楊亞軍

摘 要 我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)或?qū)W習(xí)中，掌握典型問(wèn)題的解法很重要，但弄清楚每種解法的理論依據(jù)，真正體會(huì)到不同解法的優(yōu)劣所在及其根源，特別是能大膽質(zhì)疑一些貌似合理的“畫(huà)蛇添足”之筆，對(duì)提高我們的學(xué)科素養(yǎng)和解題能力必能產(chǎn)生事半功倍的效果。探索余弦定理在解決已知“兩邊一對(duì)角”這類三角形中的“功”與“理”就是一次很好的實(shí)踐。

關(guān)鍵詞 正弦定理 余弦定理 解法依據(jù)

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

正弦定理、余弦定理在解三角形中，有各自更適合使用的情境。解三角形的四類基本問(wèn)題中，已知“兩邊及一對(duì)角”是學(xué)生感覺(jué)相對(duì)困難的一種類型。對(duì)這種類型的問(wèn)題，初學(xué)者一般都用正弦定理，但這樣處理的麻煩在于：必須根據(jù)題目的已知條件對(duì)該角取銳角或是鈍角的可能性進(jìn)行判斷，但用余弦定理解決，就能回避這個(gè)麻煩。

下面就余弦定理在解決“兩邊及一對(duì)角”這類問(wèn)題中的“功”（比較優(yōu)勢(shì)）和“理”（科學(xué)依據(jù)）做一些粗淺的探索。

用余弦定理解決“兩邊及一對(duì)角”的“功”：回避了判斷該三角形有幾解這一難點(diǎn)，只需根據(jù)余弦定理列出關(guān)于第三邊x的一元二次方程，求解該方程即可。

筆者注意到，在有些資料中，在用余弦定理求解這類問(wèn)題時(shí)，強(qiáng)調(diào)要對(duì)該三角形解的情形進(jìn)行判斷——這個(gè)要求就是貌似合理的“畫(huà)蛇添足”之筆。下面具體探討余弦定理在解決這類問(wèn)題中的“理”。

在%=ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別記為a，b，c。若已知邊a，b及角A，求%=ABC的邊c及角B，C。

若用正弦定理解決，可根據(jù)題目的已知條件，分為以下幾種具體情形解決：

①若b

②若b=a，A則%=ABC不存在，其無(wú)解;

③若b=a，A<，則%=ABC只有一種情形，其解唯一;

④若b>a，A，則%=ABC不存在，其無(wú)解;

⑤若b>a>bsinA，A<，則%=ABC有兩種情形（銳角、鈍角三角形各一），其有兩解;

⑥若b>a=bsinA，A<，則%=ABC只有一種情形（必為直角三角形），其解唯一;

⑦若b>a

若用余弦定理解決，不妨設(shè)c=x（x>0），由余弦定理可得關(guān)于x的一元二次方程：x22bxcosA+b2a2=0（※）。解此方程，若該方程無(wú)實(shí)數(shù)解或無(wú)正實(shí)數(shù)解，則該三角形不存在;若該方程有正實(shí)數(shù)解，則其正實(shí)數(shù)解就是該三角形第三邊的長(zhǎng)度，且該方程正實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)該三角形可能情形的種數(shù)。

為了敘述的方便，不妨設(shè)方程x22bxcosA+b2a2=0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2=2bcosA，x1·x2=b2a2，且該方程的判別式%==4（a2b2sin2A）。

對(duì)情形①若b0，x1I6x2=b2a2<0，故方程（※）一定有唯一正實(shí)數(shù)解。

對(duì)情形②若b=a，A，顯然判別式%==4（a2b2sin2A）0，x1I6x2=b2a2=0，x1+x2=2bcosA0，故方程（※）一定沒(méi)有正實(shí)數(shù)解。

對(duì)情形③若b=a，A<顯然判別式%==4（a2b2sin2A）>0，x1I6x2=b2a2=0，x1+x2=2bcosA>0，故方程（※）一定有唯一正實(shí)數(shù)解。

對(duì)情形④若b>a，A，顯然x1I6x2=b2a2>0，x1+x2=2bcosA0，故方程（※）要么沒(méi)有實(shí)根，要么其有實(shí)根時(shí)，其根均非正，故方程（※）一定沒(méi)有實(shí)數(shù)解或正實(shí)數(shù)解。

對(duì)情形⑤若b>a>bsinA，A<，顯然判別式%==4（a2b2sin2A）>0，x1I6x2=b2a2>0，x1+x2=2bcosA>0，故方程（※）一定有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解。

對(duì)情形⑥若b>a=bsinA，A<，顯然判別式%==4（a2b2sin2A）=0，x1=x2=bcosA>0，故方程（※）一定有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根。

對(duì)情形⑦若b>a

至此，我們對(duì)用余弦定理求解“兩邊及一對(duì)角”這類問(wèn)題時(shí)，沒(méi)必要“對(duì)該三角形解的可能情形進(jìn)行判斷”有了理性、深刻地認(rèn)識(shí)。而這一點(diǎn)，恰恰也是使用余弦定理求解這類問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)所在：思路清晰，操作方面，方程正實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)該三角形可能情形的種數(shù)，該正實(shí)數(shù)就是該三角形相應(yīng)的邊長(zhǎng)。進(jìn)而，在三角形中，由三邊長(zhǎng)用余弦定理求三角形的內(nèi)角，不存在鈍角、銳角的取舍問(wèn)題;若用正弦定理求三角形的內(nèi)角，關(guān)于鈍角、銳角的判斷是必須的，而這也是一個(gè)難點(diǎn)。

任何事情有利就有弊，使用余弦定理解決這類解三角形問(wèn)題時(shí)的運(yùn)算量偏大。正弦定理在解決這類三角形的優(yōu)勢(shì)在于：在熟悉三角形邊與角之間的大小對(duì)應(yīng)關(guān)系的前提下，特別是在掌握了判斷這類三角形可能情形的方法后，其運(yùn)算量更小，更快捷些。

比如，在%=ABC中，a=x，b=2，B=45叭魛%=ABC有兩解，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。象這類題目，用余弦定理，再結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系也能解決，但顯得關(guān)系較復(fù)雜而且運(yùn)算量大。若用正弦定理，結(jié)合圖形，可直接得到x>2>xI6sin45埃騲的取值范圍為（2，2）。

參考文獻(xiàn)

[1] 嚴(yán)士健，王尚志.數(shù)學(xué)必修5[M].北京師范大學(xué)出版社，2018：47-55.

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