劉 方 ，劉 捷 ，段夢軍

（1.網(wǎng)絡空間安全四川省重點實驗室，四川 成都 610041；2.中國電子科技網(wǎng)絡信息安全有限公司，四川 成都 610041；3.西南交通大學 信息科學與技術學院，四川 成都 610030）

0 引 言

跳頻（FH）多址擴頻系統(tǒng)具有抗干擾性、抗截獲以及抗接入的能力，因而在軍事無線電通信、移動通信、多用戶雷達和聲吶系統(tǒng)等工程中得到了大量應用。在跳頻通信系統(tǒng)中，地址分配必須滿足發(fā)送者和其發(fā)送的信息沒有模糊性，并且接收信號之間盡可能減小相互干擾。跳頻多址通信中的相互干擾主要是受跳頻序列之間的漢明相關性能所影響，因此需要尋找同時具有低漢明相關和序列集合容量大的跳頻序列集。另一方面，為了抗干擾和抗截獲，具有大線性復雜度的跳頻序列也是人們所關注的。

目前，在跳頻序列設計的理論界方面，人們已經取得了許多成果，諸如Lempel- Greenberger界[1]、Peng-Fan界[2]等。在最優(yōu)跳頻序列集設計方面，利用代數(shù)和組合工具[3-9]，人們設計了很多多具有優(yōu)良漢明相關性能的跳頻序列集。同時，利用理想自相關特性的p元偽隨機序列，人們構造了很多具有最優(yōu)漢明相關特性的跳頻序列。劉元慧等人[10]利用m序列構造了一類具有新參數(shù)的最優(yōu)跳頻序列集，基于糾錯碼人們也構造了一些最優(yōu)跳頻序列集[11-13]。

1 基本概念

設一個跳頻多址通信系統(tǒng)具有q個頻點，頻點集合為F={f1,f2,…,fq}。S表示一個基于頻點集F上的跳頻序列集合，包含M個跳頻序列，每個序列長度為L。

給定S中的任意兩個跳頻序列X={x0,x1,…,xL-1}和Y={y0,y1,…,yL-1}，在相對時延為τ時，它們之間的周期漢明互相關定義為

下標t+τ按模L運算，h[xt,yt+τ]表示：

當X=Y時，HX,Y(τ)稱為漢明自相關函數(shù)。

針對跳頻序列集S，下面給出最大漢明相關函數(shù)Hmax(S)的定義：

1974年，Lempel和Greenberger首次構建了針對單個跳頻序列或一對跳頻序列的最大漢明相關值滿足的界，即M=1或2。

引理1（Lempel-Greenberger界）[1]對于一個長度為L，頻點個數(shù)為q的跳頻序列X，其最大漢明自相關值滿足如下關系：

其中，b表示L除以q的最小非負余數(shù)。

后來，Peng和Fan對Lempel-Greenberger界進行了擴展，給出了跳頻序列集的最大漢明相關值滿足的界。

引理2（Peng-Fan界）[2]對于一個跳頻序列集S，其頻點集大小為q，序列數(shù)目為M，序列長度為L，設那么：

基于引理2中給出的跳頻序列集的最大漢明相關值滿足的界，下面我們給出最優(yōu)跳頻序列和最優(yōu)跳頻序列集的定義。

定義1 如果一個長度為L，頻點數(shù)為q，最大漢明自相關值為Λ的序列X的參數(shù)使得式（4）的等式成立，則稱X是一個最優(yōu)的(L,q,Λ)跳頻序列；針對一個序列個數(shù)為M，序列長度為L，頻點數(shù)為q的跳頻序列集S，如果其參數(shù)使得式（5）或（6）的等式成立，那么稱S是一個最優(yōu)的(L,M,λ;q)跳頻序列集，其中λ=Hmax(S)。

2 d-型函數(shù)

令q為一個素數(shù)p的n次冪，F(xiàn)qn表示具有qn個元素的有限域，由文獻[14]，我們可以得到如下引理和定義。

引理3[14]令是Fq上的非平凡加法特征，對任意的得到

定義2 若f(x):Fqn→Fq的自相關函數(shù)滿足下式：

則稱函數(shù)f(x)具有理想自相關性。

定義3 設d表示一個正整數(shù)且滿足gcd(d,qm-1)=1，f(x)是從Fqn到Fqm的一個函數(shù)。那么對任意的λ∈Fqm，x∈Fqn，如果有

那么稱f(x)是一個d-型函數(shù)。

在q＞2的情況，目前存在三種從Fqn映射到Fq且具有理想自相關性的d-型函數(shù)[15-16]：

（1）ρ(x)表示一個跡函數(shù)，即：

其中k為一個正整數(shù)且滿足gcd(k,qn-1)=1。

（2）h(x)為Helleseth-Gong（HG）函數(shù)，其定義為：

其中，n=(2m+1)e，1≤s≤2m是一個正整數(shù)且滿足gcd(s,2m+1)=1，b0=1，bis=(-1)i，bi=b2m+1-i，i=1,2,…,m，γ0=b0/2=(p+1)/2，γi=b2i。

（3）g(x)為ρ(x)和h(x)的復合函數(shù)，如：

其中，n1,n2(2m+1)e,k1,k2均為正整數(shù)，gcd(k2,qn1-1)=1，gcd(k2,qn1·n2-1)=1。

由定義2，可以看出式（9）中的ρ(x)是k-型函數(shù)，式（10）中的h(x)是1-型函數(shù)，g1(x)是(k1·k2)-型函數(shù)，g2(x)為k1-型函數(shù)。

3 基于冪函數(shù)及具有理想自相關特性的d-型函數(shù)構造跳頻序列集

下面給出基于冪函數(shù)及具有理想自相關特性的d-型函數(shù)構造跳頻序列集的方法，得到了一類具有最優(yōu)漢明相關的跳頻序列集。首先給出一些后面頻繁使用的概念和符號。

α表示F*qn的生成元，T=(qn-1)/(q-1)。

χ表示Fq的非平凡加法特征。

f(x)表示從Fqn到Fq的d-型函數(shù)且具有理想自相關特性。不失一般性，令f(x)為1-型函數(shù)，即對于任意的y∈Fq，x∈Fqn，f(yx)=yf(x)。

設r是一個正整數(shù)，N=gcd(r,qn-1)。對于每一個0≤i＜N，構造如下跳頻序列：

那么，ui為Fq上長度為(qn-1)/N的序列。

定義一個跳頻序列集U：

定理 1 設N=gcd(r,qn-1)是一個正整數(shù)，且滿足gcd(N,T)=1。那么U是一個跳頻序列集，且關于引理2的Peng-Fan界是最優(yōu)的。式（10）中定義的每個跳頻序列關于引理1的Lempel-Greenberger界是最優(yōu)的跳頻序列。

由引理3和函數(shù)f的1-型性質，得到：

其中，y=αrτ。

通過上述分析，ui和uj之間的漢明相關函數(shù)為：

其中，δ=αiy/α j。

當i=j且0<τ<(qn-1)/N時，我們有δ≠1。根據(jù)f(x)的理想自相關特性，有：

當i≠j且0≤τ＜(qn-1)/N時，有δ≠1。同樣地，我們得到：

當i=j且τ=0時， 平 凡 漢 明 相 關 值 為Hui(0)=(qn-1)/N。

綜上所述，U是一個跳頻序列集，其中的每個序列是跳頻序列。根據(jù)最優(yōu)跳頻序列集的定義，可以驗證U關于Peng-Fan界為最優(yōu)的跳頻序列集，其中每個序列關于Lempel-Greenberger界是最優(yōu)的跳頻序列。

注 1 令f(x)=trqn/q(x)，那么得到：

當N=2時，U即為文獻[8]中第III節(jié)所得到的序列集。U中每個序列的線性復雜度為n，其中q和n均為奇數(shù)；

當N=q-1時，U即為文獻[17]中第IV節(jié)所得到的序列集。其中每個序列的線性復雜度為n；

對任意整數(shù)N滿足N|(q-1)和gcd(N,T)=1，U即是文獻[6]中第IV節(jié)所得到的跳頻序列集。U中每個序列的線性復雜度為n。

如果我們采用其它具有理想自相關性質的d-型函數(shù)，那么就可以得到具有更大線性復雜度的最優(yōu)跳頻序列集。

推論 1 令f(x)是式（10）所定義的HG函數(shù)，則式（14）定義的跳頻序列集U為一個最優(yōu)的跳頻序列集。U中每個序列關于Lempel-Greenberger界是最優(yōu)的，且線性復雜度為(m+1)n。

4 結 語

本文基于冪函數(shù)和具有理想自相關特征的d-型函數(shù)構造了一類跳頻序列集，利用d-型函數(shù)特性證明了所構造的跳頻序列的漢明相關特性滿足Peng-Fan界和Lempel-Greenberger界，是一類最優(yōu)的跳頻序列集。同時，通過采用HG函數(shù)，本文的構造方法能夠得到具有更大線性復雜度的最優(yōu)跳頻序列集，這些序列集在軍事跳頻通信系統(tǒng)中具有廣闊的應用前景。