一類(lèi)具有k階拉普拉斯算子的波動(dòng)方程整體解的存在性*

王 艷 萍

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000)

0 引 言

將考慮如下一類(lèi)具有k階拉普拉斯算子的波動(dòng)方程：

(1)

其中，Ω?Rn是具有光滑邊界的有界區(qū)域，常數(shù)ai、α>0，且pi和k滿足：

(2)

1 主要引理

為了計(jì)算方便，引入下面記號(hào)：

另外，記

(ii)u(x,0)=u0(x)∈H1(Ω)∩H1,k(Ω),ut(x,0)=u1(x)∈L2(Ω);

Galerkin方法是證明波動(dòng)方程解的存在性問(wèn)題最常用的方法之一，為了證明方程(1)弱解的存在性，首先給出下面幾個(gè)引理。

(3)J(λu)在0≤λ≤λ*上單調(diào)增加，在λ*<λ<+∞上單調(diào)減少，且在λ=λ*處取最大值;

(4)當(dāng)0<λ<λ*時(shí)，I(λu)>0；當(dāng)λ*<λ<+∞時(shí)，I(λu)<0，且I(λ*u)=0。

(3)由于

利用h(λ)的性質(zhì)，可得性質(zhì)(3)；

利用文獻(xiàn)[4]的方法可得下面引理：

利用文獻(xiàn)[7—8]的方法，可以得出：

(1) 如果u0∈W′，則方程式(1)—方程式(2)的所有弱解u(x,t)∈W；

(2) 如果u0∈V′，則方程式(1)—方程式(2)的所有弱解u(x,t)∈V。

2 主要結(jié)論

下面將利用Galerkin逼近法證明方程式(1)—方程式(2)整體弱解的存在性，方程式(1)—方程式(2)中含有多源項(xiàng)與k階拉普拉斯算子項(xiàng)，必須采用更加精細(xì)的計(jì)算，在一定程度上拓展了Galerkin逼近法的應(yīng)用范圍。

證明設(shè){wj(x)}是特征方程

的一個(gè)基礎(chǔ)解系，方程式(1)—方程式(2)的Galerkin逼近解可表示為

(3)

從0到t積分可得

利用已知條件，對(duì)充分大的l有

(4)

因?yàn)閡0∈W′，利用文獻(xiàn)[8]相同的方法可知，對(duì)充分大的l有ul(t)∈W,(0≤t<+∞)。

借助引理3的證明可得：

(5)

從而利用式(4)和式(5)可知，對(duì)充分大的l，有

再利用嵌入定理可得，對(duì)充分大l，有

令v→+∞，由方程式(3)可得

dτ+(u1(x),wj)+α(u0(x),wj)

由式(4)得：

從而

所以u(píng)為方程式(1)、方程式(2)的一個(gè)整體弱解，并利用命題1的u∈W。

3 結(jié)束語(yǔ)

討論了一類(lèi)同時(shí)含有k階拉普算子項(xiàng)與多個(gè)非線性源項(xiàng)的波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題，這類(lèi)波動(dòng)方程改進(jìn)了含有單個(gè)非線性源項(xiàng)的波動(dòng)方程，由于這類(lèi)波動(dòng)方程引入了k階拉普拉斯算子項(xiàng)和多個(gè)非線性源項(xiàng)，使得該波動(dòng)方程的結(jié)構(gòu)更加精細(xì)且符合實(shí)際。Galerkin逼近法是證明波動(dòng)方程解的存在性問(wèn)題最常用的方法之一，論文應(yīng)用構(gòu)造了這類(lèi)方程的近似解，并討論了近似解的收斂性，最后得到了整體解的存在性。