盤點(diǎn)知識(shí)，厘清方法

潘梅耘

解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門科學(xué)，這正說明了解析幾何中數(shù)形結(jié)合的重要性.如何熟練掌握幾何語言與代數(shù)語言之間的互化，是我們能否學(xué)好解析幾何的關(guān)鍵.下面就直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容，與同學(xué)們談?wù)剛€(gè)人的理解.

一、整體把握直線與圓的位置關(guān)系

1.直線與圓

直線與圓的位置關(guān)系，可以利用直線與圓的方程構(gòu)成的方程組是否有解的代數(shù)方法來判斷，也可以利用平面幾何中的相關(guān)性質(zhì)，通過圓心到直線的距離（d）與半徑（r）的大小的比較來判斷.在這里，我們可以很自然地看到幾何語言與代數(shù)語言的互化，如表1所示，直線與圓共有三種不同的位置關(guān)系.

其實(shí)，就算我們選擇了幾何視角，在考慮網(wǎng)心到直線的距離（d）時(shí)，仍然需要回歸到代數(shù)視角上來，利用點(diǎn)到直線的距離公式來表示與計(jì)算d，并進(jìn)行數(shù)值大小的比較，這無疑加深了幾何與代數(shù)的聯(lián)系，正是解析幾何這一橋梁貫通了二者，互化的過程，就是不斷地幫助我們厘清思路、成功解題的關(guān)鍵.當(dāng)然，如果能夠多從幾何的角度考慮問題，可以達(dá)到以形助數(shù)、以思減算的效果，對(duì)于成功解題很有幫助.

問題1 如果直線l：ax+by= r2與圓C：x2+y2=r2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則P（a，b）與圓的位置關(guān)系是 ___（只需填正確結(jié)論的序號(hào)）

①P在圓外; ②P在圓上;

③P在圓內(nèi); ④不確定.

點(diǎn)撥 直線l：ax+by=r2與圓C：x2+y2=r2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？圓心C到直線l的距離小于半徑？—r2/√a2+b2？a2+b2>r2？點(diǎn)P（a，6）在網(wǎng)C外.答案：①.

此問題是典型的代數(shù)語言與幾何語言形式共存的問題.所以貫通這兩種語言，顯得十分重要.主要有兩處：我們記點(diǎn)P與圓心距離為dp，直線與圓心距離為dl，圓的半徑為r，一是直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即直線與網(wǎng)相交，可從幾何視角來轉(zhuǎn)化條件，即為“d1

事實(shí)上，最終我們可得到一組完整的結(jié)論：dP>r？dlr.

2.弦長(zhǎng)公式

直線與網(wǎng)相交時(shí)，求弦長(zhǎng)是典型問題.

從代數(shù)角度分析，只需利用兩點(diǎn)間的距離

從幾何角度觀察，計(jì)算弦長(zhǎng)時(shí)用半徑（r）、弦心距（d）、半弦（1/2d弦長(zhǎng)）構(gòu)成直角三角形三邊計(jì)算.弦心距如何求？運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式.構(gòu)造直角三角形是為了做什么？利用勾股定理描述的三邊關(guān)系計(jì)算半弦長(zhǎng).

問題2 直線l經(jīng)過點(diǎn)P（5，5），其斜率為k（k∈R），l與圓x2 +y2 =25相交，交點(diǎn)分別為A，B，若AB=4√5 ，求k的值，

解析 顯然，直線l的斜率是存在的，其方程可表示為y-5=k（x-5）.

則圓心到該直線的距離

解得k=2或k=1/2.

反思 弦長(zhǎng)公式中的d是關(guān)鍵量，一方面能用半徑和半弦的平方差表示，另一方面義與弦所在直線斜率相聯(lián)系，所以有關(guān)弦問題常常用該量來傳遞關(guān)系.

3.圓的切線

直線與圓相切，常見問題有切線長(zhǎng)以及切線長(zhǎng)范圍問題、切線長(zhǎng)最值以及切線所在直線問題，我們常利用切點(diǎn)與圓心的連線和切線垂直來構(gòu)筑直角三角形解題，而這里的“斜邊長(zhǎng)”，則需要我們利用兩點(diǎn)間的距離公式來表示與計(jì)算.

問題3 如圖1，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1，圓O2的切線PM，PN（M，N分別為切點(diǎn)），使得PM=√2PN，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

點(diǎn)撥 利用切線長(zhǎng)公式，將PM=√2PN化為PO21=2（PO22-1），而后建立平面直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間的距離公式來表示PO1，PO2，即可得到所求軌跡方程，

反思 對(duì)于與切線有關(guān)的問題，要盡可能地挖掘其平面幾何性質(zhì)，這樣，需要我們轉(zhuǎn)化為“代數(shù)語言”的部分就越少，障礙也就越小.此題如果單純從代數(shù)的角度解答，難度很大.

二、掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系

用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)理解兩圓的位置關(guān)系能很好地把握它們的特征，如表2所示，共有五種位置關(guān)系，

這里，圓與圓的位置關(guān)系就可以通過圓心距與半徑的代數(shù)關(guān)系刻畫，其中網(wǎng)心距只需通過兩點(diǎn)間的距離公式即可表示出來.

問題4 （1）圓C1：x2+y2 =9與圓C2：x2+y2-4ax-2y+4a2-3=O相切，則實(shí)數(shù)a=____.

（2）兩圓x2+y2+2ax+2ay+2a21=O與x2+y2 +2bx+2by+2b2-2=0的公共弦長(zhǎng)的最大值是_________________.

（3）過y=x與x2+y2-6x=0公共點(diǎn)且最小的圓方程為_____.

（4）兩圓x2+y2-4x+2V+1=O與x2+y2 +4x-4y-1=0的公切線有___ 條.

解 （1）O，±√6;（2）2;（3）x2+y2-3x-3y=O; （4）3.

反思 1.兩圓相切有內(nèi)切和外切兩種;注意圓一般式成立的條件.2.相交兩圓公共弦所在直線方程為兩圓方程之差;利用平面幾何探討公共弦長(zhǎng)最值問題較方便.3.理解兩網(wǎng)位置關(guān)系的代數(shù)表述，注重符號(hào)語言與圖象語言的互化.

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的過程中，不僅要學(xué)會(huì)與它相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是領(lǐng)悟解析幾何的核心思想——數(shù)形結(jié)合.它不僅僅是觀察問題的視角，更多的是貫通了研究對(duì)象的幾何意義與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)含義.如此，我們對(duì)本章的內(nèi)容才能駕輕就熟，解題時(shí)如庖丁解牛一般，游刃有余.

鞏固練習(xí)

1.（1）從點(diǎn)M（x，y）向圓O1（x+1）2+（y-3）2=5和圓O2（x-1）2+（y+2）2=2分別作切線，若切線的長(zhǎng)度相等，則點(diǎn)M的軌跡方程是_____;

（2）點(diǎn)P為2x+y-3=0上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2+y2 =1的切線，切點(diǎn)為A，則PA的最小值是_____.

2.（1）已知A={（x，y）|x2+y2-2y=0），B={（x，y）|y=kx-k+1）}，則A ∩ B中的元素個(gè)數(shù)是____;

（2）已知A={（x，y）| x2+y2-2y=0}，B={（x，y）|y-x/x-1}，則A ∩ B中的元素個(gè)數(shù)是_____;

（3）已知A={（x，y）|x2+y2+y2-2y=0，x>0}，B={（x，y）|y-1/x-2=k}，則A∩B中的元素個(gè)數(shù)是1，則k的取值范圍為___.

參考答案

1.（1）2x-5y+1=0;（2） 2√5.

2.（1）2; （2）1;

（3）（-∞， -1）∪（1，+∞）.