李靜瑜

摘 要：角動(dòng)量守恒在現(xiàn)代技術(shù)有著非常廣泛的應(yīng)用。例如直升飛機(jī)在未發(fā)動(dòng)前總角動(dòng)量為零，發(fā)動(dòng)以后旋翼在水平面內(nèi)高速旋轉(zhuǎn)必然引起機(jī)身的反向旋轉(zhuǎn)。為了避免這種情況，人們?cè)跈C(jī)尾上安裝一個(gè)在豎直平面旋轉(zhuǎn)的尾翼，由此產(chǎn)生水平面內(nèi)的推動(dòng)力來(lái)阻礙機(jī)身的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。與此類(lèi)似，魚(yú)雷都采用左右兩個(gè)沿反方飛機(jī)、導(dǎo)彈或宇宙飛船上的回旋儀（也稱(chēng)“陀螺”，由蒼蠅后翅（特化為平衡棒）仿生得來(lái)。）的導(dǎo)航作用，也是角動(dòng)量守恒應(yīng)用的最好例證。本文探討陀螺的回旋效應(yīng)（gyroscopic effect）以及此效應(yīng)在現(xiàn)代工程技術(shù)等領(lǐng)域中廣泛使用。

關(guān)鍵詞：角動(dòng)量守恒；陀螺儀；回旋效應(yīng)

1 引言

陀螺（top）既是繞一個(gè)支點(diǎn)高速轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體（rigid body）。日常生活中人們常說(shuō)的陀螺我們?nèi)笔閷?duì)稱(chēng)陀螺，既為質(zhì)量均勻分布的、具有軸對(duì)稱(chēng)形狀的剛體，其幾何對(duì)稱(chēng)軸就是它的自轉(zhuǎn)軸。在一定的初始條件和一定的外在力矩作用下，陀螺會(huì)在不停自轉(zhuǎn)的同時(shí)，還繞著另一個(gè)固定的轉(zhuǎn)軸不停地旋轉(zhuǎn)，這就是陀螺的旋進(jìn)（precession），又稱(chēng)為回轉(zhuǎn)效應(yīng)（gyroscopic effect）。

2 陀螺的原理

一個(gè)固定了旋心并傾斜旋轉(zhuǎn)的陀螺受到兩個(gè)旋矩的作用，一個(gè)是重力旋矩，另一個(gè)是使陀螺旋轉(zhuǎn)與水平面平行的旋矩，在這兩個(gè)旋矩的作用下又產(chǎn)生了繞心進(jìn)動(dòng)的旋矩。在這里旋矩等于向心加速度乘以旋臂。

因?yàn)橹亓π睾妥屚勇菪D(zhuǎn)的旋矩都是向心作用的，但它們的作用方向卻成90度角的同心垂直交叉作用?？梢越ㄊ噶孔鴺?biāo)來(lái)表示重力旋矩和與水平面平行的旋矩的大小，垂直方向的為重力旋矩，與水平面平行的為陀螺旋轉(zhuǎn)的旋矩。

當(dāng)使陀螺旋轉(zhuǎn)的旋矩等于陀螺固定的最大重力旋矩時(shí)，它們的向心作用點(diǎn)就會(huì)在同一點(diǎn)上，這時(shí)陀螺的旋轉(zhuǎn)就會(huì)形成以陀螺旋轉(zhuǎn)的旋矩大小為半徑的擴(kuò)大了的球形旋轉(zhuǎn)，而按球形球面的任意一點(diǎn)到球心的向心旋矩是相等的來(lái)分析，實(shí)際上旋矩的作用就是平衡了重力旋矩的作用而使陀螺豎立不倒。還有重力旋矩的作用中心是始終指向球心的，不管以旋矩形成的球形有多大，就會(huì)有以這球形半徑的大小為力臂而形成的重力旋矩。

而當(dāng)陀螺旋轉(zhuǎn)的旋矩小于固定了旋心的陀螺重力旋矩時(shí)，它們的向心作用點(diǎn)就不在同一點(diǎn)上，此時(shí)陀螺腳到陀螺旋心的重力旋矩就會(huì)倒下直到和旋轉(zhuǎn)的旋矩平衡相等并同心垂直交叉為止，即重新形成以這陀螺旋矩大小一樣的重力旋矩和以這旋矩為半徑的球形旋轉(zhuǎn)，同時(shí)也形成了以陀螺腳為周轉(zhuǎn)中心的繞心旋矩，這就是陀螺為什斜著旋轉(zhuǎn)不會(huì)倒下的原理。

3 物理推導(dǎo)

一個(gè)圓環(huán)陀螺，定點(diǎn)在質(zhì)心，自轉(zhuǎn)角速度為ω，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，施加一個(gè)力偶距M使其處于規(guī)則進(jìn)動(dòng)，現(xiàn)推導(dǎo)其進(jìn)動(dòng)角速度Ω。

取圓環(huán)上相對(duì)豎直軸角位移為θ的某質(zhì)點(diǎn)P來(lái)分析。

我們將規(guī)則進(jìn)動(dòng)的陀螺看作一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)參考系，僅考慮P受到的垂直于盤(pán)面的加速度，可求出為：

a=2Ω×V=2Ω×（R×ω）×sin（θ+Pi/2）=2Ω×R×ω×cos（θ） （1）

設(shè)P對(duì)軸的角加速度為α，由角加速度與加速度的關(guān)系：

α=a/（R×cos（θ））

代入（1）得：

α=2Ω×ω （2）

由此可見(jiàn)，圓環(huán)上各質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角加速度與質(zhì)點(diǎn)位置θ無(wú)關(guān)，所以圓環(huán)對(duì)軸具有統(tǒng)一的角加速度，于是可使用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理：

α=M/I，I為圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，易知I=J/2，代入（2）得：

2Ω×ω=M/（J/2）

Ω=M/（Jω）

定性分析如下：

邊緣上質(zhì)點(diǎn)隨圓盤(pán)在自轉(zhuǎn)，并在線(xiàn)加速度作用下，出現(xiàn)如下運(yùn)動(dòng)

余弦形式的加速度導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)正弦變化的線(xiàn)速度，二者方向時(shí)刻相同，并垂直于盤(pán)面邊緣（圓環(huán)）所有對(duì)稱(chēng)質(zhì)點(diǎn)都在以此規(guī)律運(yùn)動(dòng)，因此該圓環(huán)在兩“豎直”力的作用下，將會(huì)出現(xiàn)水平翻轉(zhuǎn)，這就是“進(jìn)動(dòng)”并且不會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)，也就是空間位置不變，這就是“穩(wěn)定性”，也就是“不倒”

4 陀螺的實(shí)際應(yīng)用

陀螺儀是一種既古老而又很有生命力的儀器，從第一臺(tái)真正實(shí)用的陀螺儀器問(wèn)世以來(lái)已有大半個(gè)世紀(jì)，但直到現(xiàn)也，陀螺儀仍在吸引著人們對(duì)它進(jìn)行研究，這是由于它本身具有的特性所決定的。陀螺儀最主要的基本特性是它的穩(wěn)定性和進(jìn)動(dòng)性。人們從兒童玩的地陀螺中早就發(fā)現(xiàn)高速旋轉(zhuǎn)的陀螺可以豎直不倒而保持與地面垂直，這就反映了陀螺的穩(wěn)定性。研究陀螺儀運(yùn)動(dòng)特性的理論是繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)的一個(gè)分支，它以物體的慣性為基礎(chǔ)，研究旋轉(zhuǎn)物體的動(dòng)力學(xué)特性。

陀螺儀器最早是用于航海導(dǎo)航，但隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，它在其他工程技術(shù)領(lǐng)域中也得到廣泛的應(yīng)用。陀螺儀器不僅可以作為指示儀表，而更重要的是它可以作為自動(dòng)控制系統(tǒng)中的一個(gè)敏感元件，即可作為信號(hào)傳感器。根據(jù)需要，陀螺儀器能提供準(zhǔn)確的方位、水平、位置、速度和加速度等信號(hào)，以便駕駛員或用自動(dòng)導(dǎo)航儀來(lái)控制飛機(jī)、艦船或航天飛機(jī)等航行體按一定的航線(xiàn)飛行，而在導(dǎo)彈、衛(wèi)星運(yùn)載器或空間探測(cè)火箭等航行體的制導(dǎo)中，則直接利用這些信號(hào)完成航行體的姿態(tài)控制和軌道控制。作為穩(wěn)定器，陀螺儀器能使列車(chē)在單軌上行駛，能減小船舶在風(fēng)浪中的搖擺，能使安裝在飛機(jī)或衛(wèi)星上的照相機(jī)相對(duì)地面穩(wěn)定等等。作為精密測(cè)試儀器，陀螺儀器能夠?yàn)榈孛嬖O(shè)施、礦山隧道、地下鐵路、石油鉆探以及導(dǎo)彈發(fā)射井等提供準(zhǔn)確的方位基準(zhǔn)。由此可見(jiàn)，陀螺儀器的應(yīng)用范圍是相當(dāng)廣泛的，它在現(xiàn)代化的國(guó)防建設(shè)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)中均占重要的地位。

4.1、陀螺工作站的原理

高速旋轉(zhuǎn)的物體的旋轉(zhuǎn)軸，對(duì)于改變其方向的外力作用有趨向于鉛直方向的傾向。而且，旋轉(zhuǎn)物體在橫向傾斜時(shí)，重力會(huì)向增加傾斜的方向作用，而軸則向垂直方向運(yùn)動(dòng)，就產(chǎn)生了搖頭的運(yùn)動(dòng)（歲差運(yùn)動(dòng)）。當(dāng)陀螺經(jīng)緯儀的陀螺旋轉(zhuǎn)軸以水平軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于地球的旋轉(zhuǎn)而受到鉛直方向旋轉(zhuǎn)力，陀螺的旋轉(zhuǎn)體向水平面內(nèi)的子午線(xiàn)方向產(chǎn)生歲差運(yùn)動(dòng)。當(dāng)軸平行于子午線(xiàn)而靜止時(shí)可加以應(yīng)用。

4.2、陀螺工作站的構(gòu)造

陀螺經(jīng)緯儀的陀螺裝置由陀螺部分和電源部分組成。此陀螺裝置與全站儀結(jié)合而成。陀螺本體在裝置內(nèi)用絲線(xiàn)吊起使旋轉(zhuǎn)軸處于水平。當(dāng)陀螺旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于地球的自轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)軸在水平面內(nèi)以真北為中心產(chǎn)生緩慢的歲差運(yùn)動(dòng)。旋轉(zhuǎn)軸的方向由裝置外的目鏡可以進(jìn)行觀測(cè)，陀螺指針的振動(dòng)中心方向指向真北。利用陀螺經(jīng)緯儀的真北測(cè)定方法有“追尾測(cè)定”和“時(shí)間測(cè)定”等。

4.2.1追尾測(cè)定[反轉(zhuǎn)法]

利用全站儀的水平微動(dòng)螺絲對(duì)陀螺經(jīng)緯儀顯示歲差運(yùn)動(dòng)的刻度盤(pán)進(jìn)行追尾。在震動(dòng)方向反轉(zhuǎn)的點(diǎn)上（此時(shí)運(yùn)動(dòng)停止）讀取水平角。如此繼續(xù)測(cè)定之，求得其平均震動(dòng)的中心角。用此方法進(jìn)行20分鐘的觀測(cè)可以求得+/-0。5分的真北方向。

4.2.2時(shí)間測(cè)定[通過(guò)法]

用追尾測(cè)定觀測(cè)真北方向后，陀螺經(jīng)緯儀指向了真北方向，其指針由于歲差運(yùn)動(dòng)而左右擺動(dòng)。用全站儀的水平微動(dòng)螺絲對(duì)指針的擺動(dòng)進(jìn)行追尾，當(dāng)指針通過(guò)0點(diǎn)時(shí)反復(fù)記錄水平角，可以提高時(shí)間測(cè)定的精度，并以+/-20秒的精度求得真北方向。

5 陀螺儀應(yīng)用實(shí)例

5.1 隧道中心線(xiàn)測(cè)量

在隧道等挖掘工程中，坑內(nèi)的中心線(xiàn)測(cè)量一般采用難以保證精度的長(zhǎng)距離導(dǎo)線(xiàn)。特別是進(jìn)行盾構(gòu)挖掘（shield tunnel）的情況，從立坑的短基準(zhǔn)中心線(xiàn)出發(fā)必須有很高的測(cè)角精度和移站精度，測(cè)量中還要經(jīng)常進(jìn)行地面和地下的對(duì)應(yīng)檢查，以確保測(cè)量的精度。特別是在密集的城市地區(qū)，不可能進(jìn)行過(guò)多的檢測(cè)作業(yè)而遇到困難。如果使用陀螺經(jīng)緯儀可以得到絕對(duì)高精度的方位基準(zhǔn)，而且可減少耗費(fèi)很高的檢測(cè)作業(yè)（檢查點(diǎn)最少），是一種效率很高的中心線(xiàn)測(cè)量方法。

5.2 日影計(jì)算所需的真北測(cè)定

在城市或近郊地區(qū)對(duì)高層建筑有日照或日影條件的高度限制。在建筑申請(qǐng)時(shí)，要附加日影圖。此日影圖是指，在冬至的真太陽(yáng)時(shí)的8點(diǎn)到16點(diǎn)為基準(zhǔn)，進(jìn)行為了計(jì)算、圖面繪制所需要的高精度真北方向測(cè)定。使用陀螺經(jīng)緯儀測(cè)量可以獲得不受天氣、時(shí)間影響的真北測(cè)量。

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