姜浩哲 汪曉勤

【摘要】研究者通過對2014—2017年間10個初中HPM（History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，意為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）課例進行分析發(fā)現(xiàn)，HPM視角下的新知引入有問題引入、故事引入、演示引入三種類型。大多數(shù)HPM課例新知引入具備可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)同現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動機在“知識之諧”中能夠得到有效激發(fā)。但部分HPM課例在引入方式的選擇和運用、數(shù)學(xué)史料的選取和加工上還有待進一步完善和改進。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史；新知引入；初中數(shù)學(xué)；HPM課例

一、引言

作為課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，新知引入具有引起學(xué)生注意、激發(fā)學(xué)生動機、構(gòu)建教學(xué)目標(biāo)、明確學(xué)習(xí)任務(wù)以及建立新舊知識聯(lián)系等功能[1]，精妙的新知引入往往有“轉(zhuǎn)軸撥弦三兩聲，未成曲調(diào)先有情”之效。同時，新知引入還是一門教學(xué)藝術(shù)，能起到預(yù)示課堂高潮、引導(dǎo)學(xué)生思維等效果[2]。在我國，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)由舊知識引入新知識，這既符合“溫故而知新”的傳統(tǒng)教育方式，也符合現(xiàn)代認(rèn)知主義理論和建構(gòu)主義思想。但是，部分教師在實際課堂中運用“以舊引新”的方式時，淡化了從舊知識到新知識的發(fā)生發(fā)展過程，甚至在簡單復(fù)習(xí)舊知識后直接把新知識告訴學(xué)生，因此達不到理想的教學(xué)形態(tài)[3]。

數(shù)學(xué)史為豐富和拓寬傳統(tǒng)教學(xué)新知引入的方式提供了一種有效路徑。早在20世紀(jì)初，美國數(shù)學(xué)史家卡約黎（FCajori）就指出，數(shù)學(xué)史是有效的教學(xué)工具。美國學(xué)者瓊斯（PSJones）則認(rèn)為，數(shù)學(xué)史能提供新課引入的話題以及幫助學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”新概念或新思想的方法。美國著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M克萊因（MKline）強調(diào)，數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南。英國數(shù)學(xué)史家福韋爾（JFauvel）將增強學(xué)生的學(xué)習(xí)動機作為數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史的重要理由之一。查納基斯（Tzanakis）和阿卡維（Arcavi）等學(xué)者則相信，通過數(shù)學(xué)史，教師可以確定引入一種新數(shù)學(xué)知識的動機[4]。有關(guān)數(shù)學(xué)史教育價值的各家觀點都表明，數(shù)學(xué)史對于課堂上的新知引入具有重要意義。

鑒于此，本文對2014—2017年間發(fā)表的10個具有代表性的初中HPM課例[5-14]進行考察和分析，希望從中總結(jié)基于數(shù)學(xué)史的初中數(shù)學(xué)新知引入方式的類型和特點，為初中數(shù)學(xué)教學(xué)以及HPM課例開發(fā)與實踐提供參考。

二、新知引入的方式

基于已有的分類方法[15]38-44，結(jié)合對初中HPM課例的具體分析，我們發(fā)現(xiàn)，基于數(shù)學(xué)史的初中數(shù)學(xué)新知引入有問題引入、故事引入、演示引入三種類型（見表1）。從數(shù)學(xué)史運用方式來看，問題引入采用了復(fù)制式或順應(yīng)式，故事引入采用了順應(yīng)式或重構(gòu)式，而演示引入數(shù)學(xué)史的運用水平最高，全部采用了重構(gòu)式。

課例“字母表示數(shù)”[5]28-30以復(fù)制式的數(shù)學(xué)史運用方式，將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師先通過古埃及時期《萊因德紙草書》中的問題，幫助學(xué)生回顧字母可以用來表示未知數(shù)，再由古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus）所著《算術(shù)》中的“已知兩數(shù)的和與差，求這兩個數(shù)”的問題引入新知。學(xué)生會用字母去設(shè)所求的兩個未知數(shù)。然而，兩數(shù)的和與差雖是已知的，但題中沒有給出，這使學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，教師繼而引導(dǎo)學(xué)生進行探究。

課例“一元二次方程的配方法”[6]38-42以復(fù)制式的數(shù)學(xué)史運用方式，將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師通過一組課前練習(xí)題幫助學(xué)生了解古人運用幾何圖形進行開平方運算的方法，呈現(xiàn)阿拉伯著名數(shù)學(xué)家花拉子米（Al-Khwarizmi）所著《代數(shù)學(xué)》中的問題：一平方與十根等于二十迪拉姆，求根。問題所涉及的一元二次方程x2+10x=20不易用因式分解法來解。教師進而引導(dǎo)學(xué)生探索幾何解法，引入“配方”的有關(guān)內(nèi)容。

課例“可化為一元一次方程的分式方程”[7]42-46以順應(yīng)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師在介紹13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（LFibonacci）的生平后，出示了斐波那契經(jīng)商時遇到的問題：兩次雇傭工人搬運貨物的詳細(xì)賬目分別如表2和表3所示。若兩次工人第一天和第二天的人均所得都相等，分別求表格中的x和y。這道題是根據(jù)《計算之書》中的問題改編的，學(xué)生能在教師引導(dǎo)下審題，找等量關(guān)系，并列出方程y2=y+308和10x=40x+6，教師由此要求學(xué)生觀察、比較問題中的兩個方程，引出新課。

課例“同底數(shù)冪的運算”[8]39-42以順應(yīng)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師由阿基米德（Archimedes）和敘拉古王子蓋羅（Gelo）在海邊散步時談?wù)摗坝钪嫔硵?shù)”的故事引入：一天，阿基米德和他的朋友敘拉古王子蓋羅在海邊散步，阿基米德請蓋羅猜測腳下的沙灘和整個西西里島上共有多少粒沙子，蓋羅回答有無窮多粒，而阿基米德則詳細(xì)介紹了自己的大數(shù)記數(shù)法。根據(jù)他的幾何證明，若將沙粒看作罌粟殼那么大，裝滿整個“宇宙”（以地球為中心，地球和太陽的距離為半徑的球）的沙粒數(shù)目為不超過6個1萬萬相乘再乘以1000。教師引導(dǎo)學(xué)生用科學(xué)記數(shù)法表示1萬萬、1萬萬個1萬萬……，并思考6個1萬萬相乘再乘以1000究竟有多大，進而引出10m×10n=10m+n的同底數(shù)冪運算公式。

課例“平方差公式”[9]43-47以順應(yīng)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師選擇等周問題，將發(fā)生在古希臘的欺騙性土地分配事件改編為莊園主與佃戶的故事：從前，一個狡猾的莊園主把一塊邊長為a（a>5）m的正方形土地租給佃戶張老漢。第二年，莊園主對張老漢說：“我把這塊地的一邊減少5m，相鄰的另一邊增加5m，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”張老漢一聽，覺得好像沒有吃虧，就答應(yīng)了?；氐郊抑?，張老漢把這件事和鄰居一講，大家都說：“你吃虧了！”由此，教師引導(dǎo)學(xué)生比較a2和（a+5）（a-5）的大小，判斷張老漢是否真的吃虧了，從而引出平方差公式。

課例“平面直角坐標(biāo)系”[10]32-37以重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師首先講述了笛卡兒（RDescartes）發(fā)明坐標(biāo)系的歷史故事：一天，笛卡兒因病躺在床上無所事事，于是又想起了那個折磨他很久的問題，即如何將平面上的點和數(shù)聯(lián)系在一起。天花板上，有一只小小的蒼蠅慢慢地爬動。笛卡兒想，如果把蒼蠅看成一個點，那么該怎么用數(shù)來表示蒼蠅的位置呢？然后，教師根據(jù)故事中的情境設(shè)計了以下問題串。

問題1：如果這只蒼蠅向右爬了5cm，怎么用數(shù)來表示它的位置？如果向右爬了3cm呢？

問題2：如果這只蒼蠅向左爬了5cm，怎么用數(shù)來表示它的位置？如果向左爬了3cm呢？

問題3：如果這只蒼蠅向上爬了5cm，怎么用數(shù)來表示它的位置？如果向下爬了3cm呢？

問題4：如果這只蒼蠅先向右爬3cm，再向上爬5cm，那么怎樣表示它的位置？

課例“反比例函數(shù)”[12]41-47以重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師首先將我國古代的勸善書《太上感應(yīng)篇》中記載的故事引入：明朝萬歷年間，揚州有一家大南貨店，店主在臨死時告訴兒子，他的一桿秤乃烏木合成，中間空的地方藏有水銀，稱出時，將水銀倒在秤頭，稱入時，將水銀倒在秤尾，從而造成“入重出輕”現(xiàn)象。接著，教師向?qū)W生展示桿秤實物并介紹使用原理，然后出示與桿秤有同樣原理的天平模型。如圖1所示，點O相當(dāng)于提鈕所在的位置，點A相當(dāng)于秤盤所在的位置，B處所掛重物相當(dāng)于秤砣。這一模型上的四個量可以分別設(shè)AO=acm，BO=bcm，A處掛的物體重mg，B處掛的物體重ng。最后，教師通過演示實驗引導(dǎo)學(xué)生探究“a、n不變時，b、m有怎樣的關(guān)系”和“a、m不變時，b、n有怎樣的關(guān)系”兩個問題，引出反比例函數(shù)。

圖1天平模型

3演示引入

課例“實數(shù)的概念”[12]41-47以重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師根據(jù)古希臘畢達哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)不可公度量的歷史，設(shè)計了折紙和拼圖的教學(xué)活動。教師首先提出“如何求一張A4紙長與寬的比”的問題，接著要求學(xué)生進行如圖2所示的折紙操作，指出折痕AE（即正方形ABEF的對角線）和A4紙的長AD相等，進而提出“若AB長為1，則AE長為多少”的問題，并引導(dǎo)學(xué)生通過多種方法將兩個邊長為1的正方形拼成一個以它們的對角線為邊長的大正方形。最后，教師指導(dǎo)學(xué)生運用二分法估算面積為2的大正方形的邊長，自然引出了無理數(shù)的概念。

圖2尋找與A4紙的長相等的線段

課例“平行線的判定”[13]34-40以重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師以《墨經(jīng)》《數(shù)理精蘊》《幾何原本》中對平行線的判定（定義）方式為切入點，引導(dǎo)學(xué)生進行從“用距離刻畫平行”到“用角刻畫平行”的探究。在教師的提示和啟發(fā)下，學(xué)生首先聯(lián)想到用兩條直線之間的距離相等來刻畫平行，接著發(fā)現(xiàn)可以先畫已知直線a的垂線，再畫垂線的垂線b，得到b∥a，而后進一步探索發(fā)現(xiàn)了用三角尺的直角沿直尺上推得到兩條平行直線，最后有學(xué)生發(fā)現(xiàn)能運用三角尺其余任意某個角和直尺推得平行直線。教師隨即演示了這一過程（如圖3），自然引出了平行線的判定方法和基本性質(zhì)。

圖3運用三角尺其余任意某個角和直尺推得平行直線

課例“三角形內(nèi)角和”[14]40-44以重構(gòu)式將數(shù)學(xué)史融入新知引入教學(xué)。教師基于三角形內(nèi)角和的歷史，引導(dǎo)學(xué)生開展泰勒斯（Thales）當(dāng)年探究和發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理的拼圖實驗：分別將6個同樣的等腰三角形圍繞一個共同頂點無縫且不重疊地拼接在一起（如圖4），可以發(fā)現(xiàn)具有共同頂點的6個角的和為360°，而在這6個角中，三角形的3個內(nèi)角∠1、∠2和∠3各出現(xiàn)兩次，故知∠1+∠2+∠3=180°；利用6個同樣的不等邊三角形重復(fù)上述實驗（如圖5），可以得到相同結(jié)論。

圖4利用6個同樣的等腰三角形進行拼圖實驗

圖5利用6個同樣的不等邊三角形進行拼圖實驗

三、基于數(shù)學(xué)史的新知引入特點

根據(jù)M克萊因提出的四個數(shù)學(xué)課程原理（興趣、動機、直觀、文化）和波利亞（GPólya）的三個數(shù)學(xué)教學(xué)原理（最佳動機、主動學(xué)習(xí)、循序漸進），理想的新知引入方式被認(rèn)為至少應(yīng)具備以下特征[3]43-46。

① 可學(xué)性，即引入建立在學(xué)生已有知識基礎(chǔ)之上，易于學(xué)生理解；

② 有效性，即引入能夠有效地揭示新知學(xué)習(xí)的必要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機；

③ 關(guān)聯(lián)性，即引入能為后面的相關(guān)知識服務(wù)；

④ 趣味性，即引入能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣。

基于上述特征，我們依次對初中階段HPM課例引入的特點進行分析。

“字母表示數(shù)”是滬教版七年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期的內(nèi)容。教科書通過列舉四個實例說明了用字母可以表示數(shù)。HPM課例中，教師則通過兩個經(jīng)典的歷史問題，在學(xué)生“字母能表示未知數(shù)”的認(rèn)知基礎(chǔ)之上引入“字母能表示任意數(shù)”，體現(xiàn)了可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性。學(xué)生在情境問題中對于如何處理已知數(shù)無從下手，教師以此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引出新課探究，體現(xiàn)了有效性。但是，該課例在趣味性的體現(xiàn)上還略顯不足。

“同底數(shù)冪的運算”是滬教版七年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期的內(nèi)容。教科書在要求學(xué)生觀察32×34=（3×3）×（3×3×3×3）=36=32+4的計算過程后指出：兩個同底數(shù)冪32、34相乘的結(jié)果是底數(shù)3不變，指數(shù)6等于2與4相加，并由此引出同底數(shù)冪相乘的法則。HPM課例由阿基米德數(shù)沙子的故事引入，學(xué)生感受到了用科學(xué)記數(shù)法表示大數(shù)的復(fù)雜和困難。教師由此開始講解同底數(shù)冪相乘的有關(guān)內(nèi)容，體現(xiàn)了關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點。

“平方差公式”是滬教版七年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期的內(nèi)容。教科書分別通過代數(shù)和幾何兩種方法引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)平方差公式。HPM課例則由根據(jù)歷史改編的莊園主與佃戶的故事引入，通過引導(dǎo)學(xué)生比較邊長變化前后的土地面積引出平方差公式，有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，體現(xiàn)了可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點。

“可化為一元一次方程的分式方程”是滬教版七年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期的內(nèi)容。教科書以全國第五次鐵路提速為背景作為問題引入，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出分式方程后，去掉方程中分式的分母轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。HPM課例則通過改編《計算之書》中的問題，引導(dǎo)學(xué)生分別列出整式方程和分式方程，并在觀察和比較中引出分式方程的特點。相較教科書，在HPM課例中，教師以圖文并茂的形式展現(xiàn)了斐波那契的生平，且為問題增加了斐波那契早年隨父親經(jīng)商的故事背景，因而更具趣味性。

“實數(shù)的概念”是滬教版七年級數(shù)學(xué)第二學(xué)期的內(nèi)容。教科書通過演示“將兩個邊長為1的小正方形沿一條對角線剪開后拼成面積為2的大正方形”這一過程來說明2的存在。從歷史上看，畢達哥拉斯學(xué)派是在“萬物皆數(shù)”的理念指導(dǎo)下研究正方形對角線與邊長之比的。而在課堂上將兩個小正方形拼成一個大正方形，對學(xué)生而言是缺乏動機的。相比較而言，A4紙比較常見，教師通過A4紙的長、寬之比問題引導(dǎo)學(xué)生進行折紙活動，使正方形的構(gòu)造變得更加自然。由此可見，HPM課例的引入過程體現(xiàn)了關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點。

“平行線的判定”是滬教版七年級數(shù)學(xué)第二學(xué)期的內(nèi)容。教科書從實驗幾何的角度，引導(dǎo)學(xué)生進行平推三角尺的操作實踐，得到“同位角相等，兩直線平行”的判定方法，再要求學(xué)生操作實踐得到平行線的基本性質(zhì)。HPM課例則基于歷史相似性，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“用距離刻畫平行”到“用角刻畫平行”的探究過程，體現(xiàn)了可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性和趣味性的特點。

“平面直角坐標(biāo)系”是滬教版數(shù)學(xué)七年級第二學(xué)期的內(nèi)容。教科書由“對號入座”問題引入。在HPM課例中，教師巧妙地將問題串與數(shù)學(xué)故事相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生一步步走出一維世界，認(rèn)識二維平面，既充分考慮了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，又揭示了用“實數(shù)對”表示平面內(nèi)點的必要性，整個引入過程具備可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點。

“三角形內(nèi)角和”是滬教版七年級數(shù)學(xué)第二學(xué)期的內(nèi)容。教科書通過演示從一塊三角形紙板裁下三個角并拼在一起的實驗，引導(dǎo)學(xué)生猜想三角形的三個內(nèi)角和等于180°。在HPM課例中，教師首先介紹了泰勒斯鋪設(shè)地磚時的發(fā)現(xiàn)，然后基于學(xué)生“周角等于360°”的認(rèn)知基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生開展泰勒斯的拼圖實驗引入新知，體現(xiàn)了可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點。

“一元二次方程的配方法”是滬教版八年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期的內(nèi)容。教科書在要求學(xué)生觀察x2+8x和（x+4）2的展開式后直接介紹了運用配方法求解方程x2+8x=0。但是，方程x2+8x=0也可以直接通過因式分解法求解，教科書的引入無法體現(xiàn)新知學(xué)習(xí)的必要性。HPM課例則對歷史進行了重構(gòu)，在學(xué)生從代數(shù)和幾何的角度理解“直接開平方法”的基礎(chǔ)上，通過呈現(xiàn)花拉子米《代數(shù)學(xué)》中的一道因式分解法不易解決的方程問題，引導(dǎo)學(xué)生將幾何意義上的“將長方形割補成正方形”與代數(shù)意義上的“配方”聯(lián)系起來，體現(xiàn)了可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點。

“反比例函數(shù)”是滬教版八年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期的內(nèi)容。教科書通過引導(dǎo)學(xué)生探究面積固定的長方形長與寬的相互關(guān)系引入反比例函數(shù)。HPM課例則根據(jù)桿秤的故事創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，通過實驗演示使學(xué)生經(jīng)歷了從正反比例到正反比例函數(shù)的歷史過程，具備可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點。

表4對初中階段各課例中新知引入的基本特征進行了總結(jié)。大多數(shù)HPM課例新知引入具備可學(xué)性、關(guān)聯(lián)性、有效性和趣味性的特點。與高中HPM課例新知引入的特點相比[15]38-44，初中階段教師更注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機和興趣，使學(xué)生獲得積極的情感體驗，因而在引入的趣味性上更勝一籌。

表4初中階段各HPM課例的新知引入特點

課題新知引入

類型可學(xué)性關(guān)聯(lián)性有效性趣味性字母表示數(shù)問題引入√√√/可化為一元一次

方程的分式方程問題引入√√√√一元二次方程的

配方法問題引入√√√√同底數(shù)冪的運算故事引入√√√√平方差公式故事引入√√√√平面直角坐標(biāo)系故事引入√√√√反比例函數(shù)故事引入√√√√實數(shù)的概念演示引入/√√√平行線的判定演示引入√√/√三角形內(nèi)角和演示引入√√√√四、結(jié)語

綜上所述，在我們所考察的10個HPM課例中，新知引入的方式有問題引入、故事引入、演示引入三種類型。在現(xiàn)行的教科書中，數(shù)學(xué)知識往往是按照特定的邏輯體系來編排的，學(xué)生往往不知道為何要學(xué)習(xí)某個知識點；而一個知識點的歷史卻揭示了知識發(fā)生和發(fā)展的動因，這種動因往往又與問題解決息息相關(guān)。因此，歷史上導(dǎo)致知識發(fā)生發(fā)展的數(shù)學(xué)問題就成了引入新知的理想材料。數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一是讓數(shù)學(xué)課堂更具人性化，當(dāng)我們關(guān)注知識的源流時，往往會涉及數(shù)學(xué)人物和事件。因此，考慮到初中生的年齡特點，數(shù)學(xué)故事自然受到教師的喜愛；而從人物故事中引出數(shù)學(xué)問題，則是引入新知比較理想的方式。在將數(shù)學(xué)史融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)時，教師需要追溯所教知識的起源，而古人的“做數(shù)學(xué)”的方式往往與今天不同。實際上，返璞歸真是“知識之諧”的要求。教師為了再現(xiàn)古人“做數(shù)學(xué)”的過程，會讓學(xué)生通過動手操作和演示獲得初步的發(fā)現(xiàn)，這便是演示引入的方法。

當(dāng)然，部分HPM課例的引入未能兼顧四種特點，因而在引入方式的選擇和運用、數(shù)學(xué)史料的選取和加工上還有待進一步完善和改進。但是，數(shù)學(xué)史為一線教師引入新知提供了豐富的素材，基于數(shù)學(xué)史的課堂引入能大大拓寬傳統(tǒng)教學(xué)“以舊引新”的方式，使新知識自然而然地“流淌”出來，而非灌輸和強加于學(xué)生，這印證了引言中相關(guān)學(xué)者的論斷和觀點。同時，HPM課例的新知引入環(huán)節(jié)設(shè)計也對今后教科書的修訂和編寫具有一定的參考價值。

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