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      基于遞推法的空中加油模型

      2019-09-10 15:55:54彭?xiàng)顥?/span>陰香陵朱英豪
      大眾科學(xué)·上旬 2019年3期
      關(guān)鍵詞:空中加油

      彭?xiàng)顥?陰香陵 朱英豪

      摘 要:文章基于多方案比較建立相對(duì)安全的空中加油模型,研究救援小島上飛機(jī)加油策略。為了讓任務(wù)飛機(jī)盡可能地飛的遠(yuǎn),引入作戰(zhàn)半徑,根據(jù)伴隨加油和接應(yīng)加油的兩種方式建立加油方案。

      關(guān)鍵詞:作戰(zhàn)半徑;數(shù)學(xué)歸納;遞推法;空中加油

      中圖分類號(hào):V323文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

      1 空中加油方案

      現(xiàn)有一架輕載飛機(jī)和眾多相同信號(hào)的加油飛機(jī),為保證輕載飛機(jī)成功抵達(dá)小島并能夠返回基地,加油飛機(jī)需要在空中將自己的燃料分給任務(wù)飛機(jī)。為使任務(wù)飛機(jī)能夠飛行的最遠(yuǎn),需要利用加油飛機(jī)不斷給任務(wù)飛機(jī)加油,使它盡可能地滿載,直到它能夠獨(dú)自完成剩下的所有航程。在這里,引入作戰(zhàn)半徑,即作戰(zhàn)飛機(jī)任務(wù)完成后返回出發(fā)地所能達(dá)到的最遠(yuǎn)單程距離。

      1.1伴隨機(jī)模型

      在這種情況下,所有的輔機(jī)與主機(jī)一起出發(fā),在前往小島的過程中給主機(jī)加油。最終,主機(jī)能夠獨(dú)自返回基地,油量全部消耗完。當(dāng)n架伴隨機(jī)陪同主機(jī)飛行時(shí),存在著n個(gè)最優(yōu)加油點(diǎn),每一個(gè)加油點(diǎn)均有一架輔機(jī)給其它所有的飛機(jī)加油后返回[1]。具體如下:當(dāng)所有飛機(jī)到達(dá)第一個(gè)最優(yōu)加油點(diǎn)時(shí),第一架輔機(jī)C1給主機(jī)和其它n-1架輔機(jī)加油,使每一架飛機(jī)的油量達(dá)到最大值,最后C1所剩下的油量恰好能使它飛回基地。以此類推,當(dāng)?shù)竭_(dá)最后一個(gè)加油點(diǎn)時(shí),最后一架輔機(jī)Cn給主機(jī)加滿油后恰能利用剩余的油量飛回基地。

      將小島用F表示,基地用E表示。設(shè)L為輔機(jī)能飛行的最遠(yuǎn)距離,經(jīng)改裝后的加油機(jī)能承載的最大油量為a,則主機(jī)能承載的最大油量為0.91a。當(dāng)伴隨機(jī)和主機(jī)出航時(shí),最佳加油位置分別為b1,b2,…,bn;當(dāng)飛機(jī)們到達(dá)b1后,為使被輔機(jī)C1加油后的主機(jī)和其它輔機(jī)的油量都達(dá)到滿載,且輔機(jī)C1剩下的油量能夠支撐它順利返回基地,經(jīng)計(jì)算可以得知,b1為距離基地1/(n+2L)處。當(dāng)剩下的n架飛機(jī)飛行到第二個(gè)最佳加油位置時(shí),第二架輔機(jī)開始為主機(jī)和其它n-2架輔機(jī)加油[3],此時(shí)各飛機(jī)消耗油量均為ba/L。以此類推,當(dāng)飛機(jī)們抵達(dá)第3個(gè)最佳加油位置時(shí),第3個(gè)輔機(jī)C3需要滿足的基本條件為:

      [1-(n-1)b32/L]a≥ab32/L+ab21/L+a/x (1)

      所以當(dāng)b32也等于L/(n+2)時(shí),輔機(jī)C3恰好能返回基地。于是可以猜想最佳位置b1,b2,,bn之間,相鄰兩個(gè)位置的間距均相等,始終為L(zhǎng)/(n+2)。

      假設(shè)b1,b2,,bn是等差數(shù)列,公差為L(zhǎng)/(n+2)。當(dāng)飛機(jī)們抵達(dá)第k個(gè)最佳加油位置時(shí),第k個(gè)輔機(jī)Ck給主機(jī)和其它輔機(jī)加滿油后返回基地。而在bk+1處,輔機(jī)Ck+1給剩下的n-k架飛機(jī)都加油所消耗的油量為b(k+1)ka/L。

      故為了讓輔機(jī)Ck+1能夠最大限度地加油所需要滿足條件為:

      [1-(1+n-k)a/(n+2)]a=[b(k+1)k+kL/(n+2)]a/L (2)

      解上面的方程可以得到b(k+1)k=L/(n+2),所以假設(shè)成立,相鄰兩個(gè)最佳加油位置之間的間距均為L(zhǎng)/(n+2),得知各輔機(jī)依次加油的位置以后,可以得到主機(jī)在n次加油后恰好能夠返回基地時(shí)的其它信息,如下:

      1)主機(jī)加油總量:na/(n+2)

      2)主機(jī)耗油總量:na/(n+2)+0.91a

      3)主機(jī)最大作戰(zhàn)半徑:(1.91n+1.82)L/2(n+2)

      4)主機(jī)作戰(zhàn)半徑的增加值△r:nL/2(n+2)

      在這種輔機(jī)全部做伴隨機(jī)的情況下,主機(jī)在出航的過程中不斷被輔機(jī)補(bǔ)給油量以維持它能夠獨(dú)自返航回到基地。當(dāng)有n架輔機(jī)時(shí),我們得到了主機(jī)的最大作戰(zhàn)半徑與輔機(jī)數(shù)量和輔機(jī)能承載的最大油量a之間的關(guān)系為:

      r=n(1.91n+1.82)L/2(n+2) (3)

      所以當(dāng)輔機(jī)的數(shù)量和輔機(jī)能飛行的最大航程已知后,主機(jī)在能夠安全返回基地的基礎(chǔ)上,可以飛出的最遠(yuǎn)距離就可以求解出來。

      1.2接應(yīng)機(jī)模型

      在這種情況下,m架輔機(jī)從基地出發(fā)去接應(yīng)返回的主機(jī),在返回的路上給主機(jī)加油,使主機(jī)恰好抵達(dá)基地。具體為:當(dāng)?shù)谝慌_(tái)輔機(jī)Am與主機(jī)相遇時(shí),主機(jī)的油量恰好用完。此時(shí)輔機(jī)Am將自己剩余油量的一半分給主機(jī),再與主機(jī)一起返航。當(dāng)?shù)诙_(tái)輔機(jī)Am-1與主機(jī)相遇時(shí),主機(jī)和Am的油量恰好用完。此時(shí)輔機(jī)Am-1將自己剩余油量分為相等的3份,給主機(jī)和Am加油后與它們一同返航,以此類推。

      在這里采用逆推的思想,當(dāng)最后一架接應(yīng)機(jī)A1與主機(jī)和其它m1架接應(yīng)機(jī)在d1處相遇時(shí)距離基地為1/y,此時(shí)接應(yīng)機(jī)A1給其它飛機(jī)加油后,它和這些飛機(jī)的油量均為(1-y)a/y(m+1)。只有當(dāng)y =m+2時(shí),飛機(jī)恰好都能飛回基地,故最后一個(gè)加油位置b1距離基地的距離為L(zhǎng)/(m+2)。當(dāng)輔機(jī)A2到達(dá)加油點(diǎn)d2時(shí),主機(jī)和其它m2架輔機(jī)剩余油量均為0,所有飛機(jī)距離基地為1/(y+d),此時(shí)加完油后每架飛機(jī)油量均為(a-a/y-ad/L)/m,只有當(dāng)d=L/(m+2)時(shí),主機(jī)和其余m-1架恰能到達(dá)最后一個(gè)加油位置。根據(jù)輔機(jī)全部做伴隨機(jī)的情況,同理可證明所有相鄰兩個(gè)最優(yōu)加油位置之間的間隔均為L(zhǎng)/(m+2),所以這m個(gè)加油位置的表達(dá)式如下:

      dj=jL/(m+2) (j=1,2,3,...,m) (4)

      得知各輔機(jī)依次加油的位置以后,可以得到主機(jī)在m次加油后恰好能夠返回基地時(shí)的其它信息,如下:

      1)主機(jī)加油總量:ma/(m+2);

      2)主機(jī)耗油總量:(1.91m+1.82)a/(m+2);

      3)主機(jī)最大作戰(zhàn)半徑:(1.91m+1.82)L/2(n+2);

      4)主機(jī)作戰(zhàn)半徑的增加值△r:mL/2(m+2);

      在這種輔機(jī)全部做接應(yīng)機(jī)的情況下,主機(jī)在返航的過程中不斷被輔機(jī)補(bǔ)給油量以維持它能夠返回到基地。當(dāng)有m架輔機(jī)時(shí),得到主機(jī)的最大作戰(zhàn)半徑與輔機(jī)數(shù)量之間的關(guān)系為:

      r=(1.91m+1.82)L/2(n+2) (5)

      所以當(dāng)已知作戰(zhàn)半徑的需求以及輔機(jī)能走的最遠(yuǎn)航程L后,就可以求解出需要安排多少架輔機(jī)接應(yīng)主機(jī)返航。

      參考文獻(xiàn)

      [1] 戚晨皓,翟建鋒,鄒建宇.飛機(jī)空中加油問題的研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2006,36(7):88-100.

      [2] 孫金標(biāo),施克如,王克格.空中加油問題的最優(yōu)化研究[J].飛行力學(xué),2000,18(4):10-13.

      [3] 孟暉,白華利,盧軍, 等.空中加油問題[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2006,36(7):72-87.

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