用Abel公式證明一些不等式

魏子亮

【摘要】挪威數(shù)學(xué)家Niels Henrik Abel所提出的Abel公式在數(shù)學(xué)解題中具有較為廣泛的應(yīng)用.本文利用Abel公式證明了切比雪夫不等式及其他數(shù)列不等式問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】Abel公式;數(shù)列求和;數(shù)列不等式

一、Abel公式的兩種形式

（一）Abel和差變換公式

設(shè)m

∑nk=m（Ak-Ak-1）bk=Anbn-Am-1bm+∑n-1k=mAk（bk-bk+1）.（1）

我們稱(chēng)（1）式為Abel和差變換公式.

（二）Abel分部求和公式

在（1）中令A(yù)0=0，Ak=∑ki=1ai，1≤k≤n，得：

∑nk=1akbk=bn∑nk=1ak+∑n-1k=1∑ki=1ai（bk-bk+1）.（2）

我們稱(chēng)（2）式為Abel分部求和公式.

二、Abel公式證明切比雪夫不等式

例1（切比雪夫不等式）設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，則有：

n·∑nk=1akbk≥∑nk=1ak·∑nk=1bk≥n∑nk=1akbn-k+1.

證由切比雪夫不等式的結(jié)構(gòu)可知，只需證明等式左邊即可.

拓廣數(shù)列{bk}，使bn+t=bt（t=1，2，…），可得到：

∑ni=1bi+l=∑ni=1bi，∑ki=1bi+l≥∑ki=1bi;

ak-ak+1≤0（1≤k≤n-1），

由分部求和公式（2）可得：

（∑nk=1ak）·∑nk=1bk=∑ni=1ai∑n-1l=0bi+l

=∑n-1l=0∑ni=1aibi+l

=∑n-1l=0an∑ni=1bi+l+∑n-1k=1∑ki=1bi+l（ak-ak+1）

≤∑n-1l=0an∑ni=1bi+∑n-1k=1∑ki=1bi（ak-ak+1）

=n·∑nk=1akbk.

三、Abel公式在其他數(shù)列不等式中的應(yīng)用

例2設(shè)S（k）n=∑ni=1ik，則∑n-1i=1S（k）i=nS（k）n-S（k+1）n.

證令ai=1（i=1，2，…，n），則∑ij=1aj=i（1≤i≤n），再令S（k）0=0，則：

∑n-1i=1S（k）i=∑ni=1aiS（k）i-1

=∑n-1i=1（∑ij=1aj）（S（k）i-1-S（k）i）+S（k）n-1∑nj=1aj

=∑n-1i=1i（-ik）+nS（k）n-1=-∑ni=1ik+1+nS（k）n-1+nk+1

=-S（k+1）n+n（S（k）n-1+nk）=-S（k+1）n+nS（k）n.

例3已知實(shí)數(shù)a1，a2，…，an，記an+1，M=max∑1≤k≤n|ak-ak+1|，求證：

∑nk=1kak≤16M·n（n+1）（n+2）.

證由分部求和公式，得：

∑nk=1kak=∑n+1k=1kak

=an+1∑n+1k=1+∑nk=1∑ki=1i（ak-ak+1）

≤∑nk=1C2k+1|ak-ak+1|≤M·∑nk=1C2k+1=M·C3n+2

=16M·n（n+1）（n+2）.

例4若a1，a2，…，an，為兩兩不同的正整數(shù)，則：

∑nk=1akk2≥∑nk=11k.

證由分部求和公式，得：

∑nk=1akk2=1n2∑nk=1ak+∑n-1k=1∑ki=1ai1k2-1（k+1）2

≥1n2∑nk=1k+∑n-1k=1∑ki=1i1k2-1（k+1）2

=∑nk=1k1k2=∑nk=11k.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉文芳.Abel變換在證明不等式中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)研版），2012（1）：15.

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[3]潘俊.用Abel求和公式求解數(shù)學(xué)競(jìng)賽問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2007（6）：47-49.