王 艷 萍
(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 宿州 234000)
將考慮如下一類(lèi)具有k階拉普拉斯算子的波動(dòng)方程:
(1)
其中,Ω?Rn是具有光滑邊界的有界區(qū)域,常數(shù)ai、α>0,且pi和k滿足:
(2)
為了計(jì)算方便,引入下面記號(hào):
另外,記
(ii)u(x,0)=u0(x)∈H1(Ω)∩H1,k(Ω),ut(x,0)=u1(x)∈L2(Ω);
Galerkin方法是證明波動(dòng)方程解的存在性問(wèn)題最常用的方法之一,為了證明方程(1)弱解的存在性,首先給出下面幾個(gè)引理。
(3)J(λu)在0≤λ≤λ*上單調(diào)增加,在λ*<λ<+∞上單調(diào)減少,且在λ=λ*處取最大值;
(4)當(dāng)0<λ<λ*時(shí),I(λu)>0;當(dāng)λ*<λ<+∞時(shí),I(λu)<0,且I(λ*u)=0。
(3)由于
利用h(λ)的性質(zhì),可得性質(zhì)(3);
利用文獻(xiàn)[4]的方法可得下面引理:
利用文獻(xiàn)[7—8]的方法,可以得出:
(1) 如果u0∈W′,則方程式(1)—方程式(2)的所有弱解u(x,t)∈W;
(2) 如果u0∈V′,則方程式(1)—方程式(2)的所有弱解u(x,t)∈V。
下面將利用Galerkin逼近法證明方程式(1)—方程式(2)整體弱解的存在性,方程式(1)—方程式(2)中含有多源項(xiàng)與k階拉普拉斯算子項(xiàng),必須采用更加精細(xì)的計(jì)算,在一定程度上拓展了Galerkin逼近法的應(yīng)用范圍。
證明設(shè){wj(x)}是特征方程
的一個(gè)基礎(chǔ)解系,方程式(1)—方程式(2)的Galerkin逼近解可表示為
(3)
從0到t積分可得
利用已知條件,對(duì)充分大的l有
(4)
因?yàn)閡0∈W′,利用文獻(xiàn)[8]相同的方法可知,對(duì)充分大的l有ul(t)∈W,(0≤t<+∞)。
借助引理3的證明可得:
(5)
從而利用式(4)和式(5)可知,對(duì)充分大的l,有
再利用嵌入定理可得,對(duì)充分大l,有
令v→+∞,由方程式(3)可得
dτ+(u1(x),wj)+α(u0(x),wj)
由式(4)得:
從而
所以u(píng)為方程式(1)、方程式(2)的一個(gè)整體弱解,并利用命題1的u∈W。
討論了一類(lèi)同時(shí)含有k階拉普算子項(xiàng)與多個(gè)非線性源項(xiàng)的波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題,這類(lèi)波動(dòng)方程改進(jìn)了含有單個(gè)非線性源項(xiàng)的波動(dòng)方程,由于這類(lèi)波動(dòng)方程引入了k階拉普拉斯算子項(xiàng)和多個(gè)非線性源項(xiàng),使得該波動(dòng)方程的結(jié)構(gòu)更加精細(xì)且符合實(shí)際。Galerkin逼近法是證明波動(dòng)方程解的存在性問(wèn)題最常用的方法之一,論文應(yīng)用構(gòu)造了這類(lèi)方程的近似解,并討論了近似解的收斂性,最后得到了整體解的存在性。