郭小春

時滯不確定線性系統(tǒng)最優(yōu)濾波

郭小春

泰山學院信息科學技術學院, 山東 泰安 271021

針對線性時滯不確定系統(tǒng),應用重組觀測分析和完全平方方法,提出了一種簡單有效的最優(yōu)濾波算法。首先將時滯濾波問題轉化為非時滯問題,然后通過求解Lyapunov方程以及與原系統(tǒng)維數(shù)相同的+1個Riccati矩陣方程,給出濾波器的設計,最后通過一個仿真實例說明該算法的正確性和有效性。

時滯系統(tǒng); 線性; 濾波

線性最優(yōu)濾波理論是現(xiàn)代控制理論中的一個基本問題，對于無時滯系統(tǒng)，著名的Kalman濾波理論已經(jīng)提出了圓滿的解決方法，其結果是基于微分或差分Riccati方程設計濾波器[1]。然而對時滯系統(tǒng)的估計問題，經(jīng)典的Kalman濾波方法已經(jīng)不再適用。因此，幾十年來，線性時滯系統(tǒng)濾波的研究已經(jīng)引起了專家學者關注，并且已提出許多方法[2-5]，例如線性矩陣不等式方法、狀態(tài)擴維方法和無限維理論等方法。

不確定性廣泛存在于通信系統(tǒng)、網(wǎng)絡擁塞控制等許多工程領域，眾多學者已對不確定線性系統(tǒng)最優(yōu)濾波問題提出了不同算法[6-8]。針對觀測方程中有相互獨立的隨機不確定線性系統(tǒng)，Nahi設計出了遞推的線性最小方差濾波器[6]。后來Hadidi等人擴展了Nahi的工作，研究了觀測中的不相互獨立的隨機不確定線性系統(tǒng)的濾波問題，同時給出了濾波器的設計算法[7]。Hermoso Carazo等人針對狀態(tài)噪聲和觀測噪聲都是有色噪聲的情況研究了不確定系統(tǒng)的濾波問題，設計出了理想的濾波器[8]?？紤]帶有隨機參數(shù)不確定的線性時變系統(tǒng)，應用線性矩陣不等式方法，通過計算一個凸優(yōu)化問題，Wang和Balakrishnan提出了魯棒Kalman濾波算法，保證了每一步估計誤差的方差最小，同時進一步論證了當狀態(tài)矩陣是時不變且均方穩(wěn)定的情況下，該算法是收斂的[9]。應用類似方法，Wang和Balakrishnan又進一步研究了隨機不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)態(tài)Kalman濾波問題[10]。不一而足[11-13]。以上所考慮的系統(tǒng)都是非時滯系統(tǒng)。對觀測中含有定常時滯的線性系統(tǒng)，應用新息分析理論，有效地解決了最優(yōu)濾波問題[14-16]。然而，觀測中含有定常時滯的線性不確定系統(tǒng)的濾波問題仍需進一步研究。

針對觀測中帶有多個定常時滯的線性不確定系統(tǒng)，本文將研究最優(yōu)濾波問題。應用完全平方和觀測重組方法，通過計算+1個Riccati方程和一個Lyapunov方程，設計最優(yōu)濾波器。

為了描述方便，在本文中，給出了如下的符號記號：

（1）表示矩陣轉置

（2）R表示實維歐氏空間

（4）[·]表示數(shù)學期望

（5）符號⊕表示塊對角矩陣

（6）{·}為列向量

1 問題闡述

設帶有l(wèi)個時滯觀測的離散時不變系統(tǒng)

k=-d，=0,1,…,

并滿足如下三個假設：

假設1：Prob{(k)=1}=且Prob{(k)=0}=1-.其中為已知常數(shù)。

假設2：噪聲()，(j)()和初始狀態(tài)(0)為互不相關的零均值白噪聲，且方差分別為

假設3：時滯d，=0,1,…,滿足0=0<1<…d.

本文問題如下：

注1：本文所研究的問題廣泛存在于信號檢測、通訊、網(wǎng)絡控制等各種工程領域[7,12]。

注2：對1，原始系統(tǒng)(1)-(2)為非時滯不確定系統(tǒng),濾波器的設計問題已存在完善的結果[4,5]。因此，本論文主要討論k≥d時的濾波器的設計問題。

2 濾波器設計

2.1 重組觀測

為了設計時滯系統(tǒng)的濾波器，首先重組觀測序列，目的是將時滯觀測轉化成非時滯觀測。注意到y(),=1,…,是狀態(tài)(k)在時刻量測，包含有時滯d，為了使時滯觀測轉化成非時滯觀測，導出重組觀測方程

y()=H()()+v()，=+1,…,1 (3)

下面引理闡述了原始觀測序列與重組觀測序列的聯(lián)系。

2.2 主要結果

讓

為狀態(tài)估計誤差的協(xié)方差矩陣。

根據(jù)上面討論，給出如下結果。

其中：

和

并且：

將(1)代入(11)，整理得

其中

且有Δ(-1,)=-(-1,)H-(-1,)。

對式(13)右邊完全平方，利用(10)，得

因為式(14)中第二項與(-1,)和(-1,)無關，所以選擇(-1,)和(-1,)使上式第一項、第三項為零，從而極小化式(14)，得證式(7)和(8)。

為了計算濾波器，需進一步給出估計誤差(|,)的計算。

引理3：估計誤差協(xié)方差矩陣(|,),k<≤k-1，=+1,…,滿足

其中初始值為(0|0,+1)=0和(k|k,+1)=(k|k,)，并且P(-1,)和W(-1,)分別由(9)和(10)給出。

證明根據(jù)(7)、(8)和(14)，結論易得。

注4：顯然，由于時滯的存在，傳統(tǒng)的Kalman方法不適合于系統(tǒng)(1)-(2)。利用重組觀測和完全平方方法，定理1給出了線性最優(yōu)濾波器的設計算法。

注意到，o1時，原始系統(tǒng)(1)-(2)變成了[11]中考慮的系統(tǒng)模型(2.1)-(2.2)。進一步觀察濾波器(17)經(jīng)過簡單的變換即為[11]中所得到的濾波器(3.20)。

3 數(shù)值例子

本節(jié)給出一個數(shù)值例子闡明論文提出方法的有效性。

假設噪聲(),(0)()和(1)()是互不相關的白噪聲，方差為0.3，進一步假設=0.93。 應用MATLAB仿真軟件，根據(jù)定理1，線性最優(yōu)濾波器的仿真結果將展示在圖1和圖2中?？梢郧逦乜闯鰻顟B(tài)估計曲線能夠很好地跟蹤原始狀態(tài)，進一步說明了所提出新算法的有效性。

圖 1 信號1的濾波器跟蹤性能

Fig.1 Filter tracking performance of the signal1

圖 2 信號x2的濾波器跟蹤性能

4 結語

利用完全平方和重組觀測技巧，本文研究了觀測中含有不確定參數(shù)的線性定常時滯系統(tǒng)的線性最優(yōu)濾波問題。通過重組觀測，使一個時滯濾波問題轉化為非時滯濾波問題，進一步應用完全平方技巧，使線性最優(yōu)濾波器的計算歸結為計算+1個與原系統(tǒng)有相同維數(shù)的Riccati方程和一個Lyapunov遞推等式。該方法無需狀態(tài)擴維，計算簡單。

[1] Kailath T, Sayed AH, Hassibi B. Linear estimation[M]. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1999

[2] Zhang H, Xie L. Control and estimation of systems with input/output delays[M]. Heidelberg Berlin: Springer-Verlag, 2007

[3] Fridman E, Shaked U, Xie L. Robust2filtering of linear systems time delays[C]. Nevada,USA: Proc of 41th IEEE Conf. Decision Contr., Las Vegas, 2002:3877-3882

[4] Hou W, Fu M, Zhang H,. Consensus conditions for general second-order multi-agent systems with communication delay[J]. Automatica,2 017,75:293-298

[5] Qiu Z, Liu S, Xie L. Distributed constrained optimal consensus of multi-agent systems[J]. Automatica, 2016,68:209-215

[6] Nahi NE.Optimal recursive estimation with uncertain observation[J]. IEEE Trans.Infor. Theory, 1969,15(4):457-462

[7] Hadidi MT, Schwartz SC. Linear recursive state estimators under uncertain observations[J]. IEEE Trans. Automat. Contr., 1979,24(6):944-948

[8] Hermoso CA, Linares PJ. Linear estimation for discrete-time systems in the presence of correlated disturbances and uncertain observations[J]. IEEE Trans. Automat. Contr., 1994,39(8):1636-1638

[9] Wang F, Balakrishnan V. Robust Kalman filters for linear time-varying systems with stochastic parametric uncertainties[J]. IEEE Trans.Signal Proc., 2002,50(4):803-813

[10] Wang F, Balakrishnan V. Robust steady state filtering for systems with deterministic and stochastic uncertainties[J]. IEEE Trans.Signal Proc., 2003,51(10):2550-2558

[11] Yang Z, Yang C, Deng Z. Guaranteed-cost robust Kalman filters for time-invariant systems with uncertain noise variances[J]. Contral Theory &Applications, 2016,33(4):446-452

[12] Liu W, Wang X, Deng Z. Robust centralized and weighted measurement fusion Kalman estimators for uncertain multisensor systems with linearly correlated white noises[J]. Information Fusion, 2017,35(3):11-25

[13] Hu CB, Ho GQ, Daniel WC,. Distributed robust fusion estimation with application to state monitoring systems[J]. IEEE Transactions on Systems Man & Cybernetics Systems, 2017,47(11):2994-3005

[14] Zhao H, Zhang H, Cui P. Steady-state optimal filtering for continuous systems with timedelay[J]. IEEE Signal Proc. Lette., 2009,6(7):628-631

[15] Zhao H, Zhang H, Zhang C,. Optimal filtering for linear discrete-time systems with signal delayed measurement[J]. Inter. Journal of Contr. Auto., 2008,6(3):378-385

[16] Lu X, Zhang H, Wang W,. Kalman filtering for multiple time-delay systems[J]. Automatica, 2005,41(8):1455-1461

[17] Sage AP, Melsa JL. Estimation theory with applications to communications and control[M]. New York: Mcgraw Hill, 1971

Optimal Filtering Wave for Uncertain Linear Time –Delay System

GUO Xiao-chun

271021,

A simple and effective optimal filtering algorithm is proposed for linear uncertain systems with time delay by using recombinant observation analysis and complete square method. First, the time-delay filtering problem is transformed into a non-time-delay problem, then the design of the filter is given by solving the Lyapunov equation and the+1 Riccati matrix equation with the same dimension as the original system, and finally, the correctness and the effectiveness of the algorithm are explained by a simulation example.

Time-delay system; Linear; filtering wave

[TP13]

A

1000-2324(2019)04-0656-05

2018-1-18

2018-6-20

郭小春(1973-),女,碩士,高級實驗師,主要研究方向為時滯系統(tǒng)控制. E-mail:gxc99gxc@126.com