(空軍預(yù)警學(xué)院，湖北武漢 430019)

0 引 言

在雷達(dá)目標(biāo)識別、反隱身及雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計等應(yīng)用場合中，分析目標(biāo)寬帶電磁散射特性有著十分重要的意義。計算導(dǎo)體目標(biāo)雷達(dá)散射截面(Radar Cross Section，RCS)，通常建立表面積分方程(Surface Integral Equation，SIE)，采用矩量法(Method of Moments，MoM)來進(jìn)行求解。在傳統(tǒng)的MoM中，選用定義在三角面片上的RWG(Rao-Wilton-Glisson)函數(shù)[1]可把SIE離散成矩陣方程。當(dāng)入射電磁波為單一頻率時，RCS可通過求解矩陣方程得到的感應(yīng)電流來計算。此時若需要獲得一個感興趣頻段內(nèi)的RCS頻率響應(yīng)特性，傳統(tǒng)的MoM就需要在不同的頻率點(diǎn)重復(fù)求解矩陣方程，由于MoM中的阻抗矩陣為稠密矩陣，故重復(fù)求解將花費(fèi)大量的時間。

為了解決這個問題，漸近波形估計(Asymptotic Waveform Evaluation，AWE)技術(shù)[2]通過插值矩陣方程的解，以節(jié)約在不同頻率點(diǎn)重新構(gòu)建阻抗矩陣及求解矩陣方程的時間；阻抗矩陣插值方法則通過插值阻抗矩陣，以避免重復(fù)構(gòu)建不同頻率點(diǎn)的阻抗矩陣。然而這些方法都不能降低MoM中稠密矩陣的階數(shù)。

特征基函數(shù)法[3](Characteristic Basis Function Method，CBFM)是快速求解MoM矩陣方程的一種有效方法,其基于區(qū)域分解概念提取的特征基函數(shù)(Characteristic Basis Function，CBF)能有效降低傳統(tǒng)矩量法生成的全局矩陣階數(shù)，從而可以直接求解矩陣方程，避免迭代求解可能帶來的迭代緩慢或不收斂問題。雖然采用CBFM可以有效提高單個頻率點(diǎn)的求解速度，但在計算寬帶RCS頻率響應(yīng)時，由于CBF與頻率有關(guān)，不同頻率點(diǎn)的CBF是需要重新計算的，故不能有效減少頻率掃描時的計算時間。文獻(xiàn)[4]基于CBFM提出了超寬帶特征基函數(shù)法(Ultra-Wide Band Characteristic Basis Function Method，UCBFM)。該方法利用較高頻率點(diǎn)提取的CBF能夠反映較低頻率點(diǎn)感應(yīng)電流特征的特性，在待分析的頻段最高點(diǎn)，提取定義為超寬帶特征基函數(shù)(UCBF)后，用以代替該頻段其他頻率點(diǎn)的CBF，由此減少逐個頻點(diǎn)重復(fù)計算CBF的時間，達(dá)到快速頻率掃描的目的。近年來，學(xué)者對該方法開展研究，并將該方法、改進(jìn)算法或結(jié)合其他快速算法成功地應(yīng)用于散射等電磁問題求解中，并且已有文獻(xiàn)大多針對單個導(dǎo)體目標(biāo)算例，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性[5-8]。

本文在闡述UCBFM的快速頻率掃描原理后，將其應(yīng)用于由單個導(dǎo)體目標(biāo)擴(kuò)展而得的多導(dǎo)體目標(biāo)寬帶電磁散射問題，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證該方法在這類問題求解中的準(zhǔn)確性、有效性。

1 超寬帶特征基函數(shù)法

采用傳統(tǒng)的矩量法分析導(dǎo)體目標(biāo)散射問題時，利用RWG基函數(shù)離散電場積分方程后，得到如下形式的矩陣方程：

Z(f)I(f)=V(f)

(1)

式中，Z為N×N維阻抗矩陣，V為N×1維激勵矩陣，I為未知的N×1維感應(yīng)電流系數(shù)矩陣，其中，N為待求解的未知數(shù)個數(shù)，f為頻率。

采用傳統(tǒng)的CBFM求解式(1)時，包括3個基本步驟：1)將求解區(qū)域劃分為M塊子域，從每塊(子域)提取特征基函數(shù)；2)運(yùn)用Galerkin方法構(gòu)建降階矩陣；3)求解矩陣方程。

計算寬帶RCS時，上述傳統(tǒng)的CBFM方法需要在頻段的各個頻率點(diǎn)重復(fù)計算CBF，相比傳統(tǒng)的CBFM方法，UCBFM包含3個關(guān)鍵步驟：1)在最高頻率點(diǎn)提取生成UCBF；2)在各個低頻率點(diǎn)重復(fù)應(yīng)用UCBF；3)用UCBF構(gòu)建每個頻率點(diǎn)的降階矩陣并求解。由此避免重復(fù)計算，以實(shí)現(xiàn)快速頻率掃描。

1.1 提取超寬帶特征基函數(shù)

在最高頻率點(diǎn)處，運(yùn)用平面波法產(chǎn)生超寬帶特征基函數(shù)(UCBF)。平面波從不同方向激勵每個獨(dú)立的子域i后，求解下式可以得初始UCBF：

(2)

從各個子域提取出UCBF后，可生成整個求解區(qū)域的UCBF：

(3)

式中，Uii為Ni×Ki維從第i塊子域中提取的UCBF,U為N×K維整個求解區(qū)域的UCBF，其中，K為整個求解區(qū)域的UCBF個數(shù)，是各子域的UCBF個數(shù)之和。頻率掃描時，該U被用在各個低頻率點(diǎn)，而不需要在低頻率點(diǎn)再重復(fù)提取相應(yīng)的CBF。

1.2 產(chǎn)生降階矩陣方程并求解

此時，式(1)的解可用UCBF表示為如下形式：

(4)

式中，αi為第i塊子域上待求解的Ki×1維UCBF系數(shù)矩陣。

為構(gòu)建低頻率點(diǎn)的降階矩陣，將式(4)代入式(1)，可得

ZCα=VC

(5)

式中，ZC=UTZU，VC=UTV，α=[α1，α2，…，αM]為K×1維待求解的對應(yīng)于頻率點(diǎn)f的UCBF系數(shù)矩陣。從式(1)和式(3)可見，UCBF確定后，從原來需要求解I的N個未知數(shù)轉(zhuǎn)化成只需求解α的K個未知數(shù)，通常K要小于未知數(shù)個數(shù)N。

最后，求解式(5)得系數(shù)矩陣α后，代入式(4)可求出導(dǎo)體目標(biāo)在頻率點(diǎn)f時的感應(yīng)電流系數(shù)I，繼而可利用場方程求解相關(guān)電磁散射問題，如計算目標(biāo)在該頻率點(diǎn)的RCS等。

2 數(shù)值算例與結(jié)果

對由單個導(dǎo)體目標(biāo)擴(kuò)展而得的多導(dǎo)體目標(biāo)，為驗(yàn)證采用UCBFM分析其寬帶電磁散射特性的有效性，分別以2×2導(dǎo)體球和3×1立方導(dǎo)體為例，計算其寬帶RCS頻率響應(yīng)。仿真均在Intel Core i7-3520M CPU，2.90 GHz，8 GB RAM的PC機(jī)上完成。仿真時，入射波為θ極化方向的平面波且從θ=75°，φ=0°入射，采用三角形面片剖分?jǐn)U展導(dǎo)體目標(biāo)，計算時考慮VV極化情況。

算例一 半徑為0.6 cm的2×2導(dǎo)體球，兩兩中心間距為3 cm，放置于xoy平面。采用UCBFM，分別計算頻率為9，6，3 GHz時的雙站RCS，計算結(jié)果如圖1所示。其中，提取UCBF的頻率點(diǎn)選擇為10 GHz，奇異值分解(SVD)后，每個導(dǎo)體球提取的UCBF個數(shù)為308。

作為對比，采用傳統(tǒng)CBFM和MoM(商業(yè)FEKO軟件)計算的結(jié)果也如圖1所示。其中，傳統(tǒng)CBFM分別在9, 6, 3 GHz頻率點(diǎn)處提取CBF，SVD后，每個導(dǎo)體球上提取的CBF個數(shù)分別為236, 126, 48。

圖1顯示了3種結(jié)果的一致性很好，這也進(jìn)一步表明，將最高頻點(diǎn)處提取的UCBF用于低頻點(diǎn)的計算過程中，不會帶來精度損失。

(a) f=9 GHz

(b) f=6 GHz

(c) f=3 GHz圖1 2×2導(dǎo)體球雙站RCS(f=9, 6, 3 GHz，VV極化)

算例二 計算上述2×2導(dǎo)體球的寬帶單站RCS。頻率帶寬為8～10 GHz，計算時選擇50個頻率點(diǎn)。作為比較，采用兩種頻率掃描的方法：一種是UCBFM，在最高頻率點(diǎn)提取UCBF后，在每個頻率點(diǎn)重復(fù)運(yùn)用；另一種是傳統(tǒng)的CBFM，在每個頻率點(diǎn)重復(fù)提取CBF。

兩種方法的計算結(jié)果如圖2所示。其中，UCBF在最高頻率點(diǎn)10 GHz提取，SVD分解后，單個導(dǎo)體球提取的UCBF個數(shù)為308，該方法的CPU計算時間為1 170.470 s；CBF分別在50個頻率點(diǎn)提取，相應(yīng)的CPU計算時間為4 418.552 s。圖2的結(jié)果表明兩者的一致性很好，且采用UCBFM進(jìn)行頻率掃描，可節(jié)約73.51%的計算時間。

圖2 2×2導(dǎo)體球單站RCS(f=8～10 GHz，VV極化)

算例三 3×1立方導(dǎo)體，邊長為0.9 cm，兩兩中心間距為3 cm，沿X軸放置。計算其在8～10 GHz的單站RCS，計算時選擇50個頻率點(diǎn)。計算結(jié)果如圖3所示，其中，UCBF在最高頻率點(diǎn)10 GHz提取，SVD分解后每個立方體提取的UCBF個數(shù)為426；當(dāng)重復(fù)利用UCBF進(jìn)行頻率掃描時，CPU計算時間為2 083.752 s；相應(yīng)地，重復(fù)計算CBF進(jìn)行頻率掃描時，為5 435.187 s。

圖3的結(jié)果表明兩者的一致性很好，且采用UCBFM可節(jié)約61.66%的計算時間。

圖3 3×1立方導(dǎo)體單站RCS(f=8～10 GHz，VV極化)

3 結(jié)束語

重復(fù)利用在最高頻率點(diǎn)處提取的UCBF實(shí)現(xiàn)快速頻率掃描的方法，即UCBFM，被用于計算擴(kuò)展導(dǎo)體目標(biāo)的寬帶RCS頻率響應(yīng)。該方法在計算單個頻點(diǎn)的RCS時，保留了傳統(tǒng)CBFM中對MoM矩陣方程加速求解的優(yōu)勢；在計算寬帶RCS頻率響應(yīng)時，相比傳統(tǒng)CBFM，因不需要在每個頻率點(diǎn)重復(fù)計算CBF，減少了計算時間。數(shù)值仿真驗(yàn)證了此頻率掃描方法的有效性，可用于擴(kuò)展目標(biāo)的寬帶RCS快速頻率掃描中。數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證，該方法為快速分析擴(kuò)展導(dǎo)體目標(biāo)寬帶電磁散射特性提供了一種可能的解決途徑。如果進(jìn)一步研究寬帶特征基函數(shù)快速提取，并結(jié)合其他快速算法求解矩陣方程，將進(jìn)一步減少計算時間上的花費(fèi)，拓展UCBFM在目標(biāo)散射問題上的應(yīng)用空間。此外，將UCBFM用于擴(kuò)展目標(biāo)時，其適用的頻率掃描范圍相對單目標(biāo)會更加嚴(yán)格，其與目標(biāo)個數(shù)、結(jié)構(gòu)形狀等的關(guān)系有待下一步深入研究。