李文浩

(哈爾濱電機廠有限責任公司，黑龍江哈爾濱 150040)

0 引言

結構系統(tǒng)動力分析通常采用整體結構有限元方法，可用于復雜的大型結構分析，例如蒸汽輪機，飛機，車輛，船舶等整體結構，但該方法計算規(guī)模大，計算時間長，所使用的磁盤空間和計算機系統(tǒng)太大。在有限元方法用于更高頻率的振動分析時，需要將結構分為大量的單元，來得到詳細的應力特性和位移。此時，模型里節(jié)點有數(shù)十萬或是數(shù)百萬個自由度，要直接解析這么大的結構模型是非常困難的[1]。即使可以進行分析，也需要花費大量時間并且效率極低。

模態(tài)綜合方法是一種降低產(chǎn)生自由度的方法。此方法能夠使大型模型簡化變小，首先對每個子結構進行模態(tài)解析，再完成模態(tài)綜合。因為只用了每個子結構的低階模態(tài)，因此，大幅降低了整體模型結構的動力模型的自由度。并且，還能在不同機器上模態(tài)分析每個子結構，從而提升計算的速率[2]。

本文將著重論述常用于轉子動力學中的模態(tài)綜合方法。

1 模態(tài)綜合法的基本思想理論和步驟

1.1 基本思想和理論

此方法的基本原理是根據(jù)其結構特征，將一個復雜的結構劃分為多個子結構。再使用離散化方法對各個子結構進行多個力學解析?；诿總€子結構的結點位移坐標，完成坐標變換和子結構進行分組。只需將每個子結構的模態(tài)坐標分組到整體結構坐標中，由子結構連接條件，執(zhí)行第二坐標轉換，從而清除非獨立坐標，獲得表示整個結構運動的廣義坐標。這樣，組集得到的模型的獨立廣義坐標的數(shù)量大大降低[2]。從而能得到整個系統(tǒng)的動力方程，此方程以獨立的模態(tài)坐標表述。通過這種方式，求解低階系統(tǒng)的動力學方程要容易得多[3]。由于大大降低了自由度，機器時間和存儲器顯著減少，傳遞矩陣法所需的機器時間較少，計算精度也非常令人滿意。

子結構方法中最常用和最成熟的就是模態(tài)綜合法，Raylei-Ritz方法，是動態(tài)子結構的理論基礎。

1.2 模態(tài)綜合法的基本步驟

模態(tài)綜合法包括以下兩個步驟[3]：

(1)基于每個子結構的結點位移坐標，完成坐標變換和子結構進行分組。

(2)由子結構連接條件，執(zhí)行第二坐標轉換，從而清除非獨立坐標，獲得表示整個結構運動的廣義坐標。

模態(tài)綜合方法遵循有限元方法，首先分析每個局部子結構，然后通過某種方法進行整體分析。通過每個子結構模態(tài)解析，獲得一個“假設模態(tài)”，此“假設模態(tài)”可以根據(jù)一定的原則很好地表述整個模型結構的振動[4]，然后使用假設模態(tài)分析法解析整個模型結構的振動。

假設某個簡單的無阻尼自由振動結構，將原始的結構化為兩個子結構α和β，各個子結構自由度包括界面自由度與內(nèi)部自由度[5]。兩個子結構的自由度，以矢量形式表述的物理坐標為

(1)

由力的對接條件和界面連續(xù)性條件，得

(2)

在簡單疊加之后，獲得整個結構的動能為

(3)

系統(tǒng)的總勢能為

(4)

其中，[mα]、[mβ]和[kα]、[kβ]是質(zhì)量矩陣與剛度矩陣，分別對應于α和β子結構的物理坐標{uα}和{uβ}。解析每個子結構的動力特征，選擇合適的分支模態(tài)形成模態(tài)矩陣[φα]與[φβ]，并對β和α子結構進行模態(tài)坐標變換可得

{uα}=[φα]{pα}

(5)

{uβ}=[φβ]{pβ}

(6)

其中，{pα}和{pβ}分別是兩個子結構的模態(tài)坐標。子結構的自由度遠大于分支模態(tài)數(shù)量。等式(5)和(6)通常被稱為第一坐標變換，將等式(5)和(6)代入等式(3)和(4)，由分支模態(tài)坐標表述的系統(tǒng)動能和勢能即為

(7)

(8)

其中

[mα]=[φα]T[mα][φα]，
[mβ]=[φβ]T[mβ][φβ]

(9)

[kα]=[φα]T[kα][φα]，[kβ]=[φβ]T[kβ][φβ]

(10)

(11)

顯然，因為存在等式(2)表示的條件約束，系統(tǒng)的模態(tài)坐標中，不是所有坐標都是獨立的，因此由等式(7)、(8)表述的系統(tǒng)勢能和動能表達式代入第二類拉格朗日方程，以獲得結構系統(tǒng)運動方程[6]。僅在{p}去除了獨立模態(tài)坐標時，才可以代入第二類拉格朗日方程中。

可以從每個分支的模態(tài)坐標變換方程(5)和(6)獲得。

(12)

(13)

由此可得

(14)

(15)

由界面位移連續(xù)條件(2)式，可得

或寫為

(16)

簡記為

[C]{p}={0}

(17)

(18)

所以，等式(17)也可表述為

(19)

即得

{pd}=-[Cdd]-1[CdI]{pI}

(20)

所以有

(21)

[S]是獨立坐標變換矩陣

(22)

上述公式(21)是第二坐標變換。所以獨立廣義坐標{q}={pI}可用于表述該結構的勢能和動能

(23)

(24)

其中

[M]=[S]T[m][S]

(25)

[K]=[S]T[k][S]

(26)

因此，獲得了無阻尼結構系統(tǒng)的自由振動方程

(27)

對應的系統(tǒng)廣義特征值可表示如下

([K]-ω2[M]){A}={0}

(28)

這是綜合每個子結構得到的新方程。等式階數(shù)與每個分支結構模態(tài)的總和數(shù)減掉子結構連接坐標的數(shù)量相等。

普通的動力學方程，同樣能夠獲得具有減小的自由度的等式方程

(29)

式中，由等式(27)得出[M]，[K]，其中[C]與{F(t)}可表示為

[C]=[S]T[c][S]
{F(t)}=[S]T{p}

(30)

為了描述空間結構的構造，即其運動和變形狀態(tài)，通常使用兩種類型的廣義坐標：“物理坐標”和“模態(tài)坐標”。描述結構中每個點的幾何位置坐標為物理坐標，是表述每個模態(tài)組件大小的坐標為模態(tài)坐標。這里使用術語“模態(tài)”而不是“振動類型”，因為“振動類型”是結構的變形形式作為主要振動?！澳B(tài)”的概念是模式概念的概括，它不僅包含結構主振動的變形形式，它還包括由某些特定外力或關節(jié)位移產(chǎn)生的結構的靜態(tài)變形形式。

轉子動力學模態(tài)綜合方法的基本思路和步驟基本相同，只是如何劃分子系統(tǒng)，如何選擇子系統(tǒng)的Ritz基礎，如何處理綜合中對接條件的發(fā)展，高效的模態(tài)綜合技術是用很少的Ritz基來實現(xiàn)令人滿意的精確度。子結構振動分析中，已發(fā)展出Ritz基選取的各種辦法，如：約束子系統(tǒng)方法，自由子系統(tǒng)方法，組件假設形式方法。

2 總結

模態(tài)綜合法有許多優(yōu)點：

(1)顯著節(jié)省計算機計算資源和時間，從而提升計算效率。

(2)此方法為子結構技術，能夠計算超大的模型，同時，計算精度高。

(3)能夠靈活的修改大系統(tǒng)中子系統(tǒng)設計。如果修改了子系統(tǒng)結構，則只需要重新計算修改后的子系統(tǒng)，再收集每個子系統(tǒng)。此過程中，不需要重新計算整個結構，降低了計算的時間。

因此，對于復雜大型結構，如：水輪機轉子、船舶、汽車、飛機等結構，利用模態(tài)綜合法分析結構，能夠更好地解決計算速率和精度問題。