段。但這一過程中并未充分考慮連續(xù)小線段間的平滑過渡問題，導(dǎo)致系統(tǒng)的頻繁啟停，對(duì)機(jī)床造成很大的沖擊，難以在保證加工質(zhì)量和加工效率[1]。近年來在一些科研學(xué)者不斷對(duì)早期的直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)做出改進(jìn)[2～4]。同樣發(fā)展迅速的還有各種樣條曲線插補(bǔ)方法，即用高階樣條曲線進(jìn)行插補(bǔ)以平滑加工路徑中尖銳拐角，使得機(jī)床可以在加工路徑的拐角處實(shí)現(xiàn)連續(xù)不間斷進(jìn)給運(yùn)動(dòng)，常見的樣條曲線有：PH，Bezier和NURBS曲線等[5～7]。此外還有學(xué)者從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度探究全局拐角光順，文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]提出了基于躍度約束的適用于高速加工的拐角光順方法，文獻(xiàn)[10]更進(jìn)一步提出了基于跳度約束的運(yùn)動(dòng)學(xué)平滑算法。但在上述研究中，對(duì)于加工過程中的局部相鄰拐角輪廓重疊現(xiàn)象研究較少。而在連續(xù)小線段實(shí)際加工過程中，這種特殊情況往往會(huì)出現(xiàn)。傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)直接插補(bǔ)方式雖然可以避免此種現(xiàn)象，但是進(jìn)給運(yùn)動(dòng)必須在路徑拐角處減速至停止，否則，驅(qū)動(dòng)器的加速度值或躍度值將有可能超出系統(tǒng)限制，導(dǎo)致加工零件表面的光滑度遭到破壞[11]，形成具有明顯進(jìn)給標(biāo)記的粗糙加工表面，還導(dǎo)致加工時(shí)間延長。文獻(xiàn)[9]采用了參數(shù)約束的方式來限制進(jìn)給速度，但加速度曲線還存在嚴(yán)重的突變點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，在拐角輪廓的中點(diǎn)加速度值會(huì)產(chǎn)生突變?cè)斐蛇M(jìn)給運(yùn)動(dòng)的慣性振動(dòng)，會(huì)在工件表面形成明顯的進(jìn)給標(biāo)記，影響加工質(zhì)量。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]跳度約束加速曲線已被證實(shí)在減少機(jī)床振動(dòng)和提高加工質(zhì)量方面存在顯著優(yōu)越性。因此本文采用文獻(xiàn)[10]所提運(yùn)動(dòng)學(xué)平滑算法實(shí)現(xiàn)拐角轉(zhuǎn)接，并在其基礎(chǔ)上提出中點(diǎn)約束法，在出現(xiàn)拐角輪廓重疊的情況時(shí)，設(shè)定兩拐角間直線段的中點(diǎn)為約束點(diǎn)，限制過渡段長度，避免拐角輪廓重疊。同時(shí)實(shí)現(xiàn)進(jìn)給運(yùn)動(dòng)在相鄰拐角處的速度和加速度平滑轉(zhuǎn)接。最后對(duì)所提算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，通過對(duì)比傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法驗(yàn)證本文算法的有效性。

圖1 跳度約束加速度原理

圖2 拐角路徑

1 相鄰拐角中點(diǎn)約束算法

1.1 基于跳度約束的運(yùn)動(dòng)學(xué)平滑算法原理

跳度約束加速度的原理如圖1所示，通過跳度限制加速度曲線生成平滑的速度和加速度轉(zhuǎn)接輪廓，其限制進(jìn)給軸從初始速度和加速度平滑過渡到最終速度和加速度，在已知位移Rs、速度Vs和加速度As、跳度極限Sm和加速度極限Am的情況下，可以通過對(duì)跳度曲線s(t)積分來獲得躍度j(t)、加速度a(t)、速度v(t)和位移r(t)曲線的計(jì)算公式，如式(1)所示。

平滑算法原理為：針對(duì)連續(xù)短線段刀具路徑中的拐角，通過跳度約束加速度曲線，同時(shí)施加速度、加速度和輪廓誤差等邊界條件，在滿足驅(qū)動(dòng)器運(yùn)動(dòng)學(xué)限制條件下推導(dǎo)最佳轉(zhuǎn)接速度。如圖2所示刀具加工拐角路徑中，兩個(gè)線段方向夾角分別是q1和q1+q2，拐角點(diǎn)PC=[XC，YC]。刀具在拐角附近以初始速度VC和初始加速度AS進(jìn)入拐角，S為跳度值，T1為進(jìn)給軸的轉(zhuǎn)接持續(xù)時(shí)間，Vs為轉(zhuǎn)接運(yùn)動(dòng)開始處的速度，Ve為轉(zhuǎn)接運(yùn)動(dòng)結(jié)束處的速度，設(shè)定最大輪廓誤差為ε。根據(jù)轉(zhuǎn)接運(yùn)動(dòng)輪廓的幾何形狀和總位移來計(jì)算?？赏茖?dǎo)出過渡段長度Rc：

通過確定限制軸，從而推導(dǎo)出該軸的最佳轉(zhuǎn)接速度。假設(shè)X軸是限制軸，那么限制軸的加速度、速度和最大輪廓誤差約束為：

文獻(xiàn)[10]中給出了上述式(2)和式(3)的詳細(xì)推導(dǎo) 過程。

1.2 中點(diǎn)約束法

圖3 相鄰拐角輪廓重疊

盡管運(yùn)動(dòng)學(xué)平滑算法能夠?qū)崿F(xiàn)在連續(xù)短線段刀具路徑加工時(shí)進(jìn)給軸速度和加速度平滑轉(zhuǎn)接。但未能考慮到相鄰拐角間線段長度和拐角過渡段長度的關(guān)系，加工過程中可能存在拐角過渡輪廓重疊的現(xiàn)象，如圖3所示。兩個(gè)拐角輪廓間短線段的距離為：

為便于計(jì)算設(shè)定：

其中d為兩拐角間直線段長度，l1為前一拐角過渡段長度，l2為后一拐角過渡段長度。

如果R>0，則說明k和k+1個(gè)拐角輪廓沒有發(fā)生重疊，該短線段處前后兩個(gè)拐角都是獨(dú)立拐角，互不影響。如果R<0，則說明k和k+1個(gè)拐角輪廓相互重疊，說明該短線段處的前后兩個(gè)拐角相互影響，一旦出現(xiàn)這種情況，進(jìn)給運(yùn)動(dòng)必須在拐角處降低轉(zhuǎn)接速度，否則重疊部分的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)就會(huì)超出驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的限制，引起機(jī)床進(jìn)給顫動(dòng)。同時(shí)導(dǎo)致加速度輪廓也會(huì)存在跳動(dòng)或不可導(dǎo)點(diǎn)，影響加工質(zhì)量。

圖4 拐角輪廓重疊情形

本節(jié)針對(duì)這一特殊加工現(xiàn)象提出中點(diǎn)約束法，當(dāng)出現(xiàn)拐角輪廓相互重疊情況時(shí)，主要分為以下兩種情形：

中點(diǎn)約束法即：選定段長中點(diǎn)作為過渡段的約束點(diǎn)，限制過渡段的段長，并將其作為已知參數(shù)，重新求解拐角轉(zhuǎn)接速度。以X軸為例，對(duì)式(2)和式(3)做變換處理后如下所示：

其中，Vsx、Asx分別為X軸的初始速度和加速度。在考慮驅(qū)動(dòng)器運(yùn)動(dòng)性能的前提下，通過限制驅(qū)動(dòng)器加速度或跳度極限，求解最大轉(zhuǎn)接速度。假設(shè)限制軸以驅(qū)動(dòng)器最大跳度極限進(jìn)給，則Sx=Smax代入式(7)求得最佳轉(zhuǎn)接速度為：

假設(shè)限制軸以驅(qū)動(dòng)器最大加速度進(jìn)給時(shí)，則令A(yù)=Amax可求得最大轉(zhuǎn)接速度為：

最佳轉(zhuǎn)接速度為：

由此計(jì)算出新的轉(zhuǎn)接速度V'c：

通過上述方法，可以避免相鄰拐角出現(xiàn)輪廓重疊現(xiàn)象并獲得拐角最佳轉(zhuǎn)接速度，同時(shí)確保拐角過渡過程中速度和加速度平滑轉(zhuǎn)接。

1.3 算法流程

圖5 算法流程圖

2 仿真分析

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，對(duì)連續(xù)短線段加工路徑分別采用中點(diǎn)約束法和傳統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)直接插補(bǔ)算法進(jìn)行對(duì)比分析。

圖6 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

圖7 加工路徑

實(shí)驗(yàn)設(shè)備如圖6所示，平面X-Y運(yùn)動(dòng)由兩個(gè)線性電機(jī)驅(qū)動(dòng)，保證良好的位置同步和路徑跟蹤，伺服放大器設(shè)置為轉(zhuǎn)矩（電流）控制模式，線性編碼器的反饋分辨率為0.8um，伺服系統(tǒng)的閉環(huán)采樣時(shí)間為0.1ms，X和Y軸的位置反饋帶寬為wn=25Hz。實(shí)驗(yàn)加工路徑為如圖7所示的“雪花”路徑，總長度296.25cm，共有77個(gè) 拐角。

圖8 局部路徑示意圖

圖8(a)和圖8(b)所示為圖7中黑框所示的局部路徑。在此段局部路徑上相鄰拐角間距較小，因此導(dǎo)致轉(zhuǎn)接路徑重疊，不僅無法完成當(dāng)前拐角轉(zhuǎn)接，還影響到后續(xù)拐角過渡，如圖8(a)所示。圖8(b)為采用了中點(diǎn)約束法避免拐角重疊現(xiàn)象的局部路徑，在相鄰拐角間完成平滑轉(zhuǎn)接。

為體現(xiàn)該方法能夠發(fā)揮驅(qū)動(dòng)器的性能，將其與傳統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)直接差補(bǔ)算法進(jìn)行對(duì)比。其中點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法要求刀具運(yùn)動(dòng)到每個(gè)拐角點(diǎn)前開始減速，直至拐角處完全停止，再進(jìn)行轉(zhuǎn)向進(jìn)給，完全與G01代碼所規(guī)定的路徑同步；實(shí)驗(yàn)設(shè)定最大允許輪廓誤差為0.1mm，利用伺服控制器對(duì)不同算法進(jìn)行實(shí)時(shí)采樣和命令。設(shè)置驅(qū)動(dòng)器各軸的最大進(jìn)給速度為100mm/s，最大加速度為1000cm/s2，最大躍度為1×105mm/s4，最大跳度為2×107mm/s4。圖9所示為兩種算法在加工路徑上運(yùn)動(dòng)的速度曲線輪廓，可以看出點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法速度曲線存在較大的波動(dòng)，且該算法需要在每一個(gè)拐角處完全停止，加速度跳動(dòng)，對(duì)驅(qū)動(dòng)器的負(fù)載較大。從圖中還可以看出中點(diǎn)約束算法花費(fèi)的時(shí)間為10.28s，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)算法花費(fèi)11.08s，加工效率提升了6.8%。同時(shí)本文所提算法的加速度曲線達(dá)到G1連續(xù)如圖10所示。

圖9 中點(diǎn)約束算法和點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法速度曲線

圖10 中點(diǎn)約束算法加速度曲線

3 結(jié)束語

本文采用基于跳度來約束加速度曲線的方式，針對(duì)加工路徑中的特殊情況即相鄰拐角輪廓重疊提出中點(diǎn)約束法，限制過渡段長度從而防止拐角轉(zhuǎn)接輪廓重疊，同時(shí)實(shí)現(xiàn)平滑的速度和加速度轉(zhuǎn)接，加速度曲線達(dá)到G1連續(xù)。最后通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比本文算法與傳統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)直接插補(bǔ)算法，發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)約束算法的加工時(shí)間相比于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)插補(bǔ)算法減少6.8%，加工效率得到提高。